高三數(shù)學(xué)第一篇六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理

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1、第第2 2講講 橢圓、雙曲線、拋物線橢圓、雙曲線、拋物線考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)（高頻考點(diǎn)）考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)一 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);(2)雙曲線:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0;(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,其中a0,b0;(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py,y2=2px,其中p0.22xa22yb22221yxab或22xa22yb22221yxab或典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,5,5分)已知雙曲線C:-=

2、1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1(2)(2017課標(biāo)全國,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=.22xa22yb52212x23y28x210y24x25y25x24y24x23y解析解析(1)由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為-=k(k0),即-=1,雙曲線與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為-=1.故選B.(2)如圖,過M、N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1、N1,設(shè)拋物

3、線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因?yàn)镸為FN的中點(diǎn),所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.24x25y24xk25yk212x23y24x25y答案答案(1)B(2)6方法歸納方法歸納圓錐曲線方程的求法求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型,后計算”.(1)定型:就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)計算:即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時,拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a0),橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0),雙曲

4、線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn0).跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1328x26y216x26y28x24y216x24y答案答案A設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).由點(diǎn)P(2,)在橢圓上,得+=1.|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=.又c2=a2-b2,a2=8,b2=6.即橢圓的方程為+=1.22xa22yb324a23bca1228x26y2.(201

5、7湖北七市(州)聯(lián)考)雙曲線-=1(a,b0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),F1PF2的平分線為l,點(diǎn)F1關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q,|F2Q|=2,則雙曲線的方程為()A.-y2=1B.x2-=1C.x2-=1D.-y2=122xa22yb322x22y23y23x答案答案BF1PF2的平分線為l,點(diǎn)F1關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q,|PF1|=|PQ|,而|PF1|-|PF2|=2a,|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e=c=b2=c2-a2=2,雙曲線的方程為x2-=1.故選B.ca3322y考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)命題點(diǎn)

6、1.求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍.2.由圓錐曲線的性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.求雙曲線的漸近線方程.1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e=;(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e=.ca21baca21ba2.雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為y=x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.22xa22ybba典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,10,5分)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.B.C.D.(2)(2017

7、山東,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.答案答案(1)A(2)y=x22xa22yb6333231322xa22yb22解析解析(1)以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,該圓與直線bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)?|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所

8、以y1+y2=.22|002|()baabba 22ab22ca23ca632p2p2p222222,1xpyxyab222pba由可得=,故雙曲線的漸近線方程為y=x.ba2222方法歸納方法歸納圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用確定橢圓和雙曲線的離心率的值或范圍,其關(guān)鍵就是建立一個關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a,c的關(guān)系式.建立關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組)時,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)等.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017成都第一次診斷性檢測)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,雙曲線上一點(diǎn)P滿足PF2

9、x軸.若|F1F2|=12,|PF2|=5,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.322xa22yb131212532答案答案C由雙曲線的定義,知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+5.在RtPF2F1中,|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即(2a+5)2=52+122,解得a=4.因?yàn)閨F1F2|=12,所以c=6,所以雙曲線的離心率e=,故選C.ca64322.(2017蘭州高考實(shí)戰(zhàn)模擬)以F(p0)為焦點(diǎn)的拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=2相交于M,N兩點(diǎn),若MNF為正三角形,則拋物線C的方程為()A.y2=2xB.y2=4xC.x2=2y

10、D.x2=4y0,2p6666答案答案D以F(p0)為焦點(diǎn)的拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-,M,N在直線y=-上,又MNF是正三角形,點(diǎn)F到MN的距離為-=p,設(shè)點(diǎn)M在雙曲線x2-y2=2的左支上,點(diǎn)N在右支上,M,N,-=2,解得p=2,拋物線C的方程為x2=2py=4y,故選D.0,2p2p2p2p2p3,32pp3,32pp233p22p66考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個數(shù)或求交點(diǎn)問題的兩種常用方法判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個數(shù)或求交點(diǎn)問題的兩種常用方法:(1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x,y的方程組,消去y(或x)得一元方程,此方程根的個數(shù)

11、即為交點(diǎn)個數(shù),由方程組的解得交點(diǎn)坐標(biāo);(2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線,根據(jù)圖形判斷公共點(diǎn)的個數(shù).典型例題典型例題(2016課標(biāo)全國,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由.解析解析(1)由已知得M(0,t),P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn),所以N,所以O(shè)N的方程為y=x,將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.|OHON2,2ttp2,ttppt22tp因此H.所以N為OH的中

12、點(diǎn),即=2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).理由如下:直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).將其代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).22,2ttp|OHON2pt2tp方法歸納方法歸納解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的步驟(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零);(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式;(4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017貴州適應(yīng)性考試)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:

13、+=1(ab0)的左,右焦點(diǎn),E的離心率為,點(diǎn)(0,1)是E上一點(diǎn).(1)求橢圓E的方程;(2)過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),且=2,求直線BF2的方程.解析解析(1)由題意知,b=1,且e2=,解得a2=2,所以橢圓E的方程為+y2=1.22xa22yb221BF1F A22ca222aba1222x(2)由題意知,直線AB的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線AB的方程為x=my-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2-2my-1=0,則y1+y2=,y1y2=-,因?yàn)镕1(-1,0),所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y1),由=2可得-y2=2y1,由可

14、得B.221,21xyxmy222mm 212m 1BF1F A1BF1F A114,24則=或-,所以直線BF2的方程為y=x-或y=-x+.2BFk1461461461461461461.(2016課標(biāo)全國,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=(k0)與C交于點(diǎn)P,PFx軸,則k=()A.B.1C.D.2kx1232隨堂檢測隨堂檢測答案答案 D由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=(k0)得k=12=2,故選D.kx2.(2017天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙

15、曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb224x24y28x28y24x28y28x24y答案答案B由離心率為可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由題意可知kPF=1,所以a=4,解得a=2,所以雙曲線的方程為-=1,故選B.222400(2 )a 42a2228x28y3.已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F與橢圓16x2+25y2=400的左焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且|AK|=|AF|,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為()A.2B.-2C.3D.-32答案答案 D16x2+25y2=400可化為+=1,則橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0),又拋物線y2

16、=2px的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為x=-,所以=-3,即p=-6,則y2=-12x,K的坐標(biāo)為(3,0).設(shè)A(x,y),則由|AK|=|AF|得(x-3)2+y2=2(x+3)2+y2,即x2+18x+9+y2=0,又y2=-12x,所以x2+6x+9=0,解得x=-3.225x216y,02p2p2p24.(2016北京,12,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點(diǎn)為(,0),則a=;b=.22xa22yb5答案答案1;2解析解析由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故漸近線方程為y=x,一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又該雙曲線的一個焦點(diǎn)為(,

17、0),c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.baba555.(2017鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知雙曲線C2與橢圓C1:+=1具有相同的焦點(diǎn),則兩條曲線相交的四個交點(diǎn)形成的四邊形面積最大時雙曲線C2的離心率為.24x23y答案答案2解析解析設(shè)雙曲線的方程為-=1(a0,b0),由題意知a2+b2=4-3=1,由解得交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足由橢圓和雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱知,以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是長方形,其面積S=4|xy|=4=88=4,當(dāng)且僅當(dāng)a2=1-a2,即a2=時,取等號,此時雙曲線的方程為-=1,離心率e=.22xa22yb2222221,431xyxyab22224,3,xayb24a23b32a21a32212aa 312212x212y2