河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 幾何圖形的折疊與動點問題訓(xùn)練.doc

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專題三　幾何圖形的折疊與動點問題 類型一 與特殊圖形有關(guān) (xx河南)如圖，∠MAN＝90，點C在邊AM上，AC＝4，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連接DE并延長交A′B所在直線于點F，連接A′E.當△A′EF為直角三角形時，AB的長為________． 【分析】 當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：①∠A′EF＝90，②∠A′FE＝90進行討論． 【自主解答】 當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：①當∠A′EF＝90時，如解圖①，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵點D，E分別為AC，BC的中點，∴D、E是△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜邊BC的中點，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4；②當∠A′FE＝90時，如解圖②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90.∴∠ABF＝90，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，∴∠ABC＝∠CBA′＝45，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；綜上所述，AB的長為4或4. 圖① 圖② 1．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30，點E是射線DA上一動點，把△CDE沿CE折疊，其中點D的對應(yīng)點為D′，連接D′B. 若使△D′BC為等邊三角形，則DE＝________________. 2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AB＝5，AC＝4，E、F分別為AB、AC上的點，沿直線EF將∠B折疊，使點B恰好落在AC上的D處．當△ADE恰好為直角三角形時，BE的長為______． 3．(xx河南)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝AC，BC＝＋1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點B′始終落在邊AC上．若△MB′C為直角三角形，則BM的長為__________． 4．(xx新鄉(xiāng)一模)菱形ABCD的邊長是4，∠DAB＝60，點M、N分別在邊AD、AB上，且MN⊥AC，垂足為P，把△AMN沿MN折疊得到△A′MN.若△A′DC恰為等腰三角形，則AP的長為____________． 5．(xx三門峽一模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點C′，連接C′D交AB于點E，連接BC′.當△BC′D是直角三角形時，DE的長為______． 6．(xx盤錦)如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90，∠A＝60，AC＝2＋4，點M、N分別在線段AC、AB上．將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應(yīng)點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為__________． 7．(xx烏魯木齊)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝2，AC＝2，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點F，若△AB′F為直角三角形，則AE的長為________． 8．(xx洛陽一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，點P是對角線AC上的一個動點，過點P作EF垂直AC交AD于點E，交AB于點F，將△AEF折疊，使點A落在點A′處，當△A′CD為等腰三角形時，AP的長為______． 9．(xx濮陽一模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，點D，E為AC，BC上兩個動點．若將∠C沿DE折疊，點C的對應(yīng)點C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時CD的長為__________． 類型二 點的位置不確定 (xx河南)如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N.當點B′為線段MN的三等分點時，BE的長為________． 【分析】 根據(jù)勾股定理，可得EB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EN的長，根據(jù)勾股定理，可得答案． 【自主解答】 由翻折的性質(zhì)，得AB＝AB′，BE＝B′E.①當MB′＝2，B′N＝1時，設(shè)EN＝x，得B′E＝.由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x2＝，BE＝B′E＝＝； ②當MB′＝1，B′N＝2時，設(shè)EN＝x，得B′E＝，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝，解得x2＝，BE＝B′E＝＝，故答案為：或. 1．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使D點落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若點E是BC的三等分點，則線段CH的長是_______． 2．(xx林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，點E是AD邊上一動點，將邊AB沿BE折疊，點A的對應(yīng)點為A′.若點A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3，則AE的長為__________． 3．(xx河南)如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的平分線上時，DE的長為______． 