數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理

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1、第第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積節(jié)空間幾何體的表面積與體積最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.1.多面體的表(側(cè))面積多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)_S圓錐側(cè)_S圓臺(tái)側(cè)_2rlrl(r1r2)l3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積Sh4R2常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.長(zhǎng)方體的外接球2.正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球3.正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在

2、括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()(2)球的體積之比等于半徑比的平方.()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.()解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm).答案B3.(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()答案A4.(2016全國(guó)卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，

3、則該球的表面積為()答案A6.(2016浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_cm2，體積是_cm3.解析由三視圖可知，該幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4 cm、2 cm、2 cm，其直觀圖如下：其體積V222432(cm3)，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為S2(222244)2222(832)872(cm2).答案7232考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A.17 B.18C.20 D.28解析(1)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯

4、形，如圖所示.(2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球(被過(guò)球心O且互相垂直的三個(gè)平面)答案(1)B(2)A規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法.(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 (1)(2016全國(guó)卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()(2)(2017全國(guó)卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，

5、正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10 B.12 C.14 D.16答案(1)B(2)B考點(diǎn)二空間幾何體的體積【例2】 (1)(一題多解)(2017全國(guó)卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90 B.63C.42 D.36(2)(2016浙江卷)如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_.解析(1)法一(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖

6、可知，該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.規(guī)律方法空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.(2)(2015浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是_cm3.(2)由三視圖可知該幾何體是由棱長(zhǎng)為2 cm的正方體與底面邊長(zhǎng)為2 cm正方形、高為2 cm的正四棱錐組成.考點(diǎn)三多面體與球的切、接

7、問(wèn)題(變式遷移)解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.答案B【變式遷移1】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.解將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1，則球O是長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1的外接球.體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑.【變式遷移2】 若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積.解如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，規(guī)律方法空

8、間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題.(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題.【訓(xùn)練3】 (1)(2017全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()(2)(2017全國(guó)卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi).答案(1)B(2)36