高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第八節(jié) 直線與圓錐曲線課件 文

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1、第八節(jié)直線與圓錐曲線總綱目錄教材研讀1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷考點(diǎn)突破2.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題3.弦AB的中點(diǎn)與直線AB斜率的關(guān)系考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時(shí),通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯(lián)立,消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的方程,即聯(lián)立消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當(dāng)a0時(shí),若0,則直線l與

2、曲線r相交;若=0,則直線l與曲線r相切;若b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是+=1.(2)過(guò)橢圓+=1(ab0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所在直線方程是+=1.(3)橢圓+=1(ab0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2+B2b2=C2.22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb圓錐曲線的切線方程圓錐曲線的切線方程2.雙曲線的切線方程(1)雙曲線-=1(a0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是-=1.(2)過(guò)雙曲線-=1(a0,b0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所在直線方程是-=1.

3、(3)雙曲線-=1(a0,b0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2-B2b2=C2.22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb3.拋物線的切線方程(1)拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是y0y=p(x+x0).(2)拋物線y2=2px(p0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所在直線方程是y0y=p(x+x0).(3)拋物線y2=2px(p0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是pB2=2AC.直線l:f(x,y)=0,圓錐曲線r:F(x,y)=0,l與r有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x

4、2,y2),則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的兩組解,方程組消元后化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判別式=b2-4ac,應(yīng)有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個(gè)根.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-,x1x2=,以此結(jié)合弦長(zhǎng)公式可整體代入求值.A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|=|x1-x2|=(其中k為直線l的斜率),也可以寫(xiě)成關(guān)于y的形式,即|AB|=|y1-y2|=(k0).特殊地,如果( , )0,( , )0f x yF x ybaca1212,bcyyy yaa 或21k21k21212()4x

5、xx x211k211k21212()4yyy y2.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),拋物線方程以y2=2px(p0)為例,那么|AB|=x1+x2+p.3.弦弦AB的中點(diǎn)與直線的中點(diǎn)與直線AB斜率的關(guān)系斜率的關(guān)系(1)已知AB是橢圓+=1(ab0)的一條弦,其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0).運(yùn)用點(diǎn)差法求直線AB的斜率,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在橢圓上,兩式相減得+=0,+=0,=-=-,故kAB=-.(2)已知AB是雙曲線-=1(a0,b0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x22xa22yb22

6、11222222221,1,xyabxyab22122xxa22122yyb12122()()xxxxa12122()()yyyyb1212yyxx212212()()bxxayy2020b xa y2020b xa y22xa22yb2,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB=.(3)已知AB是拋物線y2=2px(p0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中點(diǎn)M(x0,y0).則兩式相減得-=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),=,即kAB=.2020b xa y2112222,2,ypxypx21y22y1212yyxx1

7、22pyy0py0py1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定29x24y答案答案A由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過(guò)定點(diǎn)(1,1),又(1,1)在橢圓內(nèi),故直線與橢圓必相交.A2.直線y=x+3與雙曲線-=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.1或2D.0ba22xa22yb答案答案A因?yàn)橹本€y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn).babaA3.雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)焦點(diǎn)F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左,右兩支都相交的充要條件是()A.k-B.k或k-D.-k22xa22ybba

8、bababababa答案答案D由雙曲線的漸近線的幾何意義知-k0)的焦點(diǎn),直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=6,則p的值為()A.B.C.1D.21232答案答案B由得x2-(2m+2p)x+m2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2m+2p,又直線l:x-y-m=0經(jīng)過(guò)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn),-0-m=0,解得m=,又|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=2m+3p=4p=6,p=,故選B.20,2xymypx,02p2p2p2p2p32B5.過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有條.答案答案33解析解析當(dāng)過(guò)點(diǎn)

9、(0,1)的直線的斜率不存在時(shí),方程為x=0,與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意.當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在時(shí),設(shè)為k,此時(shí)直線為y=kx+1,由得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)21,4ykxyx當(dāng)k=0時(shí),方程(*)只有一解,即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意,當(dāng)k0時(shí),由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線y=x+1與拋物線相切,綜上,符合條件的直線有3條.典例典例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x

10、相切,求直線l的方程.22xa22yb考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)由題意得a2-b2=1,b=1,則a=,橢圓C1的方程為+y2=1.(2)易得直線l的斜率存在且不為零,則可設(shè)l的方程為y=kx+b(k0).222x由消去y,整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1.由消去y,整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,221,2xyykxb24 ,yxykxb2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=

11、0,即kb=1,由得b=,代入得=2k2+1,2221,1.bkkb1k21k即2k4+k2-1=0.令t=k2,則2t2+t-1=0,解得t1=或t2=-1(舍),或l的方程為y=x+或y=-x-.122,22kb2,22.kb 222222方法技巧方法技巧(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來(lái)確定,需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí),聯(lián)立方程并消元,得到一元方程,此時(shí)注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0

12、的大小關(guān)系求解.1-1若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),那么k的取值范圍是()A.B.C.D.1515,33150,315,0315, 13D答案答案D由消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0,直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn),解得-kb0)的離心率是,且過(guò)點(diǎn)P(,1).直線y=x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)求PAB的面積的最大值.22xa22yb22222考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題解析解析(1)設(shè)橢圓C:+=1(ab0)的半焦距為c.因?yàn)闄E圓C的離心率是,所以=1-=,即a2=2b2.由解得所以橢圓C的方程為+=1.(2)將y=

13、x+m代入+=1,22xa22yb2222ca222aba22ba1222222,211,abab224,2.ab24x22y2224x22y消去y,整理得x2+mx+m2-2=0.2令=2m2-4(m2-2)0,解得-2mb0)的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí),AB=4.(1)求橢圓的方程;(2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程.22xa22yb12487解析解析(1)由題意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,所以橢圓方程為+=1.(2)當(dāng)兩條弦中的一條弦所在直線的斜率為0時(shí),另一條弦所在直線的斜率不存在,由題

14、意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.當(dāng)兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線CD的方程為y=-(x-1).ca12324x23y1k將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.同理,|CD|=,所以|AB|+|CD|=+=,解得k=1,所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.22834kk2241234kk21k 21k 21212()4xxx x2212(1)34kk22112143kk2212(1

15、)34kk2212(1)34kk2212(1)34kk222284(1)(34)(34)kkk487典例典例3拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn),則拋物線C的方程為()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x考點(diǎn)三考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題中點(diǎn)弦問(wèn)題解析解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p0),則兩式相減可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1,拋物線C的方程為y2=2x.2112222,2,ypxypx1212yyxx答案答案BB方法技巧方法技巧處理中點(diǎn)弦問(wèn)題的常用方法

16、(1)點(diǎn)差法:設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系:聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.1212yyxx3-1已知拋物線y=x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N關(guān)于直線l:y=-kx+對(duì)稱,求k的取值范圍.92解析解析由題意知k0,設(shè)M(x1,),N(x2,),因?yàn)镸Nl,所以=,即x1+x2=.又MN的中點(diǎn)在l上,所以=-k+=-k+=4,因?yàn)镸N的中點(diǎn)必在拋物線內(nèi),所以,即4,所以k2,即k或k-,故k的取值范圍是.21x22x221212xxxx1k1k22122xx122xx9212k9222122xx2122xx212k11614141,4 1,4