4．(xx商丘模擬)如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿直線AE折疊，當點D的對應(yīng)點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，則DE的長為__________． 5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，點P是AB上(不含端點A，B)任意一點，把△PBC沿PC折疊，當點B的對應(yīng)點B′落在矩形ABCD對角線上時，BP＝________． 6．(xx河南模擬)如圖，△ABC中，AB＝，AC＝5，tan A＝2，D是BC中點，點P是AC上一個動點，將△BPD沿PD折疊，折疊后的三角形與△PBC的重合部分面積恰好等于△BPD面積的一半，則AP的長為____________． 7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，點E在邊BC上，且BE＝2CE，將矩形沿過點E的直線折疊，點C，D的對應(yīng)點分別為C′，D′，折痕與邊AD交于點F，當點B，C′，D′恰好在同一直線上時，AF的長為__________________． 類型三 根據(jù)圖形折疊探究最值問題 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A′EF，則A′C的長的最小值是________． 【分析】 以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE.當點A′在線段CE上時，A′C的長取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長度，用CE－A′E即可求出結(jié)論． 例3題解圖 【自主解答】 以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點A′在線段CE上時，A′C的長取最小值，如解圖所示．根據(jù)折疊可知：A′E＝AE＝AB＝1.在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE－A′E＝－1.故答案為－1. 1．(2019原創(chuàng))如圖，在邊長為10的等邊三角形△ABC中，D是AB邊上的動點，E是AC邊的中點，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，連接BA′，則BA′的最小值是__________． 2．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB邊上的點，AE＝5，點P在AD邊上，將△AEP沿EP折疊，使得點A落在點A′的位置，如圖，當A′與點D的距離最短時，△A′PD的面積為________． 3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E為AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D.則當B′D取得最小值時，tan∠BEF的值為__________． 4．(xx河南模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點(點E不與點B重合)，沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF的長取最小值時，BF的長為_________． 參考答案 類型一 針對訓(xùn)練 1.＋1或2－2　【解析】(1)當點E在邊AD上時，過點E作EF⊥CD于F，如解圖①，設(shè)CF＝x， 第1題解圖① ∵∠ABC＝30，∴∠BCD＝150.∵△BCD′是等邊三角形，∴∠DCD′＝90.由折疊可知，∠ECD＝∠D′CE＝45，∵EF＝CF＝x，在直角三角形DEF中，∠D＝30，∴DE＝2x，∴DF＝x，∴CD＝CF＋DF＝x＋x＝2，解得x＝x－1，∴DE＝2x＝2－2. (2)當E在DA的延長線上時，如解圖②. 第1題解圖② 過點B作BF⊥DA于點F，根據(jù)折疊可知，∠ED′C＝∠D＝30，又∵三角形BD′C是等邊三角形，∴D′E垂直平分BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30∴∠BAF＝30，又∵AB＝2，∴AF＝.令D′E與BC的交點為G，則易知EF＝BG＝BC＝1，∴AE＝－1，∴DE＝＋1，綜上所述，DE的長度為＋1或2－2. 2.或　【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3.沿直線EF將∠B折疊，使點B恰好落在BC上的D處，當△ADE恰好為直角三角形時，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BE＝DE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，AE＝5－x，①當∠ADE＝90時，則DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x＝；②當∠AED＝90時，則△AED∽△ACB，∴＝，∴＝，解得x＝，故所求BE的長度為：或. 3.＋或1　【解析】①如解圖①，當∠B′MC＝90，B′與A重合，M是BC的中點，∴BM＝BC＝＋；②如解圖②，當∠MB′C＝90，∵∠A＝90，AB＝AC，∴∠C＝45，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝MB′.∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點為B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM.∵BC＝＋1，∴CM＋BM＝BM＋BM＝＋1，∴BM＝1，綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為＋或1. 圖① 圖② 第3題解圖 4.或2－2　【解析】①如解圖①，當A′D＝A′C時，∠A′DC＝∠A′CD＝30，∴∠AA′D＝60.又∵∠CAD＝30，∴∠ADA′＝90，在Rt△ADA′中，AA′＝＝＝，由折疊可得AP＝AA′＝； 圖① 圖② 第4題解圖 ②如解圖②，當CD＝CA′＝4時，連接BD交AC于O，則Rt△COD中，CO＝CDcos 30＝4＝2，∴AC＝4，∴AA′＝AC－A′C＝4－4，由折疊可得AP＝AA′＝2－2；故答案為或2－2. 5 .或　【解析】如解圖①所示，點E與點C′重合時．在Rt△ABC中，BC＝＝4.由翻折的性質(zhì)可知；AE＝AC＝3、DC＝DE，則EB＝2.設(shè)DC＝ED＝x，則BD＝4－x.在Rt△DBE中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝(4－x)2.