七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題08 還原與對(duì)消試題 （新版）新人教版.doc

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08　還原與對(duì)消 ——方程的解與解方程 閱讀與思考 解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、得方程的解．我們?cè)诮庖辉淮畏匠虝r(shí)，既要學(xué)會(huì)按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨機(jī)應(yīng)變(靈活打亂步驟)地解方程． 方程的解是方程理論中的一個(gè)重要概念，對(duì)于方程解的概念，要學(xué)會(huì)從兩個(gè)方面去運(yùn)用： 1．求解：通過(guò)解方程，求出方程的解，進(jìn)而解決問(wèn)題． 2．代解：將方程的解代入原方程進(jìn)行解題． 當(dāng)方程中的未知數(shù)是用字母表示時(shí)，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范圍確定．字母a，b的取值范圍確定或?qū)夥匠痰倪^(guò)程并未產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響，其解法同數(shù)字系數(shù)的一次方程解法一樣；當(dāng)字母a，b的取值范圍未給出時(shí)，則需討論解的情況，其方法是： (1)當(dāng)a≠0時(shí)，原方程有唯一解x＝； (2)當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)個(gè)解； (3)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，原方程無(wú)解； 例題與求解 [例1]　已知關(guān)于x的方程3[x－2(x－)]＝4x和－＝1有相同的解，那么這個(gè)解是______． (北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題) 解題思路：建立關(guān)于a的方程，解方程． [例2]　已知a是任意有理數(shù)，在下面各說(shuō)法中 (1)方程ax＝0的解是x＝1 (2)方程ax＝a的解是x＝1 (3)方程ax＝1的解是x＝ (4)方程|a|x＝a的解是x＝1 結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )． A．0 B．1 C．2 D．3 (江蘇省競(jìng)賽試題) 解題思路：給出的方程都是含字母系數(shù)的方程，注意a的任意性． [例3]　a為何值時(shí)，方程＋a＝－(x－12)有無(wú)數(shù)多個(gè)解？無(wú)解？ 解題思路：化簡(jiǎn)原方程，運(yùn)用方程ax＝b各種解的情況所應(yīng)滿足的條件建立a的關(guān)系式． [例4]　如果a，b為定值時(shí)，關(guān)于x的方程＝2＋，無(wú)論k為何值時(shí)，它的根總是1，求a，b的值． (xx年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題) 解題思路：利用一元一次方程方程的解與系數(shù)之間的關(guān)系求解． [例5]　已知p，q都是質(zhì)數(shù)，并且以x為未知數(shù)的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，求代數(shù)式p2－q的值． (北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題) 解題思路：用代解法可得到p，q的關(guān)系式，進(jìn)而綜合運(yùn)用整數(shù)相關(guān)知識(shí)分析． [例6]　(1)在日歷中(如圖①)，任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為a，則用含a的代數(shù)式表示這三個(gè)數(shù)(從小到大排列)分別是______． (2)現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2004按圖中的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形陣列，用一個(gè)正方形框出16個(gè)數(shù)(如圖②)． ①圖中框出的這16個(gè)數(shù)的和是______； ②在右圖中，要使一個(gè)正方形框出的16個(gè)數(shù)之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，試說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)求出該正方形框出的16個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)． 圖① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 　2003 2004 1997 1999 2000 2001 2002 … … … … 36 37 38 39 40 41 42 1996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 圖② (湖北省黃岡市中考試題) 解題思路：(1)等差數(shù)列，相鄰兩數(shù)相差7．(2)①經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)方框里的每?jī)蓚€(gè)關(guān)于中心對(duì)稱的數(shù)之和都等于44．如31與13，11與33，17與27都成中心對(duì)稱的．于是易算出這16個(gè)數(shù)之和．②設(shè)框出的16個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為a，用a表示出16個(gè)數(shù)之和，若算出的a為自然數(shù)，則成立；不為自然數(shù)，則不可能． 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1．若關(guān)于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，則k＝______；若關(guān)于x的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，則方程的解x＝______． 2．方程x－[x－(x－)]＝(x－)的解是______． (廣西賽區(qū)選拔賽試題) 3．若有理數(shù)x，y滿足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，則x2＋y3＝______． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 4．若關(guān)于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有無(wú)數(shù)個(gè)解，則a＝______，b＝______． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 5．已知關(guān)于x的方程9x－3＝kx＝14有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)k＝______． (“五羊杯”競(jìng)賽試題) 6．下列判斷中正確的是( )． A．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x同解 B．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x沒(méi)有相同的解 C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解 D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解 7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )． A．1995 B．1996 C．1997 D．1998 8．若關(guān)于x的方程＝0的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是( )． A．b＞0 B．b≥0 C．b≠2 D．b≥0且b≠2 (黑龍江省競(jìng)賽試題) 9．關(guān)于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有無(wú)窮多個(gè)解，則( )． A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)－b＝0 C．a(chǎn)b＝0 D．＝0 10．