高中數(shù)學《一元二次函數(shù)方程和不等式》公開課優(yōu)秀教學設(shè)計(共10頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 課題：一元二次函數(shù)、方程和不等式（銜接課） 一、教學設(shè)計 1.教學內(nèi)容解析 在現(xiàn)行人民教育出版社A版高中數(shù)學教材中，“一元二次不等式的解法”這一部分內(nèi)容安排在《必修5》的第三章第二節(jié)，學生高二時才學習，導致高一學生在學習《必修1》的“集合”、“函數(shù)”等內(nèi)容時，有一定的障礙，達不到一定的深度，初高中數(shù)學內(nèi)容銜接不連貫，對于這一部分內(nèi)容，老師普遍認為應(yīng)調(diào)整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函數(shù)”之前比較好. 本節(jié)課的產(chǎn)生正是基于以上原因，但它并不是一節(jié)“一元二次不等式的解法”的新知課，也不是一節(jié)復習課，而是一節(jié)銜接課，以一元二次

2、函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式（后面稱三個“二次”）三者之間的關(guān)系及其應(yīng)用為核心內(nèi)容，特別是用函數(shù)的觀點來處理方程與不等式問題，引導學生感悟高中階段數(shù)學課程的特征，適應(yīng)高中階段的數(shù)學學習，為高中數(shù)學課程的學習作學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備，幫助學生完成初高中數(shù)學學習的過渡. 三個“二次”是初中三個“一次”（一元一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式）在知識上的延伸和發(fā)展，它是函數(shù)、方程、不等式問題的基礎(chǔ)和核心，在高中數(shù)學中，許多問題的解決都會直接或間接用到三個“二次”.如，解析幾何中解決直線與二次曲線位置關(guān)系問題，導數(shù)中導函數(shù)為二次函數(shù)時的許多問題等，同時，此部分內(nèi)容又是培

3、養(yǎng)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及等價轉(zhuǎn)化思想的極好素材，本節(jié)課的地位和作用主要體現(xiàn)在它的基礎(chǔ)性和工具性方面. 根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學重點確定為 教學重點：一元二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式三者之間的關(guān)系及應(yīng)用. 2.學生學情診斷 本節(jié)課的授課對象為華中師大一附中高一平行班學生，華中師大一附中是湖北省示范高中，學生基礎(chǔ)很好，一般而言，學生已經(jīng)掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，簡單的一元二次不等式的解法，能利用函數(shù)圖象解決簡單的方程和不等式問題. 但是，當所研究的問題中含有參數(shù)或者綜合性較強、或者運算較復雜的時候，學生往往不能正確理解題意，不能準確地利用三個

4、“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系進行合理轉(zhuǎn)化，不善于分類討論，不善于歸納總結(jié)，對函數(shù)、方程、不等式的處理方法不夠完整，沒有形成基本的規(guī)律. 教學難點：含參數(shù)的二次方程、不等式，如何利用三個“二次”之間的關(guān)系進行等價轉(zhuǎn)化處理，為今后處理其它類型的函數(shù)、方程、不等式問題提供范式. 3.教學目標設(shè)置 (1)理解一元二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式三者之間的關(guān)系； (2)能夠用二次函數(shù)的觀點處理二次方程和二次不等式問題，感悟函數(shù)的重要性以及數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)性； (3)引導學生感悟高中階段數(shù)學課程的特征，適應(yīng)高中階段的數(shù)學學習，能夠在本主題的學習中，逐步提升數(shù)學抽象、邏輯推理、幾何直觀和數(shù)學運

5、算等核心素養(yǎng). 4.教學策略分析 本課作為初高中內(nèi)容和方法上的“銜接課”，有其重要特點：一不能靠單純的復習；二不宜上成新課；三，必須展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函數(shù)、圓錐曲線等核心概念必然聯(lián)系的高度，著眼于繼續(xù)學習，而又必須遵循數(shù)學的自然順序，避免后繼內(nèi)容的前移。 這種課的關(guān)鍵是整合和提升，形成基本套路并了解它在進一步學習中的基本價值。這些都需要問題驅(qū)動，循序漸進，在師生互動中不斷地歸納總結(jié)。 回 顧 整 合 提 升 展 望 教學流程： 5．教學過程 環(huán)節(jié)一：回顧 師：同學們，我們初中學過一元一次不等式，同學們說說這個