解得x＝.∴DE＝. 圖① 圖② 第5題解圖 如解圖②所示：∠EDB＝90時．由翻折的性質(zhì)可知：AC＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90.∵∠C＝∠AC′D＝∠CDC′＝90，∴四邊形ACDC′為矩形．又∵AC＝AC′，∴四邊形ACDC′為正方形．∴CD＝AC＝3.∴DB＝BC－DC＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴＝＝，即＝.解得DE＝.點D在CB上運動，∠DBC′＜90，故∠DBC′不可能為直角．故答案為：或. 6.或　【解析】分兩種情況：①如解圖①，當∠CDM＝90，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90，∠A＝60，AC＝2＋4，∴∠C＝30，AB＝AC＝＋2，由折疊可得，∠MDN＝∠A＝60，∴∠BDN＝30，∴BN＝DN＝AN，∴BN＝AB＝，∴AN＝2BN＝＋，∵∠DNB＝60，∴∠ANM＝∠DNM＝60，∴∠ANM＝60，∴AN＝MN＝.②如解圖②，當∠CMD＝90時，△CDM是直角三角形，由題可得∠CDM＝60，∠A＝∠MDN＝60，∴∠BDN＝60，∠BND＝30，∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，又∵AB＝＋2，∴AN＝2，BN＝，過N作NH⊥AM于H，則∠ANH＝30，∴AH＝AN＝1，HN＝，由折疊可得∠AMN＝∠DMN＝45，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM＝HN＝，∴MN＝，故答案為或. 圖① 圖② 第6題解圖 7．3或　【解析】∴∠C＝90，BC＝2，AC＝2，∴tan B＝＝＝，∴∠B＝30，∴AB＝2AC＝4.∵點D是BC的中點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′D′E的位置，B′D交AB于點F，∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30.設(shè)AE＝x，則BE＝4－x，EB′＝4－x，當∠AFB′＝90時，在Rt△BDF中，cos B＝，∴BF＝cos 30＝，∴EF＝－(4－x)＝x－.在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30，∴EB′＝2EF， 則4－x＝2(x－)，解得x＝3，此時AE為3； 第7題解圖 當∠FB′A＝90時，作EH⊥AB′于H，連接AD，如解圖，∵DC＝DB′，AD＝AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90＋30＝120，∴∠EB′H＝60.在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝(4－x)，EH＝B′H＝(4－x)，在Rt△AEH中，∵EH2＋AH2＝AE2，∴(4－x)2＋[(4－x)＋2]2＝x2，解得x＝，此時AE為.綜上所述，AE的長為3或. 8.或　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90，∴∠EAP＋∠AEP＝90，∠FAP＋∠AFP＝90，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四邊形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′.①當CD＝CA′時，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②當A′C＝A′D時，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝，故答案為或. 9.或　【解析】①如解圖①，當∠ADC′＝90時，∠ADC′＝∠C， 第9題解圖① ∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，設(shè)CD＝C′D＝x，則AD＝3－x，∴＝，解得x＝，經(jīng)檢驗：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如解圖②，當∠DC′A＝90時，∠DCB＝90， 第9題解圖② 由折疊可得，∠C＝∠DC′E＝90，∴C′B與CE重合，由∠C＝∠AC′D＝90，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，設(shè)CD＝C′D＝x，則AD＝3－x，∴＝，解得x＝，∴CD＝.綜上所述，CD的長為或. 類型二 針對訓(xùn)練 1．4或　【解析】設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝9－x，當BE∶EC＝2∶1時，BC＝9，∴CE＝BC＝3.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.當BE∶EC＝1∶2時，CE＝BC＝6.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝62＋x2，解得：x＝，即CH＝.故CH的長為4或. 2.或　【解析】如解圖，過點A′作A′M⊥AD于M交BC于N，則四邊形ABNM是矩形，∴AB＝MN＝4.∵若點A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①當A′M＝1，A′N＝3時，在Rt△BA′N中，BN＝＝，∴AM＝BN＝.由△A′EM～△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②當A′M＝3，A′N＝1時，同理可得AE＝. , 第2題解圖)　　 第3題解圖 3.或　【解析】如解圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P.∵點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的平分線上，∴MD′＝PD′.設(shè)MD′＝x，則PD′＝BM＝x，∴AM＝AB－BM＝7－x，又由折疊圖形可得AD＝AD′＝5，∴x2＋(7－x)2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，設(shè)ED′＝a，①當MD′＝3時，AM＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN＝4－a，∴a2＝22＋(4－a)2，解得a＝，即DE＝；②當MD′＝4時，AM＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN＝3－a，∴a2＝12＋(3－a)2，解得a＝，即DE＝.