已知關(guān)于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0無(wú)解，則ab是( )． A．正數(shù) B．非正數(shù) C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù) (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 11．若關(guān)于x的方程kx－12＝3x＋3k有整數(shù)解，且k為整數(shù)，求符合條件的k值． (北京市“迎春杯”訓(xùn)練題) 12．已知關(guān)于x的方程＋a＝x－(x－6)，當(dāng)a取何值時(shí)，(1)方程無(wú)解？(2)方程有無(wú)窮多解？ (重慶市競(jìng)賽試題) B級(jí) 1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解為a＋2，則方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解為_(kāi)_____． 2．已知關(guān)于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，則代數(shù)式－的值是______． 3．若k為整數(shù)，則使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整數(shù)的k值有______個(gè)． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 4．如果＋＋＋…＋＝，那么n＝______． (江蘇省競(jìng)賽試題) 5．用※表示一種運(yùn)算，它的含義是A※B＝＋，如果2※1＝，那么3※4＝______． (“希望杯”競(jìng)賽試題) 6．如圖所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個(gè)果凍的質(zhì)量也相等，則一塊巧克力的質(zhì)量是______克． 巧克力 果凍 50g砝碼 第6題圖 (河北省中考試題) 7．有四個(gè)關(guān)于x的方程 ①x－2＝－1 ②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1) ③x＝0 ④x－2＋＝－1＋ 其中同解的兩個(gè)方程是( )． A．①與② B．①與③ C．①與④ D．②與④ 8．已知a是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整數(shù)解，則a的值共有( )． A．1個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．9個(gè) (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 9．(1)當(dāng)a取符合na＋3≠0的任意數(shù)時(shí)，式子的值都是一個(gè)定值，其中m－n＝6，求m，n的值． (北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題) (2)已知無(wú)論x取什么值，式子必為同一定值，求的值． (“華羅庚杯”香港中學(xué)競(jìng)賽試題) 10．甲隊(duì)原有96人，現(xiàn)調(diào)出16人到乙隊(duì)，調(diào)出后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的k(k是不等于1的正整數(shù))倍還多6人，問(wèn)乙隊(duì)原有多少人？ (上海市競(jìng)賽試題) 11．下圖的數(shù)陣是由77個(gè)偶數(shù)排成： 第11題圖 …………………………………… 142 144 146 148 150 152 154 30 32 34 36 38 40 42 16 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14 用一平行四邊形框出四個(gè)數(shù)(如圖中示例)． (1)小穎說(shuō)四個(gè)數(shù)的和是436，你能求出這四個(gè)數(shù)嗎？ (2)小明說(shuō)四個(gè)數(shù)的和是326，你能求出這四個(gè)數(shù)嗎？ 07 整式的加減 例1 －17 例2 B 例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3（4a－b）＋4986. 例4 原多項(xiàng)式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由題意知，該多項(xiàng)式為二次多項(xiàng)式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a(bǔ)＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2（b－3）－5＝－17. 解得b＝－1，故原多項(xiàng)式為－x2－4 x－5. 當(dāng)x＝－2時(shí)，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1. 例5 設(shè)前7站上車的乘客數(shù)量依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，從第2站到第8站下車的乘客數(shù)量依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a 7＝80＋b 8，前6站上車而在終點(diǎn)下車的人數(shù)為b8－a7＝100－80＝20（人）. 例6 如圖，由題意得a1＋a2＋a3＝29, a2＋a3＋a4＝29, … a6＋a7＋a 1＝29, a7＋a1＋a 2＝29, 將上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝297. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67 . 這與a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7為整數(shù)矛盾. 故不存在滿足題設(shè)要求的7個(gè)整數(shù). A級(jí) 1. 29 2. －6 3. －2 4.2003 5. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝223－36＝46－36＝10. 6. C 7. C 提示：設(shè)滿足條件的單項(xiàng)式為ambncp的形式，其中m，n，p為自然數(shù)，且m＋n＋p＝7. 8. C 9. D 10. 1.2 提示：由題意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）. 11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b. B級(jí) 1. －a＋b＋c 2. ≥ 1 提示：x的系數(shù)之和為零，須使4－7 x≤0且1－3 x≤0. 3. 22 4. －94 提示：由（x＋5）2＋| y 2＋y－6|=0得x＝－5，y 2＋y＝6. y 2－ x y＋x 2＋x 3 ＝y(tǒng) 2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94. 5. － 6. B 提示：利用絕對(duì)值的幾何意義解此題. x的取值范圍在 與 之間 7. A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[21－1] 6=1① 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2（－1）－1] 6＝3 6＝729② ①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365. 8. C 9. A 10. A 提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶數(shù). 11. 提示：（1）4.5πa2 S陰影＝ （a＋a＋a）2＝4.5πa2 （2） ab－ b2＋ πb2 S陰影＝ （a＋a）b－（b2－ πb2） ＝ a b－ b 2＋ πb2 （3）3 x＋3 y＋2 z 總長(zhǎng)1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z. 12. 因?yàn)?＝100 a＋10 b＋c， ＝10a＋c.由題意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c. 化簡(jiǎn)得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0） 又∵5是質(zhì)數(shù)，故 ，從而 則符合條件的 ＝155，245，335，425，515，605.