高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用舉例課件 新人教A版必修5

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1、基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC2sinsinsin()abcRABCR其中 為外接圓的半徑1、分析分析：理解題意，畫出示意圖 2、建模建模：把已知量與求解量集中在一個(gè)三角形中3、求解求解：運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。4、檢驗(yàn)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。 實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題（三角形）數(shù)學(xué)問題（三角形）數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）實(shí)際問題的解實(shí)際問題的解解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：:多應(yīng)用實(shí)際

2、測量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測量距離.(2)測量高度.)3(測量角度解斜三角形中的有關(guān)名詞、術(shù)語解斜三角形中的有關(guān)名詞、術(shù)語： （1）坡度：斜面與地平面所成的角度。）坡度：斜面與地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在）仰角和俯角：在視線視線和和水平線水平線所成的角中，所成的角中，視線在水平線視線在水平線上方上方的角叫仰角，視線在水平線的角叫仰角，視線在水平線下下方方的角叫俯角。的角叫俯角。 （3）方位角：從正北方向）方位角：從正北方向順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的夾角。的夾角。 （4）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角內(nèi)交

3、叉而成的角:多應(yīng)用實(shí)際測量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測量距離.例例1.設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出測出AC的距離是的距離是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A,B兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為65.7米。米。sinsinsin5

4、5sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCm變式練習(xí)：兩燈塔變式練習(xí)：兩燈塔A A、B B與海洋觀察站與海洋觀察站C C的距離都的距離都等于等于a km,a km,燈塔燈塔A A在觀察站在觀察站C C的北偏東的北偏東3030，燈塔，燈塔B B在觀察站在觀察站C C南偏東南偏東6060，則，則A A、B B之間的距離為多少？之間的距離為多少？例例2.A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間的距離的方法。一種測量兩點(diǎn)間的距離的方法。分析：用例分

5、析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)點(diǎn)C到對岸兩點(diǎn)的距離，再測出到對岸兩點(diǎn)的距離，再測出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。兩點(diǎn)間的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得，測得CD=a,并并且在且在C、D兩點(diǎn)分別測得兩點(diǎn)分別測得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出計(jì)算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出算出AB兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離sin()s

6、in()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距4040米的米的C C、D D兩兩點(diǎn)，測得點(diǎn)，測得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間距離 .注：閱讀教材注：閱讀教材P12P12，了解，了解基線基線的概念的概念練習(xí)練習(xí)1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30

7、min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設(shè)點(diǎn) 到直線的距離為則此船可以繼續(xù)沿正北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正北方向航行練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自

8、動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸

9、貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿BCBC約長

10、約長1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC :多應(yīng)用實(shí)際測量中有許正弦定理和余弦定理在(2)測量高度.測量垂直高度測量垂直高度 1 1、底部可以到達(dá)的、底部可以到達(dá)的 測量出角測量出角C C和和BCBC的長度，解直的長度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的長。的長。 .,. 3的方法物高度設(shè)計(jì)一種測量建筑為建筑物的最高點(diǎn)不可到達(dá)的一個(gè)建筑物是底部例ABABAB圖中給出了怎樣的一個(gè)圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想B

11、EAGHDC2 2、底部不能到達(dá)的、底部不能到達(dá)的 例例3 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測量出建筑物的高。由解接測量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能直角三角形的知識(shí)，只要能測出一點(diǎn)測出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測出由點(diǎn)并測出由點(diǎn)C觀察觀察A的仰角，就可以計(jì)算的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解

12、三角形的知識(shí)測出法借助解三角形的知識(shí)測出CA的長的長。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由三點(diǎn)在同一條直線上。由在在H,G兩點(diǎn)用測角儀器測得兩點(diǎn)用測角儀器測得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測角儀測角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法的方法BEAG

13、HDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精確到求出山高部分的高為塔已知鐵角處的俯處測得在塔底的俯角面上一點(diǎn)處測得地鐵塔上在山頂如圖例分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出法計(jì)算出AB或或AC的長的長)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，

14、BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，例例3 3：如圖：如圖, ,一輛汽車在一條水平的公路上向一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛正西行駛, ,到到A A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D D在西偏北在西偏北15150 0的方向上的方向上, ,行駛行駛5km5km后到達(dá)后到達(dá)B B處處, ,測測得此山頂在西偏北得此山頂在西偏北25250 0的方向上的方向上, ,仰角為仰角為8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度CD CD 分析：要測出高分析：要測出高CD,只要測出只要測出高所在的直角三角形的另一條高所在的直角三角

15、形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出條件，可以計(jì)算出BC的長。的長。例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測得處時(shí)測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到后到達(dá)達(dá)B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsi

16、nkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。變式：某人在變式：某人在M M汽車站的北偏西汽車站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的A A處，觀察到點(diǎn)處，觀察到點(diǎn)C C處有一輛汽車處有一輛汽車沿公路向沿公路向M M站行駛。公路的走向是站行駛。公路的走向是M M站站的北偏東的北偏東40400 0。開始時(shí)，汽車到。開始時(shí)，汽車到A A的距離的距離為為3131千米，汽車前進(jìn)千米，汽車前進(jìn)2020千米后，到千米后，到A A的的距離縮短了距離縮短了1010千米。問汽車還需行駛千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M M汽

17、車站？汽車站？ :多應(yīng)用實(shí)際測量中有許正弦定理和余弦定理在.)3(測量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmileCACnmileBBnmileA確到距離精角度精確到需要航行多少距離航行此船應(yīng)該沿怎樣的方向出發(fā)到達(dá)航行直接從如果下次后到達(dá)海島的方向航行東沿北偏出發(fā)然后從后到達(dá)海島航行的方向沿北偏東出發(fā)一艘海輪從如圖例例例6 一艘海輪從一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島B,然后從然后從B出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C.

18、如果下次航行直接從如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1,距距離精確到離精確到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC練習(xí)練習(xí)1 1如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在的傳遞，活塞作直線

19、往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在在A處，設(shè)連處，設(shè)連桿桿AB長為長為340mm，由柄，由柄CB長為長為85mm，曲柄自，曲柄自CB按順時(shí)針方按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)80，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距移動(dòng)的距離離 ）（精確到）（精確到1mm） AA0已知已知ABC中，中， BC85mm，AB340mm，C80，求求AC 解：（如圖）在解：（如圖）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin ABCBCA因?yàn)橐驗(yàn)锽CAB，所以，所以

20、A為銳角為銳角 ， A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：)(3 .3449848. 05485sin340sinsinmm CBABAC解解 題題 過過 程程)(817 .803 .344)85340()(00mm ACBCABACCAAA答：活塞移動(dòng)的距離為答：活塞移動(dòng)的距離為81mm 解解 題題 過過 程程 解：如圖，在解：如圖，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 2.我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西由島

21、沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小時(shí)的速度航行問我艦需小時(shí)的速度航行問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？小時(shí)追上敵艦？CB405010 我艦的追擊速度為我艦的追擊速度為14海里海里/小時(shí)，小時(shí)，28 BC 練習(xí)練習(xí)又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：1435sinsinsinsin BCAACBABCBAC故故 38B故我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|故我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|5038123. 3.5m長的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端離堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地對地面的傾斜角。63.77總總 結(jié)結(jié)實(shí)際問題實(shí)際問題抽象概括抽象概括示意圖示意圖數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型推理推理演算演算數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問題的解實(shí)際問題的解還原說明還原說明