數(shù)學第八章 復數(shù)

第八章復數(shù)高考數(shù)學高考數(shù)學1.如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等這兩個復數(shù)相等.即如果a、b、c、dR,那么a+bi=c+dia=c且b=d.2.3.復數(shù)的加、減、乘、除運算按以下法則進行.加減法:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.知識清單乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.除法:=(c+di0).4.復數(shù)的加法、乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對加減法的分配律,實數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪運算也能推廣到復數(shù)集中,即zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=(m、nN*).5.i、常用的性質(zhì)(1)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*.(2)(1i)2=2i;=i;=-i;in+in+1+in+2+in+3=0(nN*).(3)=-+i,則3=1,n+n+1+n+2=0(nN*).iiabcd22(i)(i)abcdcd22()()iacbdbcadcd1nz2nz1i1i1i1i12326.復數(shù)z=a+bi(a,bR)的模,也就是向量的模,即有向線段的長度,計算公式|a+bi|=.當b=0時,復數(shù)a+bi就是實數(shù).由上面的公式,有|a|=,這與實數(shù)的絕對值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致,可見,復數(shù)的模就是實數(shù)的絕對值概念的擴充.7.共軛復數(shù)及其運算性質(zhì)z=a+bi與=a-bi互為共軛復數(shù),且z+=2a,z-=2bi,z=|z|2=|2,它的運算性質(zhì)有=,=,=(z20).8.設(shè)z=a+bi,則|z|=r=且有(1)|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|;OZOZ22ab2azzzzz12zz1z2z12zz1z2z12zz12zz22ab(2)|z|2=z;(3)|z|=1z=1;(4)|z|2=|2=|z2|=|2|=z.9.復平面內(nèi)的兩點間距離公式:d=|z1-z2|,其中z1、z2是復平面內(nèi)的兩點Z1和Z2所對應的復數(shù),d為Z1和Z2間的距離.zzzzz 復數(shù)的幾何意義復數(shù)的幾何意義對于復數(shù)的代數(shù)形式a+bi(a,bR),a、b分別對應復平面上點的橫坐標、縱坐標,復數(shù)z=a+bi(a,bR)還可以與復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應.因此,可根據(jù)需要把復數(shù)轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)的點或向量,借用“數(shù)形結(jié)合”可快速解決有關(guān)復數(shù)的幾何意義的題目.例1(1)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)=1+2i(i為虛數(shù)單位),則z在復平面內(nèi)對應的點位于第象限.(2)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第象限.OZz2i1i方法技巧方法1解析(1)由條件知:z=1-2i,其在復平面內(nèi)對應的點為(1,-2),在第四象限.(2)=-1+i,復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點是(-1,1),它位于第二象限.2i1i2i(1i)22i1i答案(1)四(2)二 求解有關(guān)復數(shù)方程的常用方法求解有關(guān)復數(shù)方程的常用方法1.化虛為實法:將復數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解.如設(shè)復數(shù)z=x+yi(x,yR,且y0),從而利用復數(shù)相等的條件將復數(shù)z的問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)x,y的實數(shù)問題來求解.復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題最基本、最重要的思想方法.2.求根公式法:有關(guān)求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR,且a0)的根的問題.其求解思路是先求判別式=b2-4ac,若0,則其根為x=,若0,則其根為x=.3.根與系數(shù)關(guān)系式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR,且a0)的根x1,x2(實根或虛根)滿足關(guān)系式x1+x2=-,x1x2=.2bb42aac 2b42aacb i baca方法2例2若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復數(shù)根,則b=,c=.2解題導引若虛數(shù)1+i是方程x2+bx+c=0的根,則1-i也是方程x2+bx+c=0的根,利用根與系數(shù)的關(guān)系,即可求出b,c的值.22解析因為1+i是實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個虛根,所以1-i也是此方程的根,則解得221212b,(12 )(12 )c,iiii b2,c3. 答案-2;3