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1、工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0c
一、已知矩陣，的子集
1、證明：V是的子空間；
2、求V的一組基及V的維數(shù)；
3、證明，并求A在上小題所提基下的坐標(biāo)；
4、試給出的兩個(gè)不同的子空間及，使得
解：1、設(shè)，
所以，V對加法和數(shù)乘封閉，故V是的子空間。
2、設(shè)
，所以V的基為，2維。
3、，在下的坐標(biāo)為。
4、擴(kuò)充V的基為上的基,擴(kuò)充出來的向量生成的子空間即為的基。
V的基為，找兩組與、線性無關(guān)的向量。
容易看出，中的四個(gè)列向量線性無關(guān)，故
中的四個(gè)列向量也線性無關(guān)，故
二、假設(shè)3維線性空間V上的線性變換在V的基下的矩陣為。問：當(dāng)滿足什么條件時(shí)
2、，存在V的一組基，使得的矩陣是？
解：
、為同一線性變換下的矩陣，故∽，有相同的jordan?標(biāo)準(zhǔn)形，相同的特征值，相同的跡，相同的秩。
根據(jù)、跡相同(即主對角元素的和相同)得：，，
，
時(shí)，，求得
時(shí)，
， 或，
三、設(shè)矩陣，上的變換定義如下：
1、證明：是線性變換；
2、求在的基下的矩陣M；
3、求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；
4、試求M的jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；
5、問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？
解：
1、證明：設(shè)
故關(guān)于加法和數(shù)乘封閉，為線性變換。
2、
3、，的基
3、，，2維。
，的基，，2維。
4、
5、不能找到
四、求下列矩陣的廣義逆矩陣：
1、；
解：
2、，其中，。
解：
故對B進(jìn)行滿秩分解，
五、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，均為，給出可能的jordan標(biāo)準(zhǔn)形。
解： 根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，均為，可得
： ∽∽
當(dāng),則
： 令，
求出代入，求出
： 令，
4、
求出代入，求出
六、矩陣函數(shù)：
1、設(shè)，求矩陣函數(shù)，并給出的特征多項(xiàng)式。
解：求：
令，
求的特征多項(xiàng)式：
的特征值為，的特征值即為，故的特征值為，。
2、設(shè)，試將表示成關(guān)于A的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，并求。
解：，當(dāng)時(shí)，
令
求出代入，求出
七、設(shè)的子空間，，求使得。
該題與“工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a”第三題類似，為找正投影問題。
八、證明題：
1、證明：若酉矩陣A滿足，則。
證明：令
，為的化零多項(xiàng)式，
的特征值一定是的根，（重?cái)?shù)未知），（重?cái)?shù)未知），
設(shè) （可能為0，也可能為1）
為酉矩陣，一定相似于，即∽，由此得的重?cái)?shù)為0，
，（只可能為0），
得證。
2、設(shè)H陣A，B均是正定的，證明：AB的特征值均為正實(shí)數(shù)。
該題與“工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a”第七題第二小題相同。
東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢?修改)2
