2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理課件 北師大版.ppt

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第3節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理 最新考綱1 理解空間直線 平面位置關(guān)系的定義 2 了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理 3 能運(yùn)用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題 1 空間圖形的公理與定理 1 公理1 如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi) 那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 即直線在平面內(nèi) 2 公理2 經(jīng)過 的三點(diǎn) 有且只有一個(gè)平面 即可以確定一個(gè)平面 3 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有 公共點(diǎn) 那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線 知識(shí)梳理 兩點(diǎn) 不在同一條直線上 一個(gè) 4 公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行 5 公理2的三個(gè)推論推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn) 有且只有一個(gè)平面 推論2 經(jīng)過兩條相交直線 有且只有一個(gè)平面 推論3 經(jīng)過兩條平行直線 有且只有一個(gè)平面 6 等角定理 空間中 如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角 相等或互補(bǔ) 2 空間點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 3 異面直線所成的角 1 定義 過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a b的平行線l1 l2 a l1 b l2 這兩條相交直線所成的銳角 或直角 就是異面直線a b所成的角 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1 空間中兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行 則兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 2 異面直線的判定 經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線 3 唯一性的幾個(gè)結(jié)論 1 過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直 2 過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行 3 過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直 1 思考辨析 在括號(hào)內(nèi)打 或 1 兩個(gè)平面 有一個(gè)公共點(diǎn)A 就說 相交于過A點(diǎn)的任意一條直線 2 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面 3 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn) 則這兩個(gè)平面重合 4 若直線a不平行于平面 且a 則 內(nèi)的所有直線與a異面 診斷自測 解析 1 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) 那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 故錯(cuò)誤 3 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn) 則這兩個(gè)平面相交或重合 故錯(cuò)誤 4 由于a不平行于平面 且a 則a與平面 相交 故平面 內(nèi)有與a相交的直線 故錯(cuò)誤 答案 1 2 3 4 2 教材習(xí)題改編 如圖所示 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是AB AD的中點(diǎn) 則異面直線B1C與EF所成角的大小為 A 30 B 45 C 60 D 90 解析連接B1D1 D1C 則B1D1 EF 故 D1B1C為所求的角 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 答案C 3 2018 南昌月考 是一個(gè)平面 m n是兩條直線 A是一個(gè)點(diǎn) 若m n 且A m A 則m n的位置關(guān)系不可能是 A 垂直B 相交C 異面D 平行解析依題意 m A n m與n異面 相交 垂直是相交的特例 一定不平行 答案D 4 一題多解 2017 全國 卷 如圖 在下列四個(gè)正方體中 A B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn) M N Q為所在棱的中點(diǎn) 則在這四個(gè)正方體中 直線AB與平面MNQ不平行的是 解析法一對于選項(xiàng)B 如圖 1 所示 連接CD 因?yàn)锳B CD M Q分別是所在棱的中點(diǎn) 所以MQ CD 所以AB MQ 又AB 平面MNQ MQ 平面MNQ 所以AB 平面MNQ 同理可證選項(xiàng)C D中均有AB 平面MNQ 因此A項(xiàng)不正確 圖 1 圖 2 法二對于選項(xiàng)A 其中O為BC的中點(diǎn) 如圖 2 所示 連接OQ 則OQ AB 因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn) 所以AB與平面MNQ有交點(diǎn) 即AB與平面MNQ不平行 答案A 5 如圖 正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上 且AB CD 則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為 解析EF與正方體左 右兩側(cè)面均平行 所以與EF相交的側(cè)面有4個(gè) 答案4 考點(diǎn)一空間圖形的公理及應(yīng)用 例1 1 2016 山東卷 已知直線a