高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題課件.ppt

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第3講數(shù)列的綜合問題 專題四數(shù)列 推理與證明 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 1 2015 湖南 已知a 0 函數(shù)f x eaxsinx x 0 記xn為f x 的從小到大的第n n N 個極值點 證明 數(shù)列 f xn 是等比數(shù)列 證明f x aeaxsinx eaxcosx 1 2 令f x 0 由x 0得x m 即x m m N 對k N 若2k x 2k 1 即2k x 2k 1 則f x 0 若 2k 1 x 2k 2 即 2k 1 x 2k 2 則f x 0 因此 在區(qū)間 m 1 m 與 m m 上 f x 的符號總相反 1 2 于是當x m m N 時 f x 取得極值 所以xn n n N 此時 f xn ea n sin n 1 n 1ea n sin 故數(shù)列 f xn 是首項為f x1 ea sin 公比為 ea 的等比數(shù)列 1 2 2 2014 課標全國 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 3an 1 1 2 因為當n 1時 3n 1 2 3n 1 考情考向分析 1 數(shù)列的綜合問題 往往將數(shù)列與函數(shù) 不等式結合 探求數(shù)列中的最值或證明不等式 2 以等差數(shù)列 等比數(shù)列為背景 利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍 3 將數(shù)列與實際應用問題相結合 考查數(shù)學建模和數(shù)學應用 熱點一利用Sn an的關系式求an 熱點分類突破 1 數(shù)列 an 中 an與Sn的關系 2 求數(shù)列通項的常用方法 1 公式法 利用等差 比 數(shù)列求通項公式 2 在已知數(shù)列 an 中 滿足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 則可用累加法求數(shù)列的通項an 4 將遞推關系進行變換 轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列 等差 等比數(shù)列 又S1 a1 1 思維升華 給出Sn與an的遞推關系 求an 常用思路 一是利用Sn Sn 1 an n 2 轉(zhuǎn)化為an的遞推關系 再求其通項公式 二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關系 先求出Sn與n之間的關系 再求an 解得a1 2或a1 0 舍去 因為an 0 所以an an 1 0 則an an 1 2 所以數(shù)列 an 是首項為2 公差為2的等差數(shù)列 故an 2n 答案an 2n 熱點二數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問題 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景 給出數(shù)列所滿足的條件 通常利用點在曲線上給出Sn的表達式 還有以曲線上的切點為背景的問題 解決這類問題的關鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關系 將條件進行準確的轉(zhuǎn)化 數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體 考查最值問題 不等關系或恒成立問題 例2已知二次函數(shù)y f x 的圖象經(jīng)過坐標原點 其導函數(shù)為f x 6x 2 數(shù)列 an 的前n項和為Sn 點 n Sn n N 均在函數(shù)y f x 的圖象上 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解設二次函數(shù)f x ax2 bx a 0 則f x 2ax b 由于f x 6x 2 得a 3 b 2 所以f x 3x2 2x 又因為點 n Sn n N 均在函數(shù)y f x 的圖象上 所以Sn 3n2 2n 當n 2時 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 當n 1時 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以an 6n 5 n N 所以滿足要求的最小正整數(shù)為10 思維升華 解決數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問題要注意以下幾點 1 數(shù)列是一類特殊的函數(shù) 函數(shù)定義域是正整數(shù) 在求數(shù)列最值或不等關系時要特別重視 2 解題時準確構造函數(shù) 利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件 3 不等關系證明中進行適當?shù)姆趴s 跟蹤演練2 2015 安徽 設n N xn是曲線y x2n 2 1在點 1 2 處的切線與x軸交點的橫坐標 1 求數(shù)列 xn 的通項公式 解y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲線y x2n 2 1在點 1 2 處的切線斜率為2n 2 從而切線方程為y 2 2n 2 x 1 證明由題設和 1 中的計算結果知 熱點三數(shù)列的實際應用 用數(shù)列知識解相關的實際問題 關鍵是合理建立數(shù)學模型 數(shù)列模型 弄清所構造的數(shù)列是等差模型還是等比模型 它的首項是什么 項數(shù)是多少 然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題 求解時 要明確目標 即搞清是求和 還是求通項 還是解遞推關系問題 所求結論對應的是解方程問題 還是解不等式問題 還是最值問題 然后進行合理推算 得出實際問題的結果 例3自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來 在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園 臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受 綠色通道 的申請 受理 審批一站式服務 某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M M的價值在使用過程中逐年減少 從第二年到第六年 每年年初M的價值比上年年初減少10萬元 從第七年開始 每年年初M的價值為上年年初的75 1 求第n年年初M的價值an的表達式 解當n 6時 數(shù)列 an 是首項為120 公差為 10的等差數(shù)列 故an 120 10 n 1 130 10n 當n 7時 數(shù)列 an 從a6開始的項構成一個以a6 130 60 70為首項 證明設Sn表示數(shù)列 an 的前n項和 由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式 得當1 n 6時 Sn 120n 5n n 1 當n 7時 由于S6 570 故Sn 570 a7 a8 an 因為 an 是遞減數(shù)列 所以 An 是遞減數(shù)列 所以必須在第九年年初對M更新 思維升華 常見數(shù)列應用題模型的求解方法 1 產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N 平均增長率為p 對于時間n的總產(chǎn)值y N 1 p n 2 銀行儲蓄復利公式 按復利計算利息的一種儲蓄 本金為a元 每期的利率為r 存期為n 則本利和y a 1 r n 思維升華 3 銀行儲蓄單利公式 利息按單利計算 本金為a元 每期的利率為r 存期為n 則本利和y a 1 nr 跟蹤演練3某年 十一 期間 北京十家重點公園舉行免費游園活動 北海公園免費開放一天 早晨6時30分有2人進入公園 接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來 第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來 第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來 第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來 按照這種規(guī)律進行下去 到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是 A 211 47B 212 57C 213 68D 214 80 解析由題意 可知從早晨6時30分開始 接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構成以4為首項 2為公比的等比數(shù)列 出來的人數(shù)構成以1為首項 1為公差的等差數(shù)列 記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an 第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn 則an 4 2n 1 bn n 則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為 答案B 高考押題精練 1 求數(shù)列 an 和 bn 的通項公式 押題依據(jù)數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問題是近幾年高考的熱點 此類問題要求考生利用函數(shù)關系確定數(shù)列的特征 在不等式的證明中恰當使用放縮 具有較強的綜合性 故直線l的方程為y 2 x 1 即y 2x 2 所以數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 2 把點C 1 2 代入函數(shù)f x ax 得a 2 所以數(shù)列 bn 的前n項和Sn f n 1 2n 1 當n 1時 b1 S1 1 當n 2時 bn Sn Sn 1 2n 2n 1 2n 1 當n 1時也適合 所以數(shù)列 bn 的通項公式為bn 2n 1