《【考前三個(gè)月】高考數(shù)學(xué)(江蘇專用文科)高考必會(huì)題型:專題8 概率與統(tǒng)計(jì) 第35練》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【考前三個(gè)月】高考數(shù)學(xué)(江蘇專用文科)高考必會(huì)題型:專題8 概率與統(tǒng)計(jì) 第35練(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第35練 用樣本估計(jì)總體
題型一 頻率分布直方圖的應(yīng)用
例1 某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分;
(3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
2、
4∶5
破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)樣本頻率之和為1,求出參數(shù)a的值.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖和平均值的計(jì)算公式,求出樣本平均值.
(3)由直方圖可計(jì)算語(yǔ)文成績(jī)?cè)诿糠侄紊系念l數(shù),再根據(jù)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谕欢紊系娜藬?shù)比,便可計(jì)算數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之間的人數(shù),進(jìn)而求解.
解 (1)由頻率分布直方圖知(2a)×10=1,解得a=0.005.
(2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為55××10+65××10+75××10+85××10+95××10=73(分).
(3)由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成績(jī)?cè)赱50,60),[60,70),[70,80),[80,90)×10×1
3、00=5,×10×100=40,×10×100=30,×10×100=20.
由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谏鲜龈鞣謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40×=20,30×=40,20×=25.
故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù)為
100-(5+20+40+25)=10.
題型二 莖葉圖的應(yīng)用
例2 從甲、乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī),對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示).設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲,乙,中位數(shù)分別為m甲,m乙,則它們的大小關(guān)系分別為_(kāi)_______.
破題切入點(diǎn) 由莖葉圖觀察求解比較兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).
答案 甲<乙,m甲
4、解析 由莖葉圖可知甲數(shù)據(jù)集中在10至20之間,乙數(shù)據(jù)集中在20至40之間,明顯甲<乙,甲的中位數(shù)為20,乙的中位數(shù)為29,即m甲<m乙.
題型三 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
例3 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽,他們分別射擊了5次,成績(jī)?nèi)缦卤?單位:環(huán)):
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙兩人中只有1人入選,則入選的最佳人選應(yīng)是________.
破題切入點(diǎn) 計(jì)算樣本的方差直接作為總體的方差.
答案 甲
解析 甲=乙=9環(huán),s=[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=,
5、
s=[(10-9)2+(10-9)2+(7-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=>s,故甲更穩(wěn)定,故填甲.
總結(jié)提高 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同
①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,平均數(shù)是最重要的量.
②平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng),而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì).
③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時(shí),眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題.
④中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí),可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì).
(2)莖葉
6、圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)
①所有數(shù)據(jù)信息都可以在莖葉圖中看到.
②莖葉圖便于記錄和表示,且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.
(3)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征
①中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.
②平均數(shù):平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心”,等于圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
③眾數(shù):在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
1.某校對(duì)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體檢,現(xiàn)將高三男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分成五組,并繪制頻率分布直方圖(如圖).根據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn),高三男生的體重超過(guò)65 kg屬于偏胖,低于
7、55 kg屬于偏瘦.已知圖中從左到右第一、第三、第四、,,,,第二小組的頻數(shù)為400,則該校高三年級(jí)的男生總數(shù)和體重正常的頻率分別為_(kāi)_______.
答案 1 000,
解析 據(jù)題意,得第二小組的頻率為1-()=0.40,
且其頻數(shù)為400,設(shè)高三年級(jí)男生總數(shù)為n,
則有=0.40,∴n=1 000.
體重正常的學(xué)生所占的頻率為第二和第三小組頻率之和,
即0.20+0.40=0.60.
2. 已知記錄7名運(yùn)動(dòng)員選手身高(單位:cm)的莖葉圖如圖,其平均身高為177 cm,因有一名運(yùn)動(dòng)員的身高記錄看不清楚,設(shè)其末位數(shù)為x,那么推斷x的值為_(kāi)_______.
答案 8
8、
解析 據(jù)莖葉圖可知
=177,
解得x=8.
3.在樣本的頻率分布直方圖中,一共有n個(gè)小矩形.若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n-1)個(gè)小矩形面積之和的,且樣本容量為240,則中間一組的頻數(shù)是________.
答案 40
解析 設(shè)中間小矩形的面積為S,則由題意知=,
解得S=,即頻率為,
所以中間一組的頻數(shù)為×240=40.
4.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均值為1,則樣本方差為_(kāi)_______.
答案 2
解析 由題意知(a+0+1+2+3)=1,解得a=-1,
所以樣本方差為s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(
9、2-1)2+(3-1)2]=2.
5.(2014·山東)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn),所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組,…,第五組,如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒(méi)有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為_(kāi)_______.
答案 12
解析 志愿者的總?cè)藬?shù)為=50,
所以第三組人數(shù)為50×0.36=18,
有療效的人數(shù)為18-6=12.
6.在樣本的頻率分布直方圖中,共有4
10、個(gè)小長(zhǎng)方形,這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an},已知a2=2a1,且樣本容量為300,則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為_(kāi)_______.
答案 160
解析 ∵小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an},且a2=2a1,
∴樣本的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,且公比為2,
∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=300,∴a1=20,
∴小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為8a1=160.
7.(2014·江蘇)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況,隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中,有_
11、_______株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm.
答案 24
解析 底部周長(zhǎng)在[80,90)×10=0.15,
底部周長(zhǎng)在[90,100)×10=0.25,
樣本容量為60,所以樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm的株數(shù)為()×60=24.
8.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)分別是________.
答案 18,23
解析 根據(jù)莖葉圖分別將甲、乙得分按從小到大順序排起來(lái),根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23.
9.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t/hm2)
品種
第1年
12、第2年
第3年
第4年
第5年
甲
10
乙
其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是________.
答案 甲
解析 甲=()=10.0,
乙=()=10.0;
s=(2+…2)-102=0.02,
s=(2+…2)-102=0.244>0.02.
10.為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重(單位:kg)情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3,第2小組的頻數(shù)為12,則報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)是________.
答案 48
解析 據(jù)頻率分布直方圖可得第四與第五小組的頻率
13、之和為5×()×=0.25,又其頻數(shù)為12,故總?cè)藬?shù)為=48人.
11.(2014·北京)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:
組號(hào)
分組
頻數(shù)
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合計(jì)
100
(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概
14、率;
(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;
(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫出結(jié)論)
解 (1)根據(jù)頻數(shù)分布表,100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6+2+2=10(名),
所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1-=0.9.
從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.
(2)課外閱讀時(shí)間落在組[4,6) 的有17人,頻率為0.17,
所以a===0.085.
課外閱讀時(shí)間落在組[8,10)的有25人,頻率為0.25,
所以b===0
15、.125.
(3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組.
12.(2014·廣東)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:
(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;
(2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(3)求這20名工人年齡的方差.
解 (1)這20名工人年齡的眾數(shù)為30;這20名工人年齡的極差為40-19=21.
(2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖如下:
(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為:(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30;
所以這20名工人年齡的方差為:
(30-19)2+(30-28)2+(30-29)2+(30-30)2+(30-31)2+(30-32)2+(30-40)2=12.6.