綜上所述，DE的長為或. 4.或10　【解析】分兩種情況：①如解圖①，當點F在矩形內(nèi)部時，∵點F在AB的垂直平分線MN上，∴AN＝4.∵AF＝AD＝5，由勾股定理得FN＝3，∴FM＝2.設(shè)DE為x，則EM＝4－x，F(xiàn)E＝x，在△EMF中，由勾股定理，得x2＝(4－x)2＋22，∴x＝，即DE的長為； 圖① 圖② 第4題解圖 ②如解圖②，當點F在矩形外部時，同①的方法可得FN＝3，∴FM＝8，設(shè)DE為y，則EM＝y(tǒng)－4，F(xiàn)E＝y(tǒng)，在△EMF中，由勾股定理，得y2＝(y－4)2＋82，∴y＝10，即DE的長為10.綜上所述，點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，DE的長為或10. 5．3或　【解析】①點A落在矩形對角線BD上，如解圖①，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6∴∠ABC＝90，AC＝BD，∴AC＝BD＝＝10.根據(jù)折疊的性質(zhì)，得PC⊥BB′，∴∠PBD＝∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴＝，即＝，解得BP＝；②點A落在矩形對角線AC上，如解圖②，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BP＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90，∴∠AB′A＝90，∴△APB′∽△ACB，∴＝，即＝，解得BP＝3，故答案為：3或. 圖① 圖② 第5題解圖 6．2或5－　【解析】分兩種情況：①當點B′在AC的下方時，如解圖①，∵D是BC中點，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝S△BPD，∴S△PDF＝S△PDC.∴F是PC的中點，∴DF是△BPC的中位線，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折疊得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，過B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝＝2，∵AB＝，∴AE＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝＝＝2，∵D為BC的中點，∴BD＝，∴PB＝BD＝，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2； 圖① 圖② 第6題解圖 ②當點B′在AC的上方時，如解圖②，連接B′C，同理得：F是DC的中點，F(xiàn)是PB′的中點，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四邊形DPCB′是平行四邊形，∴PC＝B′D＝BD＝，∴AP＝5－，綜上所述，AP的長為2或5－. 7．8＋2或8－2　【解析】由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90，C′E＝CE.∵點B、C′、D′在同一直線上，∴∠BC′E＝90，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，＝2，∴∠C′BE＝30.①當點C′在BC的上方時，如解圖①，過E作EG⊥AD于G，延長EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30，∠BC′E＝90，∴∠BEC′＝60，由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF＝∠CEF＝60.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60，∴△EFH是等邊三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝2，∴AF＝8＋2；②當點C′在BC的下方時，如解圖②，過F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四邊形ABGF是矩形，△EFH是等邊三角形，∴AF＝BG，F(xiàn)G＝AB＝6，∠FEH＝60，在Rt△EFG中，GE＝2.∵BE＝8，∴BG＝8－2，∴AF＝8－2. 圖① 圖② 第7題解圖 類型三 針對訓(xùn)練 1．5－5　【解析】如解圖，連接BE. 第1題解圖 ∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60.∵AB＝BC，E是AC的中點，∴BE⊥AC.∴BE＝＝＝5.∵AC＝10，E是AC邊的中點，∴AE＝5.由翻折的性質(zhì)可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴當點B、A′、E在一條直線上時，BA′有最小值，最小值＝BE－A′E＝5－5. 2.　【解析】連接DE，DE＝＝13，∵將△AEP沿FP折疊，使得點A落在點A′的位置，∴EA′＝EA＝5，∵A′D≥DE－EA′ 第2題解圖 (當且僅當A′點在DE上時，取等號)，∴當A′與點D的距離最短時，A′點在DE上，∴DA′＝13－5＝8，設(shè)PA′＝x，則PA＝x，PD＝12－x，在Rt△DPA′中，x2＋82＝(12－x)2，解得x＝，∴△A′PD的面積＝8＝. 3.　【解析】在Rt△ADE中，DE＝＝2，當B′在ED上時，B′D最小，在ED上截取EB′＝EB＝2，連接B′F，F(xiàn)D，則B′D＝ED－EB′＝2－2，設(shè)BF＝x，則B′F＝x，CF＝4－x，在Rt△B′FD和Rt△FCD中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F2＝DF2＝CF2＋DC2，即(2－2)2＋x2＝(4－x)2＋42，解得x＝＋1，∴Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝. 　第3題解圖 4.　【解析】由題意得：DF＝DB， 第4題解圖 ∴點F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D; 連接AD交⊙D于點F，此時AF值最小，∵點D是邊BC的中點，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2，∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即線段AF長的最小值是2，連接BF，過F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴＝＝，即＝＝，∴HF＝，DH＝，∴BH＝，∴BF＝＝.