6、不等式的解集是多少??？ 生：. 師：誒，怎么算出來的?。磕奈煌瑢W來說說？ 生：把移到右邊去，再不等式左右兩邊同時除以3. 師：你的解題依據(jù)是什么呢？ 生：不等式的性質(zhì). 師：很好，請坐，這位同學利用不等式的性質(zhì)，從代數(shù)的角度把這個不等式解出來了，還有其它的解法嗎？ 生：可以先畫出一次函數(shù)的圖象，從圖象可以看出不等式的解集. 師：好，我們先畫圖象，怎么畫這個函數(shù)的圖象？ 生：找兩個點. 師：找那兩個點比較好？ 生：與坐標軸的交點. 師：與軸的交點是多少? 生：. 師：這是怎么出來的??？

7、 生：令. 即，這個方程的根. 師：很好，與軸的交點的橫坐標恰好是對應(yīng)一次方程的根. 與軸的交點是多少？ 生：令. 得，交點. 師：所以這個不等式的解集就是？ 生：，即圖象在軸上方時所對應(yīng)的的范圍. 師：很好，請坐，由此可以看出一次函數(shù)、一次方程和一次不等式三者之間有著密切的聯(lián)系，誰來概括一下？ 生：一次方程的根就是一次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標（即一次函數(shù)的零點）， 一次不等式的解集就是一次函數(shù)圖象在軸上方時所對應(yīng)的的范圍， 一次方程的根也是一次不等式解集的端點 師：同學們再想一想，這三者之間為什么會有關(guān)系呢？ 生：…

8、… 師：我們從代數(shù)表達式來看一看， 一次方程、一次不等式和一次函數(shù)，這個三個表達式有什么共同點？^……，都含有一次式，對吧，所以它們之間有關(guān)系. 【評析】回顧初中知識，利用一次函數(shù)的圖象理解一次方程和一次不等式. 由三個“一次”，類比引出課題，并為三個“二次”的研究提供思路. 環(huán)節(jié)二：整合 師：很好，一次函數(shù)、一次方程和一次不等式三者之間有著密切的關(guān)系. 我們再來看一下一元二次函數(shù)，一元二次方程、一元二次不等式，. 師：從它們表達式來看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多項式，對吧？那么這三個二次之間是否也有類似三

9、個一次之間的關(guān)系呢？這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容，首先請同學們畫畫這個二次函數(shù)的圖象. （板書課題） 畫一畫 畫出二次函數(shù)的圖象. 看一看 觀看幾何畫板動畫，隨著動點C橫坐標x的變化，縱坐標y的變化情況. 說一說 （1） 當取哪些值時，？ （2）方程的根為 ； 當取哪些值時，？ 不等式的解集為 ； 當取哪些值時，

10、？ 不等式的解集為 . 問題2：一元二次方程，一元二次不等式和一元二次函數(shù)，三者之間有什么關(guān)系？ 動畫展示： 變一變 問題3：對于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函數(shù)，三者之間有什么關(guān)系？ 小組合作探究： 師：二次函數(shù)、方程和不等式三者之間有著密切的聯(lián)系，函數(shù)是核心，圖象是載體，可以通過函數(shù)的觀點來處理方程和不等式問題. 一元二次函數(shù) 一元二次方程 一元二次不等式 圖象

11、 【評析】以具體的常系數(shù)的二次函數(shù)、方程、不等式為例，讓學生通過類比三個“一次”，理解三個“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出二次函數(shù)在“三個二次”中的中心地位。并對一般情形的二次函數(shù)、方程和不等式之間的關(guān)系進行整合，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、幾何直觀、邏輯推理等核心數(shù)學素養(yǎng)，具體策略是問題驅(qū)動，在教學中，鼓勵學生自主探索、合作研究. 師：好，對于一個具體的一元二次不等式，我們會求解集，如果反過來，已知不等式的解集，你會求這個不等式嗎？同學們思考這樣的一個問題： 【例1】已知關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值. 【評析】逆向變式，強化一元二次函數(shù)、方程和