b分別在兩個(gè)不同的平面 內(nèi) 則 直線a和直線b相交 是 平面 和平面 相交 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件解析由題意知a b 若a b相交 則a b有公共點(diǎn) 從而 有公共點(diǎn) 可得出 相交 反之 若 相交 則a b的位置關(guān)系可能為平行 相交或異面 因此 直線a和直線b相交 是 平面 和平面 相交 的充分不必要條件 答案A 證明 四邊形BCHG是平行四邊形 C D F E四點(diǎn)是否共面 為什么 四邊形BCHG為平行四邊形 四邊形BEFG為平行四邊形 EF BG 由 1 知BG綊CH EF CH EF與CH共面 又D FH C D F E四點(diǎn)共面 規(guī)律方法1 證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法 1 直接法 證明直線平行或相交 從而證明線共面 2 納入平面法 先確定一個(gè)平面 再證明有關(guān)點(diǎn) 線在此平面內(nèi) 3 輔助平面法 先證明有關(guān)的點(diǎn) 線確定平面 再證明其余元素確定平面 最后證明平面 重合 2 證明點(diǎn)共線問題的常用方法 1 公理法 一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn) 再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上 2 納入直線法 選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線 然后證明其余點(diǎn)也在該直線上 訓(xùn)練1 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是AB和AA1的中點(diǎn) 求證 1 E C D1 F四點(diǎn)共面 2 CE D1F DA三線共點(diǎn) 證明 1 如圖 連接EF CD1 A1B E F分別是AB AA1的中點(diǎn) EF A1B 又A1B D1C EF CD1 E C D1 F四點(diǎn)共面 2 EF CD1 EF CD1 CE與D1F必相交 設(shè)交點(diǎn)為P 如圖所示 則由P CE CE 平面ABCD 得P 平面ABCD 同理P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA P 直線DA CE D1F DA三線共點(diǎn) 考點(diǎn)二判斷空間兩直線的位置關(guān)系 例2 1 若m n為兩條不重合的直線 為兩個(gè)不重合的平面 則下列命題中正確的是 若直線m n都平行于平面 則m n一定不是相交直線 若直線m n都垂直于平面 則m n一定是平行直線 已知平面 互相垂直 且直線m n也互相垂直 若m 則n 若直線m n在平面 內(nèi)的射影互相垂直 則m n A B C D 2 2018 唐山一中月考 如圖 G H M N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn) 則表示直線GH MN是異面直線的圖形有 填上所有正確答案的序號(hào) 解析 1 對于 m與n可能平行 可能相交 也可能異面 錯(cuò)誤 對于 由線面垂直的性質(zhì)定理可知 m與n一定平行 故 正確 對于 還有可能n 或n與 相交 錯(cuò)誤 對于 把m n放入正方體中 如圖 取A1B為m B1C為n 平面ABCD為平面 則m與n在 內(nèi)的射影分別為AB與BC 且AB BC 而m與n所成的角為60 故 錯(cuò)誤 2 圖 中 直線GH MN 圖 中 G H N三點(diǎn)共面 但M 平面GHN N GH 因此直線GH與MN異面 圖 中 連接MG GM HN 因此GH與MN共面 圖 中 G M N共面 但H 平面GMN G MN 因此GH與MN異面 所以在圖 中 GH與MN異面 答案 1 A 2 規(guī)律方法1 異面直線的判定方法 1 反證法 先假設(shè)兩條直線不是異面直線 即兩條直線平行或相交 由假設(shè)出發(fā) 經(jīng)過嚴(yán)格的推理 導(dǎo)出矛盾 從而否定假設(shè) 肯定兩條直線異面 2 定理 平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線 2 點(diǎn) 線 面位置關(guān)系的判定 要注意幾何模型的選取 常借助正方體為模型 以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系 訓(xùn)練2 1 2018 漢中一模 下列命題正確的是 A 若兩條直線和同一個(gè)平面平行 則這兩條直線平行B 若一直線與兩個(gè)平面所成的角相等 則這兩個(gè)平面平行C 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面 則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D 若兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面 則這兩個(gè)平面平行 2 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)E F分別在A1D AC上 且A1E 2ED CF 2FA 則EF與BD1的位置關(guān)系是 A 相交但不垂直B 異面C 相交且垂直D 平行 解析 1 A選項(xiàng) 兩條直線可能平行 可能異面 也可能相交 B選項(xiàng) 一直線可以與兩垂直平面所成的角都是45 易知C正確 D中的兩平面也可能相交 2 連接D1E并延長 與AD交于點(diǎn)M 因?yàn)锳1E 2ED 可得M為AD的中點(diǎn) 答案 1 C 2 D 解析將直三棱柱ABC A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD A1B1C1D1 如圖所示 連接AD1 B1D1 BD 由題意知 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角 答案C 規(guī)律方法1 求異面直線所成的角常用方法是平移法 平移方法一般有三種類型 利用圖中已有的平行線平移 利用特殊點(diǎn) 線段的端點(diǎn)或中點(diǎn) 作平行線平移 補(bǔ)形平移 2 求異面直線所成角的三個(gè)步驟 1 作 通過作平行線 得到相交直線的夾角 2 證 證明相交直線夾角為異面直線所成的角 3 求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是銳角或直角 則它就是要求的角 如果求出的角是鈍角 則它的補(bǔ)角才是要求的角 解析取A1C1的中點(diǎn)E 連接B1E ED AE 易知BD B1E 在Rt AB1E中 AB1E為異面直線AB1與BD所成的角