八年級數(shù)學上冊 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2 兩數(shù)和（差）的平方學案 （新版）華東師大版.doc

《八年級數(shù)學上冊 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2 兩數(shù)和（差）的平方學案 （新版）華東師大版.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《八年級數(shù)學上冊 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2 兩數(shù)和（差）的平方學案 （新版）華東師大版.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2　兩數(shù)和(差)的平方 課前知識管理 1、完全平方公式有兩個：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍.這兩個公式叫做完全平方公式.它們可以合寫在一起，為（ab）2=a22ab+b2.為便于記憶，可形象的敘述為：“首平方、尾平方，2倍乘積在中央”.　　 幾何背景：如圖，大正方形的面積可以表示為（a+b）2，也可以表示為S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同時S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.從而驗證了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2. 2、完全平方公式的特征：左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上（這兩項相加時）或減去（這兩項相減時）這兩項乘積的2倍.公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負數(shù)），也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式.只要符合這一公式的結構特征，就可以運用這一公式.　　 3、在使用完全平方公式時應注意問題：（1）千萬不要發(fā)生類似（ab）2=a2b2的錯誤；（2）不要與公式（ab）2=a2b2混淆；（3）切勿把“乘積項”2ab中的2漏掉；（4）計算時，應先觀察所給題目的特點是否符合公式的條件，如符合，則可以直接套用公式進行計算；如不符合，應先變形為公式的結構特點，再利用公式進行計算，如變形后仍不具備公式的結構特點，則運用乘法法則進行計算. 名師導學互動 典例精析： 知識點1：改變公式中的符號： 例1、運用完全平方公式計算： 　 【解題思路】本例改變了公式中的符號，處理方法之一：把兩式分別變形為 再用公式計算（反思得：）； 方法二：把兩式分別變形為：后直接用公式計算；方法三：把兩式分別變形為后直接用公式計算. 【解】=. 【方法歸納】對乘法公式的最初運用是模仿套用，套用的前提是確定是否具備使用公式的條件，關鍵是正確確定“兩數(shù)”即“a”和“b”. 對應練習： 知識點2：改變公式中的項數(shù) 例2、計算： 【解題思路】完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項，故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾.所以在運用公式時， 可先變形為 或 或者 ，再進行計算． 【解】= =. 【方法歸納】運用整體思想可以使計算更為簡便，快捷. 對應練習：（2a－b＋4）2 知識點3：改變公式的結構 例3、運用公式計算：（1）； （2）. 【解題思路】本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結構不符合公式特征，但仔細觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個因式作適當變形就可以了. 【解】（1）=； （2）=. 【方法歸納】觀察到兩個因式的系數(shù)有倍數(shù)關系或相反關系是正確變形并利用公式的前提條件. 對應練習：計算： 知識點4：利用公式簡便運算 例4：計算：9992 【解題思路】本例中的999接近1000，故可化成兩個數(shù)的差，從而運用完全平方公式計算. 【解】998001. 【方法歸納】有些數(shù)計算時可拆成兩數(shù)（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使運算簡捷、快速. 對應練習：計算：100.12 知識點5：公式的逆用 例5、計算： 【解題思路】本題若直接運用乘法公式和法則較繁瑣，仔細分析可發(fā)現(xiàn)其結構恰似完全平方公式的右邊，不妨把公式倒過來用. 【解】=. 【方法歸納】解題中，若把注意力和著眼點放在問題的整體上，多方位思考、聯(lián)想、探究，進行整體思考、整體變形，從不同的方面確定解題策略，能使問題迅速獲解． 對應練習：化簡 知識點6：公式的變形 例6、已知實數(shù)a、b滿足.求下列各式的值：（1）； （2） 【解題思路】此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把a、b的值分別求出來，非常困難；仔細探究易把這些條件同完全平方公式結合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑. 【解】（1）=； （2）=6. 【方法歸納】； 熟悉完全平方公式的變形式，是相關整體代換求值的關鍵. 對應練習：已知：x＋y＝－1，x2＋y2＝5，求xy的值. 知識點7：乘法公式的綜合應用 例7、計算：　　 【解題思路】此例是三項式乘以三項式，特點是：有些項相同，另外的項互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項和互為相反數(shù)的項分別結合構造成平方差公式計算后，再運用完全平方公式等計算. 【解】 . 【方法歸納】靈活運用公式主要是指既要熟練地正用公式，又要掌握公式的逆用，還要根據(jù)題目特點善于對公式進行變式使用.在解題中充分體現(xiàn)應用公式的思維靈活性，綜合并靈活地解決有關的不同類型的問題. 對應練習： 易錯警示 例8、(x+1)2. 錯解：(x+1)2=x2+1. 錯解分析：錯解中漏掉了加上它們積的2倍，(x+1)2≠x2+1，不能與積的冪 (ab)n =anbn混淆． 正解：(x+1)2=x2+2x+1 例9、(x2-y2)(x2-y2). 錯解：(x2-y2)(x2-y2)=x4-y4 錯解分析：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2，錯解中錯誤地運用平方差公式來計算了， (x2-y2)(x2-y2)≠(x2-y2)(x2+y2)＝x4-y4． 正解：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4. 