12、不等式的內(nèi)在聯(lián)系. 生1：依題意，是對應(yīng)一元二次方程的兩根，將和代入方程得，，即， 解得. 生2：依題意，是對應(yīng)一元二次方程的兩根， 由韋達定理有，解得. 師：很好，請坐. 根據(jù)三個“二次”之間的關(guān)系，不等式的解集就是函數(shù)圖象在軸下方時，所對應(yīng)的的取值范圍，所以正好是圖象與軸交點的橫坐標，也就是方程的兩個根，從而根據(jù)韋達定理，可以求出的值. （畫圖分析） 環(huán)節(jié)三：提升 辯證唯物主義告訴我們，任何事物都是運動、變化、發(fā)展的，當我們將方程和不等式中常系數(shù)改為字母時, 隨著字母取值的不同，方程的根和不等式的解會發(fā)生相應(yīng)的變化

13、，這類方程和不等式稱為含參方程和含參不等式，下面我們一起來研究兩個含參問題. 0 y 1 x 師：我們再把前面那個具體的方程變一下，系數(shù)上加一個參數(shù)，同學們思考這樣的一個問題： 【例2】已知關(guān)于的方程，一根小于，另一根大于，求實數(shù)的取值范圍. 【評析】含參二次方程問題，繼續(xù)對二次方程和二次函數(shù)進行整合提升，用函數(shù)的觀點來處理方程問題. 生1：設(shè)，則，解之得. 師：有不同意見嗎？ 生2：不對，應(yīng)該還要. 師：誒，生2好像說得很有道理呢？還有其它觀點嗎？ 生3：我覺得生1是對的，因為的作用是控制圖象與軸有兩個交點，而這是開口向上的拋物線，也能保證與軸有兩

14、個交點. 師，同學們同意哪位同學的說法？ 生：曾子軒. 師：很好，題目要求這個方程的兩根，一個小于，一個大于，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，方程的根就是函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標，我們可以通過控制二次函數(shù)的圖象來控制方程的根，也就是要保證函數(shù)圖象與軸的交點，一個在1的左側(cè)，一個在1的右側(cè). 只需要，就可以控制住這個二次函數(shù)的圖象了，當然如果把加進去，可不可以？也是可以的. 我們從代數(shù)的角度來檢驗一下，看兩種解法的答案是否一樣？ 法1： 法2：. 師：這是一個方程問題，我們可以根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理. 師：我們再把前面那個具體的不等式也變一下，系數(shù)上加一個參數(shù)，同學們

15、思考這樣的一個問題： 【例3】若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【評析】含參二次不等式問題，繼續(xù)對二次不等式和二次函數(shù)進行整合提升，用函數(shù)的觀點來處理不等式問題. 組內(nèi)學生相互討論，分析解題思路，再讓學生先分析. 學生分析：只需二次函數(shù)，在這一段的圖象位于軸上方，應(yīng)分三種情況討論，當對稱軸在區(qū)間的左邊、中間和右邊. 師：非常不錯啊，劉鈺欣同學將這個不等式問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，只需要函數(shù)圖象在這一段的圖象位于軸上方即可. 如何保證圖象在軸上方呢？ 我們邊看動畫一起來分析. 動畫展示：隨著的取值變化，函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系.

