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1、立體幾何第第 七七 章章第第4242講直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)講直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.2016全國(guó)卷，182016全國(guó)卷，192016江蘇卷，162016浙江卷，18與直線(xiàn)、平面垂直有關(guān)的命題判斷，線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直的證明，直線(xiàn)與平面所成的角的計(jì)算，求解二面角大小，由線(xiàn)面垂直或面面垂直探求動(dòng)點(diǎn)的位置.分值：56分板板 塊塊 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導(dǎo)航 1直線(xiàn)與平面垂直 (1)直線(xiàn)
2、和平面垂直的定義 如果一條直線(xiàn)l與平面內(nèi)的_直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)直線(xiàn)l與平面互相垂直任意一條 (2)判定定理與性質(zhì)定理兩條相交直線(xiàn) a，b abO la lb 平行 a b 2平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直 (2)判定定理和性質(zhì)定理直二面角 垂線(xiàn) l l 交線(xiàn) l a la 1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)直線(xiàn)l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直，則l.() (2)過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂面有且只有一個(gè)() (3)若兩條直線(xiàn)垂直，則這兩條直線(xiàn)相交() (4)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)垂直于另一平面() (5)
3、若平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則.() 解析 (1)錯(cuò)誤直線(xiàn)l與內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直才有l(wèi). (2)正確過(guò)一點(diǎn)可以作兩條相交直線(xiàn)都垂直于已知直線(xiàn)，而這兩條相交直線(xiàn)可確定一個(gè)平面，此平面與直線(xiàn)垂直 (3)錯(cuò)誤兩條直線(xiàn)垂直，這兩條直線(xiàn)可能相交，也可能異面 (4)錯(cuò)誤兩個(gè)平面垂直，有一條交線(xiàn)，一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面，而不是任意一條直線(xiàn) (5)錯(cuò)誤內(nèi)的一條直線(xiàn)如果與內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直才能線(xiàn)面垂直，從而面面垂直 2設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn)m，直線(xiàn)a在平面內(nèi)，直線(xiàn)b在平面內(nèi)，且bm，則“”是“ab”的() A充分不必要條件B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必
4、要條件 解析 由面面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)時(shí)，b. 又因?yàn)閍，則ab; 如果am，ab，不能得到， 故“”是“ab”的充分不必要條件故選AA 3已知m和n是兩條不同的直線(xiàn)， 和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是() A且mB且m Cmn且nDmn，n且 解析 ，且mm或m或m與相交，故A項(xiàng)不成立； ，且mm或m或m與相交，故B項(xiàng)不成立； mn，且nm.故C項(xiàng)成立； mn，n，且，知m不成立，故D項(xiàng)不成立，故選CC 4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有_對(duì) 解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，
5、平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC， 平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7對(duì)7 5在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O. (1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心； (2)若PAPB，PBPC, PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心 解析 (1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC， 故O是ABC的外心； (2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，則PABC 又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，則AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心外垂 (1)證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面
6、平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì) (2)證明線(xiàn)面垂直的核心是證線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直則需借助線(xiàn)面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線(xiàn)面垂直的基本思想 (3)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)常用來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直一直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn) (1)求證：直線(xiàn)AE直線(xiàn)DA1； (2)在線(xiàn)段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線(xiàn)AE平面DFG. 解析 (1)證明：由正方體的性質(zhì)可知， DA1AD1，DA1AB， 又ABAD1A，DA1平面ABC1D1， 又AE平面ABC1D1，DA1AE. (2)所求G點(diǎn)即為A1點(diǎn)，證明
7、如下： 由(1)可知AEDA1，取CD的中點(diǎn)H， 連接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可證DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE. 又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.二平面與平面垂直的判定與性質(zhì) (1)判定面面垂直的方法： 面面垂直的定義； 面面垂直的判定定理(a，a) (2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直 【例2】 已知三棱柱A1B1C1ABC的側(cè)棱與底面成60角，底面是等邊三角形，側(cè)面B1C1CB是菱形且與底面垂直，求證：AC1BC 證明 過(guò)C1作C1HBC于H，連接AH， 又
8、側(cè)面B1C1CB底面ABC， 側(cè)面B1C1CB 底面ABCBC， C1H底面ABC 側(cè)棱CC1與底面ABC所成角， 即為C1CH60，三垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題 解決垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題的方法 同“平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線(xiàn)段的中點(diǎn)或某個(gè)等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明 【例3】 如圖，在三棱臺(tái)ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC (1)設(shè)平面ACE平面DEFa，求證：DFa； (2)若EFCF2BC，試問(wèn)在線(xiàn)段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG平面CDE？若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 1(2018山東青島模擬)設(shè)a，b是兩條不同的
9、直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則能得出ab的是() Aa，b，Ba，b， Ca，b，Da，b， 解析 對(duì)于C項(xiàng)，由，a可得a，又b，得ab，故選CC 2(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線(xiàn)l，若直線(xiàn)m，n滿(mǎn)足m，n，則() AmlBmn CnlDmn 解析 l，l，n，nl.C 3如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中點(diǎn) 證明：(1) CDAE； (2)PD平面ABE. 證明 (1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PAC， 而AE平面PAC，CDAE. (2
10、)由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中點(diǎn)，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD而PD平面PCD，AEPD PA底面ABCD，PAAB又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD 又ABAEA，PD平面ABE. 4如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn) (1)求證：CD平面SAD； (2)求證：PQ平面SCD； (3)若SASD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN平面ABCD？并證明你的結(jié)論 解析 (1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD
11、AD 又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD， 所以CD平面SAD (3)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，使得平面DMN平面ABCD 連接PC，DM交于點(diǎn)O，連接PM，SP，NM，ND，NO， 因?yàn)镻DCM，且PDCM， 所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以POCO. 又因?yàn)镹為SC的中點(diǎn)，所以NOSP. 易知SPAD， 平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD， 所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD 因?yàn)镹O平面DMN，所以平面DMN平面ABCD 錯(cuò)因分析：已知條件中給出了線(xiàn)面垂直，求證的是線(xiàn)線(xiàn)平行，若忽略線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，則覺(jué)得論證無(wú)從下手，從而造成解題困難 【例1
12、】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在BD，B1C上，且MNBD, MNB1C，求證：MNAC1.易錯(cuò)點(diǎn)聯(lián)想不到已學(xué)定理 【跟蹤訓(xùn)練1】 如圖，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E, F分別是點(diǎn)A在PB, PC上的射影，給出下列結(jié)論： AFPB；EFPB；AFBC；AEBC正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為() A1B2 C3D4C 解析 AB是圓O的直徑，ACBC，又PA面ABC，故PABC，且PAACA，BC面PAC，BCAF. 又AFPC，且PCBCC，AF面PBC，故AFPB 又AEPB，且AFAEA，PB面AEF，從而EFPB，故正確若AEBC，則可證AE面PBC，則AEAF，這是不可能的，選C
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第42講 直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件
