數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 探究課4 中立體幾何問(wèn)題的熱點(diǎn)題型 理

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1、高考導(dǎo)航1.立體幾何是高考的重要內(nèi)容，每年都有選擇題或填空題或解答題考查.小題主要考查學(xué)生的空間觀念，空間想象能力及簡(jiǎn)單計(jì)算能力.解答題主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即首先是利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再進(jìn)行空間角(主要是線面角)的計(jì)算.重在考查學(xué)生的邏輯推理能力及計(jì)算能力.熱點(diǎn)題型主要有平面圖形的翻折、探索性問(wèn)題等；2.思想方法：(1)轉(zhuǎn)化與化歸(空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題)；(2)數(shù)形結(jié)合.熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及空間角的計(jì)算(規(guī)范解答) 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系通?？疾槠叫?、垂直關(guān)系的證明，一般出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)，解答題的第(2)問(wèn)?？疾榍?/p>

2、空間角(主要是線面角)，求空間角一般都可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，也可用幾何方法求解.(1)求證：平面PBD平面COD；(2)求直線PD與平面BDC所成角的正弦值.(2)解以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)OA1，則POOBOC2，DA1.則C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，1，1)，得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分.如第(1)問(wèn)中，先證線面垂直，再證兩面垂直得7分.得關(guān)鍵分：解題過(guò)程不可忽視的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)分，如第(1)問(wèn)中證線面垂直不可漏“CO平面PDB”.得計(jì)算分：解

3、題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證.如第(2)問(wèn)中求法向量n，計(jì)算線面角正弦值sin .利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系.第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo).第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值).第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角.第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.【訓(xùn)練1】 (一題多解)(2017浙江卷)如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E為PD的中點(diǎn).(1)證明：CE平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.(2)解分別取BC，AD的中

4、點(diǎn)為M，N，連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中點(diǎn)得BNAD.因?yàn)镻NBNN，所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN，因?yàn)锽C平面PBC，所以平面PBC平面PBN.熱點(diǎn)二立體幾何中的探索性問(wèn)題 此類試題一般以解答題形式呈現(xiàn)，常涉及線、面平行、垂直位置關(guān)系的探究或空間角的計(jì)算問(wèn)題，是高考命題的熱點(diǎn)，一般有兩種解決方式：(1)根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；(2)利用空間向量，先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在.【例2】

5、(一題多解)如圖，將長(zhǎng)為4，寬為1的長(zhǎng)方形折疊成長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的四個(gè)側(cè)面，記底面上一邊ABt(0t2)，連接A1B，A1C，A1D.(1)當(dāng)長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積最大時(shí)，求二面角BA1CD的大??；(2)線段A1C上是否存在一點(diǎn)P，使得A1C平面BPD？若有，求出P點(diǎn)的位置；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若線段A1C上存在一點(diǎn)P，使得A1C平面BPD，則A1CBD，又A1A平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1ABD，又A1CA1AA1，所以BD平面A1AC.所以BDAC，所以底面四邊形ABCD為正方形，即只有ABCD為正方形時(shí)，線段A1C上存在點(diǎn)P滿足要求，否則不存

6、在.由(1)知，所求點(diǎn)P即為BMA1C的垂足M，此時(shí)，探究提高(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).【訓(xùn)練2】 如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).(1)證明由四邊形ABCD為菱形，ABC60，可得ABC為正三角形，E為BC的中點(diǎn)，AEBC.又BCAD，因此AEAD.PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE.而PA

7、平面PAD，AD平面PAD，PAADA，AE平面PAD.(2)解設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)H，連接AH，EH.由(1)知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角.熱點(diǎn)三立體幾何中的折疊問(wèn)題 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問(wèn)題稱為立體幾何中的折疊問(wèn)題，折疊問(wèn)題常與空間中的平行、垂直以及空間角相結(jié)合命題，考查學(xué)生的空間想象力和分析問(wèn)題的能力.(1)求證：ACEF；(2)求直線AD與平面ECDF所成角的大小.探究提高立體幾何中的折疊問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.【訓(xùn)練3】 (2018浙江五校聯(lián)考)如圖1，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E是CD的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE翻折到圖2的位置，使得平面AED平面ABC.(1)在線段BD上確定點(diǎn)F，使得CF平面AED，并證明；(2)求AED與BCD所在平面構(gòu)成的銳二面角的正切值.解(1)點(diǎn)F是線段BD的中點(diǎn)時(shí)，CF平面AED.證明：設(shè)AE，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，因?yàn)锳B2EC，且ABCE，所以點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)，所以CFMD.而MD平面AED，CF 平面AED，所以CF平面AED.(2)在矩形ABCD中，AB2，CD1，BEAE，因?yàn)槠矫鍭ED平面ABC，且交線是AE，所以BE平面AED.