16、 師：當對稱軸在區(qū)間的左邊時，怎么樣就能保證圖象在軸上方？ 生：只需要， 師：很好，因為當對稱軸在區(qū)間的左邊時，函數(shù)在這一段的圖象是上升的，即隨著的增大而增大，只需要最小值即可. 師：當對稱軸在區(qū)間的里面時，怎么樣就能保證圖象在軸上方？ 生：. 師：還可以通過什么來控制？ 生：. 師：就是函數(shù)的最小值大于零即可. 師：再來看，當對稱軸在區(qū)間的右邊時，怎么樣就能保證圖象在軸上方？ 生：只需要， 師：很好，因為當對稱軸在區(qū)間的右邊時，函數(shù)在這一段的圖象是下降的，即隨

17、著的增大而減小，只需要最小值即可. 下面同學們把具體的解答過程寫出來，找一個同學上黑板完成具體過程： 生：記，這個函數(shù)的對稱軸為，則 當時，只需要，解得, 又，所以； 當時，只需要，解得，又， 所以； 當時，只需要，解得,與矛盾. 綜上：. 師：找個同學來點評一下. 生：答案正確，但解題過程有點不對，沒有討論和的情況. 師：很好，這兩種情況，可以加在哪里比較好. 生：加在中間. 師：很好，對于含參問題，我們除了要選擇恰當?shù)姆诸愑懻摌藴手?，還應(yīng)該注意分類討論還應(yīng)做到不重不漏.. 師：好，這是一個

18、不等式問題，我們?nèi)匀粚⑺D(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題來處理. 環(huán)節(jié)四：展望 師：同學們，今天蒞臨我們課堂的還有一位神秘嘉賓，大家想不想見一下？ 生：想. 師：掌聲有請. 嘉賓：學弟，學妹們好，首先自我介紹一下，我是現(xiàn)在高三（15）班的劉今欣同學，很高興走進學弟學妹們的課堂，和大家一起交流、學習. 嘉賓：大家都知道一元二次函數(shù)是中考的壓軸題，那么，我們今天學習的二次函數(shù)、二次方程和二次不等式在以后的高中學習中有什么作用呢？課前，陳老師給我布置了一個任務(wù)，讓我歸納整理一下. 二次函數(shù)、二次方程和二次不等式在高中數(shù)學其它領(lǐng)域的應(yīng)用. 其實三個“二次”及其相關(guān)問題的處理方法廣泛應(yīng)

19、用于高中數(shù)學的各大核心模塊：如數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、導數(shù)等. 下面重點以三個“二次”在解析幾何中的應(yīng)用為例，讓同學們對三個“二次”在以后學習中的地位和作用有所了解. 【案例1】直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，求實數(shù)的取值范圍. 解：聯(lián)立方程，消去，得到的一元二次方程 ……① 直線與雙曲線C的右支交于不同兩點，等價于方程①有兩個不相等的正實數(shù)根. 即對應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸有兩個交點，且交點在軸右側(cè). 我們可以通過以下幾個條件控制二次函數(shù)的圖象. 解得的

20、取值范圍是． 【案例2】（2016年江蘇高考第19題）試題和答案如下： 已知函數(shù)． ⑴ 設(shè)，① 求方程的根； ② 若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值； ⑵ 略． 解：⑴ ① ，由可得， 則，即，則，； ② 由題意得恒成立， 令，則由可得， 原問題等價于不等式，對任意的在上恒成立， 記， 當對稱軸，即時，顯然成立； 當對稱軸，即時，只需，即； 當對稱軸，即時，只需，與矛盾；

21、 綜上，，所以實數(shù)的最大值為． 【案例3】（2016年全國Ⅱ卷文科高考第11題）試題和答案如下： 函數(shù)的最大值為 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 解：因為，而，所以當時，取最大值5， 以上是最終可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、二次方程和二次不等式的題目，其實還有更多的考題是考其他類型的方程、不等式問題，也可以用函數(shù)的觀點，數(shù)形結(jié)合的思想來處理，如 【案例4】（2016年山東卷文理高考第15題，填空壓軸）試題和答案如下： 已知函數(shù)其中．若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個

