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1、 第2講 圓周角定理與圓的切線
考查圓的切線定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．
【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】
本講復(fù)習(xí)時，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識，重點掌握解決問題的基本方法.
基礎(chǔ)梳理
1．圓周角定理
(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角．
(2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧度數(shù)的一半．
(3)圓周角定理的推論
①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．
②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．
2．圓的切線
(1)直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓交點的個數(shù)
直線到圓心的
2、距離d與圓的半徑r的關(guān)系
相交
兩個
d＜r
相切
一個
d＝r
相離
無
d＞r
(2)切線的性質(zhì)及判定
①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．
②切線的判定定理
過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．
(3)切線長定理
從圓外一點引圓的兩條切線長相等．
3．弦切角
(1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角．
(2)弦切角定理及推論
①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．
②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．
雙基自測
1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
3、，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．
解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝
AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.
答案 6.4
2．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________.
解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
∴∠BDC＝∠BOC＝50°.
答案 50°
3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O
4、上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．
解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，
因此△BOC是等邊三角形，
OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，
所以圓O的面積為π×12＝π.
答案 π
4． (2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．
解析 連接BD，則有∠
5、ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.
答案 30°
5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝2，則圓O的直徑為________．
解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以O(shè)P⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝＝2，故圓O的直徑為4.
答案 4
考向一 圓周角的計算與證明
【例1】?(2011·中山模擬
6、)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.
[審題視點] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．
解析 連接AD，BC.因為AB是圓O
的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.
又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝.
又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝.
答案
解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．
【訓(xùn)練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB
7、＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．
解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.
答案 16π
考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用
【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．
[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及＝等條件轉(zhuǎn)化為線
段之間的比例關(guān)系，從而求解．
解
8、析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.
又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，
∴△EAB∽△ABC，∴＝.
又AE∥BC，∴＝，∴＝.
又AD∥BC，∴＝，
∴AB＝CD，∴＝，∴＝，
∴EF＝＝.
答案
(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?
(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．
【訓(xùn)練2】 (2010·新課標(biāo)全國)如圖，已知圓上的?。剑^C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：
9、
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
證明 (1)因為＝，
所以∠BCD＝∠ABC.
又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故＝，
即BC2＝BE×CD.
高考中幾何證明選講問題(二)
從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．
【示例】? (2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．
選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線