例10、(3x+2y)2. 錯解：(3x+2y)2=9x2+6xy+4y2 錯解分析：(3x+2y)2展開式中“它們積的2倍”是23x2y＝12xy，因為第二數(shù)2y有一個“2”，所以很容易忘掉“2倍”． 正解：(3x+2y)2=(3x)2+23x2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2. 例11、． 錯解： 錯解分析：展開式中，因此原來的系數(shù)是完全平方數(shù)，因此，也很容易忘了把它再平方． 正解： 課堂練習評測 知識點1：完全平方公式 1、在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“—”，在所得到的這些代數(shù)式中，能構成完全平方式的有（ ）種 A．1 B．2 C．3 D．4 2、圖①是一個邊長為的正方形，小穎將圖①中的陰影部分拼成圖②的形狀，由圖①和圖②能驗證的式子是（ ） A． B． C． D． 3、若，則的值為 ． 4、已知(a-b)2=4,ab=，則(a+b)2= 。 5、若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如就是完全對稱式.下列三個代數(shù)式：①；②；③．其中是完全對稱式的是 ． 6、先化簡，再求值：，其中a=－3,b=10 知識點2：開放型試題 7、已知是有理數(shù)，是無理數(shù)，請先化簡下面的式子，再在相應的圓圈內(nèi)選擇你喜歡的數(shù)代入求值：． 課后作業(yè)練習 基礎訓練： 一、選擇題 1．下列運算中，正確的是（ ） A．3a+2b=5ab B．（a－1）2=a2－2a+1 C．a(chǎn)6a3=a2 D．（a4）5=a9 2．下列運算中，利用完全平方公式計算正確的是（ ） A．（x+y）2=x2+y2 B．（x－y）2=x2－y2 C．（－x+y）2=x2－2xy+y2 D．（－x－y）2=x2－2xy+y2 3．下列各式計算結果為2xy－x2－y2的是（ ） A．（x－y）2 B．（－x－y）2 C．－（x+y）2 D．－（x－y）2 4．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，則m的值是（ ） A．16 B．4 C．－4 D．4或－4 二、填空題 5．（－x－2y）2=_____． 6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，則B=_____． 7．若a－b=3，ab=2，則a2+b2=______． 8．（_____－y）2=x2－xy+______；（_____）2=a2－6ab+_____． 提高訓練 9、若（x+）2=9，則（x－）2的值為______． 10、化簡：a（a－2b）－（a－b）2． 11、（巧題妙解題）已知x+y=1，求x2+xy+y2的值． 12、已知a+=5，分別求a2+，（a－）2的值． 13、為了擴大綠化面積，若將一個正方形花壇的邊長增加3米，則它的面積就增加39平方米，求這個正方形花壇的邊長． 14、利用完全平方公式計算：（1）xx2； （2）782． 15、先化簡，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－． 16、小明在計算時，找不到計算器，去向小華借，小華看了看題說根本不需要用計算器，而且很快說出了答案．你知道他是怎么做的嗎？ 12.3.2對應練習答案： 1.解：=. 2.解　原式＝[（2a－b）＋4]2＝（2a－b）2＋8（2a－b）＋16＝4a2－4ab＋b2＋16a－8b＋16. 3.解：= 4.答案：100.12=10020.01. 5.答案： 6.解：由xy＝，得xy＝＝－2. 7.解： . 課堂練習評測參考答案 1、答案：B 2、答案：B 3、答案：5 4、答案：6 5、答案：①② 6、解： 當a=－3,b=10時，原式=－3－310=－33 7、解：=，答案不惟一，比如選，則代數(shù)式的值為1. 課后作業(yè)練習參考答案： 1．B 2．C 點撥：（x+y）2=x2+2xy+y2，所以A不正確；（x－y2=x2－2xy+y2，所以B不正確；（－x+y）2=（－x）2+2（－x）y+y2=－2xy+y2，所以C正確；（－x－y）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以D也不正確，故選C． 3．D 4．D 點撥：因為（x－4）2=2－8x+16，所以若（x－4）2=x2－8x+m2成立， 則m2=16，從而得m=4，故選D． 二、 5．x2+4xy+4y2 點撥：（－x－2y）2=[－（x+2y）] 2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2． 6．48xy 點撥：B=（3x+4y）2－（3x－4y）2=9x2+24xy+16y2－（9x2－24xy+16y2）=9x2+24xy+16y2－92+24xy－16y2=48xy． 7．13 點撥：因為a－b=3，ab=2，所以a2+b2=（a－b）2+2ab=32+22=9+4=13． 8．x；y2；a－4b；16b2 9、5 10、解：a（a－2b）－（a－b）2=a2－2ab－（a2－2ab+b2）=a2－2ab－a2+2ab－b2=－b2． 11、解：因為x+y=1，所以（x+y）2=1，即x2+2xy+y2=1．所以x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=1=． 點撥：通過平方將已知條件轉化為完全平方公式，從而巧妙求值． 12、解：因為a+=5，所以a2+=（a+）2－2a=52－2=23，所以（a－）2=a2+－2a=23－2=21． 點撥：注意公式的一些變形形式，例如：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab，（a+b）2=（a－b）2+4ab，（a－b）2=（a+b）2－4ab等等． 13、解：設這個正方形花壇的邊長為x米，依題意列方程得，（x+3）2－x2=39，即x2+6x+9－x2=39，6x=30，x=5． 答：這個正方形花壇的邊長為5米． 點撥：適當引進未知數(shù)，根據(jù)題中的相等關系得到方程，解方程即可． 14、解：（1）xx2=（2000+8）2=20002+220008+82=4000000+32000+64=4032064； （2）782=（80－2）2=802－2802+22=6400－320+4=6084． 15、解：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2=2x2+4x－x－2－（x2－4x+4）－（x2+4x+4）=2x2+3x－2－x2+4x－4－x2－4x－4=3x－10． 當x=－時，原式=3（－）－10=－1－10=－11． 16、解：知道，做法如下：= ===． 點撥：由xxxx2=（xxxx－1）2，xxxx2=（xxxx+1）2，運用完全平方公式化簡即可．