22、不同的根，則的取值范圍是_______． 解：畫出函數(shù)圖像如下圖所示： 由圖所示，要有三個不同的根，需要紅色部分圖像在深藍色圖像的下方，即，解得 時間關(guān)系，我暫時只講這么多，歡迎同學們以后常來找我交流，預祝學弟學妹們早日適應(yīng)華師一的學習. 也預祝大家在這個頂尖中學度過愉快而又成功的三年高中生活！ 【評析】結(jié)課：從高中數(shù)學的核心問題中回望基礎(chǔ)，讓學生加深對三個“二次”作用的理解，并試圖產(chǎn)生對進一步學習的期待. 師：很好，謝謝這位學長. 高中數(shù)學中的許多問題，都與三個“二次”直接有關(guān)或間接有關(guān). 二次函數(shù)、二次方程和二次不等式

23、的研究方法為研究其它函數(shù)、方程和不等式提供了套路. 以后，對于其它類型的方程和不等式問題，我們?nèi)匀豢梢杂煤瘮?shù)的觀點來處理. 師：這里其實還蘊含著一種重要的數(shù)學思想方法，同學們說說，是什么？ 生：數(shù)形結(jié)合， 師：著名數(shù)學家華羅庚專為數(shù)形結(jié)合思想寫了一首詩，我們一起來朗誦一下. 數(shù)缺形時少直觀， 形少數(shù)時難入微； 數(shù)形結(jié)合百般好， 隔離分家萬事非。 二、教學反思 本課力圖嘗試在解決問題的過程中，讓學生經(jīng)過自主探究、合作學習和教師動態(tài)演示，完成知識的回顧、整合、提升、展望．通過教學實踐，認識到多一點精心預設(shè)，就能融一份動態(tài)生成，體會到什么是由“

24、關(guān)注知識”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學生”，注意到由“給出知識”轉(zhuǎn)向“引起活動”，由“完成教學任務(wù)”轉(zhuǎn)向“促進學生發(fā)展”． 可取之處：教學設(shè)計打破常規(guī)，不走尋常路，利用問題驅(qū)動完成本節(jié)課的教學目標，突出了以生為本，探索了銜接課的一種新模式． 改進之處：本課在基本運算，用直觀支持運算，以及通過展示未來課題讓學生感悟運算價值等，都做了力所能及的工作. 但如何真正驅(qū)動學生在運算方面自覺探索、自覺積累、自覺訓練，如何提高學生的運算素養(yǎng)，還有待于教學的創(chuàng)新. 專心---專注---專業(yè) 教學點評 本節(jié)課試圖努力的是課型的創(chuàng)新：從銜接課的要義出發(fā)，構(gòu)建了以回顧、整合、提升和展望為要素的基本構(gòu)架，突破了復習、或

25、者插入預備知識等傳統(tǒng)的銜接方式，實現(xiàn)了銜接課課堂結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新. 回顧和整合是復習的基本經(jīng)驗. 只有整合基礎(chǔ)的提升，才能奠定進一步學習的基礎(chǔ)；只有提升前提下的展望，才能讓學生看到學習內(nèi)容的真正價值，給進一步學習以持續(xù)動力和研究導向. 只有這樣的基礎(chǔ)和導向，才能實現(xiàn)有效銜接. 目標明確，結(jié)構(gòu)合理，重點突出，圍繞本課核心內(nèi)容“三個‘二次’”關(guān)系及其應(yīng)用”，以函數(shù)中心，從常量系數(shù)到參數(shù)，從分類研究到聯(lián)系，從基本思路到不同視角，從直觀感知揭示規(guī)律，從方法到思想，從圖象的靜態(tài)分析到動態(tài)展示，都注意體現(xiàn)了循序漸進，從現(xiàn)象到本質(zhì)的基本規(guī)律. 教學中，根據(jù)內(nèi)容的定位和教育價值，關(guān)注數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學生逐漸養(yǎng)成借助直觀進行邏輯推理、獨立思考、合作交流等學習習慣. 作為難點之一的展望環(huán)節(jié)，本課通過選取未來學習中具有代表性的問題，通過適當?shù)奶幚?，讓學生充分感知當下學習內(nèi)容的地位和作用，破解了展望環(huán)節(jié)容易失之空洞的弊端.