2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第六講 三角恒等變換與解三角形課件 文.ppt

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第六講三角恒等變換與解三角形 總綱目錄 2018江蘇 16 14分 已知 為銳角 tan cos 1 求cos2 的值 2 求tan 的值 解析 1 因為tan tan 所以sin cos 因為sin2 cos2 1 所以cos2 所以cos2 2cos2 1 2 因為 為銳角 所以 0 又因為cos 所以sin 因此tan 2 因為tan 所以tan2 因此tan tan 2 方法歸納三角恒等變換的 4大策略 1 常值代換 特別是 1 的代換 1 sin2 cos2 tan45 等 2 項的分拆與角的配湊 如sin2 2cos2 sin2 cos2 cos2 等 3 降次與升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式降次 4 弦 切互化 一般是切化弦 提醒 要特別注意二倍角余弦公式升降冪的作用 1 2018課標全國 15 5分 已知tan 則tan 答案 解析tan 解得tan 2 2018浙江 18 14分 已知角 的頂點與原點O重合 始邊與x軸的非負半軸重合 它的終邊過點P 1 求sin 的值 2 若角 滿足sin 求cos 的值 解析 1 由角 的終邊過點P得sin 所以sin sin 2 由角 的終邊過點P得cos 由sin 得cos 由 得cos cos cos sin sin 所以cos 或cos 考點二正 余弦定理在解三角形中的應(yīng)用 1 正弦定理及其變形在 ABC中 2R R為 ABC的外接圓半徑 變形 a 2RsinA sinA a b c sinA sinB sinC等 2 余弦定理及其變形在 ABC中 a2 b2 c2 2bccosA 變形 cosA 3 三角形面積公式S ABC absinC bcsinA acsinB 已知 ABC的內(nèi)角A B C所對的邊分別為a b c 且bcosC bsinC a 1 求角B的大小 2 若BC邊上的高等于a 求cosA的值 命題角度一 求解三角形中的角 解析 1 由bcosC bsinC a 得sinBcosC sinBsinC sinA 因為A B C 所以sinBcosC sinBsinC sin B C 即sinBcosC sinBsinC sinBcosC cosBsinC 因為C 0 所以sinC 0 所以sinB cosB 因為B 0 所以B 2 設(shè)BC邊上的高為AD 則AD a 因為B 所以BD AD a 所以CD a 所以AC a AB a 由余弦定理得cosA 方法歸納利用正 余弦定理求三角形的角 常見形式 1 已知兩邊及其夾角 先由余弦定理求第三邊 再由正弦定理求角 2 已知三邊 直接由余弦定理求角 3 已知兩邊及其中一邊的對角 先由正弦定理求另一邊的對角 再由三角形內(nèi)角和求第三角 注意此類問題有一解 兩解或無解的情況 命題角度二 求解三角形的邊與面積如圖所示 在 ABC中 點D為BC邊上一點 且BD 1 E為AC的中點 AE cosB ADB 1 求AD的長 2 求 ADE的面積 解析 1 在 ABD中 cosB B 0 sinB sin BAD sin B ADB 由正弦定理知 得AD 2 2 由 1 知AD 2 依題意得AC 2AE 3 在 ACD中 由余弦定理得AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 即9 4 DC2 2 2 DCcos DC2 2DC 5 0 解得DC 1 負值舍去 S ACD AD DCsin ADC 2 1 從而S ADE S ACD 方法歸納利用余弦定理求邊 一般是已知三角形的兩邊及其夾角 利用正弦定理求邊 必須知道兩角及其中一邊 如該邊為其中一角的對邊 要注意解的多樣性與合理性 而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解 1 在銳角三角形ABC中 內(nèi)角A B C所對的邊分別為a b c 若滿足 a b sinA sinB c b sinC 且a 則b2 c2的取值范圍是 A 5 6 B 3 5 C 3 6 D 5 6 2 已知點O是 ABC的內(nèi)心 BAC 60 BC 1 則 BOC面積的最大值為 命題角度三 求解三角形中的最值與范圍問題 答案 1 A 2 解析 1 a b sinA sinB c b sinC 由正弦定理可得 a b a b c b c 可化為b2 c2 a2 bc 由余弦定理可得cosA A A 又 a 由正弦定理可得 2 b2 c2 2sinB 2 3 2sin2B sin2B 4 2sin 易知B 2B sin b2 c2 5 6 2 O是 ABC的內(nèi)心 BAC 60 BOC 180 120 由余弦定理可得BC2 OC2 OB2 2OC OB cos120 即OC2 OB2 1 OC OB 又OC2 OB2 2OC OB 當且僅當OC OB時 等號成立 OC OB S BOC OC OB sin120 則 BOC面積的最大值為 方法歸納解三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法 一是利用基本不等式求得最大值或最小值 二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式 結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍 1 2018北京 15 13分 在 ABC中 a 7 b 8 cosB 1 求 A 2 求AC邊上的高 解析 1 在 ABC中 因為cosB 所以sinB 由正弦定理得sinA 由題設(shè)知 B 所以0 A 所以 A 2 在 ABC中 因為sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 所以AC邊上的高為asinC 7 2 2018河南鄭州質(zhì)量預(yù)測 在 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c 且2ccosB 2a b 1 求角C 2 若 ABC的面積S c 求ab的最小值 解析 1 解法一 由2ccosB 2a b及余弦定理 得2c 2a b 得a2 c2 b2 2a2 ab 即a2 b2 c2 ab cosC 又0 C C 解法二 由已知可得2sinCcosB 2sinA sinB 則有2sinCcosB 2sin B C sinB 2sinBcosC sinB 0 B為三角形的內(nèi)角 sinB 0 cosC C為三角形的內(nèi)角 C 2 S absinC c c ab 又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 ab 3ab ab 12 當且僅當a b時取等號 故ab的最小值為12 考點三正 余弦定理的實際應(yīng)用解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?1 實際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形 這時需作出這些三角形 先解條件都具備的三角形 然后逐步求解其他三角形 有時需設(shè)出未知量 從幾個三角形中列出方程 組 解方程 組 得出所要求的解 如圖 小明在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛 小明在A處測得公路上B C兩點的俯角分別為30 45 且 BAC 135 若山高AD 100m 汽車從B點到C點歷時14s 則這輛汽車的速度約為m s 精確到0 1 參考數(shù)據(jù) 1 414 2 236 答案22 6 解析因為小明在A處測得公路上B C兩點的俯角分別為30 45 所以 BAD 60 CAD 45 設(shè)這輛汽車的速度為vm s 則BC 14v 在Rt ADB中 AB 200 在Rt ADC中 AC 100 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AC2 AB2 2AC AB cos BAC 所以 14v 2 100 2 2002 2 100 200 cos135 所以v 22 6 所以這輛汽車的速度約為22 6m s 方法歸納解三角形中的實際問題的四個步驟 1 分析題意 準確理解題意 分清已知與所求 尤其要理解題中的有關(guān)名詞 術(shù)語 如坡度 仰角 俯角 方位角等 2 根據(jù)題意畫出示意圖 并將已知條件在圖形中標出 3 將所求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中 通過合理運用正弦定理 余弦定理等有關(guān)知識正確求解 4 檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義 對結(jié)果進行取舍 得出正確答案 答案 1 解析由 DAC 15 DBC 45 可得 BDA 30 DBA 135 BDC 90 15 30 45 由三角形內(nèi)角和定理可得 DCB 180 45 45 90 根據(jù)正弦定理可得 即DB 100sin15 100 sin 45 30 25 1 又 即 得cos 1