高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§12 數(shù)列的極限
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1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料: http://y66.80.hk qq:745924769 tel:15327376117 §1.2 數(shù)列的極限 授課次序02 教 學(xué) 基 本 指 標(biāo) 教學(xué)課題 §1.2 數(shù)列的極限 教學(xué)方法 當(dāng)堂講授,輔以多媒體教學(xué) 教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列極限的概念與性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn) 概念的引入、極限的證明與性質(zhì)的推導(dǎo) 參考教材 同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)(第6版)》 自編教材《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程》 作業(yè)布置 《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè) 雙語教學(xué) 數(shù)列:sequence;極限:limit;極限值:limit value
2、;常量:constant quantity; 發(fā)散:diverge;收斂:converge 課堂教學(xué)目標(biāo) 1. 了解數(shù)列極限的概念,知道極限的ε-Ν定義(對于給出的ε求N的題不作要求) 2. 理解數(shù)列極限的基本性質(zhì) 教學(xué)過程 1.?dāng)?shù)列極限的定義(25min),(1)從幾個古典問題(芝洛悖論、截丈問題)入手引出從有限到無限人類思維過程中遇到的困難,(2)再從割圓術(shù)入手引出數(shù)列、數(shù)列極限的樸素定義;(3)通過對數(shù)列特征的觀察,逐步引出數(shù)列極限的定義; 2.應(yīng)用定義證明極限(20min)介紹幾種重要的數(shù)列的極限的證明過程,讓學(xué)生明白基本過程。 3.收斂數(shù)列的性質(zhì)(唯一性、有界性)(
3、45min) 本 節(jié) 課 程 設(shè) 計(jì) 1、極限概念 1. 背景知識與引入方法 極限概念是微積分理論中最核心的概念,極限方法是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法,也是基本的推理工具. 可以說,沒有極限概念,就不可能有高等數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)。理解極限概念,才能理解導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)等微積分中的其它核心內(nèi)容。 極限的本質(zhì)是用“變化”的思想和“逼近”的思想研究函數(shù)的變化性態(tài)。極限概念的建立是從常量過渡到變量、從有限過渡到無限、從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。 極限思想源遠(yuǎn)流長。 我國古代莊子(公元前355-275年,另一說為公元前369-286年)的“截杖說”,漢代劉徽
4、(公元三世紀(jì))的“割圓術(shù)”,都體現(xiàn)出樸素的極限思想。劉徽是我國第一位用極限思想來考慮問題的科學(xué)家,他從圓內(nèi)接六邊形開始,每次把邊數(shù)加倍,利用勾股定理求出正12邊形,24邊形,……,直到正192邊形的面積,求出了圓周率, 后來又計(jì)算到圓內(nèi)接3072邊形面積,得到,奠定了中國科學(xué)家在數(shù)學(xué)史中的地位。 在歐洲古希臘時期就萌芽出了“窮竭法”。柏拉圖(Plato,公元前430-349年)的學(xué)生攸多克薩斯(Eudoxus,公元前408-355年)用“窮竭法”證明了一個極端重要的命題:“取去一半之量,再取去所余之一半,這樣繼續(xù)下去,可以使所余的量小于另一個任意給定的量”,這正是近代極限論的雛形。 盡管古
5、今中外的學(xué)者們曾經(jīng)有意無意地使用了極限方法,但是極限概念的形成卻走過了一段相當(dāng)漫長的艱苦歷程. 在十七世紀(jì)微積分誕生的初期,數(shù)學(xué)家們一直覺得極限概念玄妙而不可捉摸,什么是極限還十分模糊。自十七世紀(jì)中葉微積分建立之后,微積分飛速向前發(fā)展,十八世紀(jì)達(dá)到空前燦爛的程度,其內(nèi)容之豐富,應(yīng)用之廣泛,簡直令人眼花繚亂。她的進(jìn)步如此快,使人們來不及梳理一下這門偉大科學(xué)的理論基礎(chǔ),由于對極限概念的理解十分混亂,使微積分遭受到種種非難。十九世紀(jì)初,許多迫切問題基本上得到解決,數(shù)學(xué)家開始轉(zhuǎn)向重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作。 十九世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789-1857) 出版
6、了他的三部代表作: 《分析教程》( 1821年)、《無窮小分析教程概論》( 1823年) 和《微分計(jì)算教程》( 1829年). 1821年, 他在《分析教程》中給出了極限的定義:“當(dāng)一個量逐次所取的值無限趨向于一個定值,最終使變量的值和該定值之差想要多小就有多小,這個值就叫所有其它值的極限。” 半個世紀(jì)后,德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯( Weierstrass , 1815-1897)給出了的極限的 定義,從而使極限概念擺脫了依賴幾何直觀的俗習(xí),擺脫了“無限趨近”、“想要多小就有多小”等提法的不明確性,極限概念被嚴(yán)密化,成為微積分學(xué)的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)工具。此定義仍普遍沿用,也就是我們今天教材中采用的定義。
7、 建議本節(jié)內(nèi)容從樸素直觀的極限例子開始, 揭示極限思想,并不斷嚴(yán)密化、抽象化、數(shù)學(xué)化,提煉極限語言, 最后給出、 語言的極限定義。 2. 講解方法 方法1 首先從具體例子引出函數(shù)極限的形象的、說明性的直觀定義,然后在將其逐漸完善,最終得到函數(shù)極限的定義.此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出. 方法2 首先從具體的數(shù)列極限的例子出發(fā),觀察數(shù)列的變化趨勢,從中找出數(shù)列{}以某個常數(shù)A為極限的特征.將形象的、說明性的直觀語言逐漸完善,最終得到數(shù)列的極限定義.此后再將數(shù)列極限拓廣到函數(shù)極限的定義.下面我們主要采用第2種方法. 3. 難點(diǎn)及解決方法 本知識點(diǎn)的難點(diǎn):使用, ,定義證明,難點(diǎn)
8、在于理解的存在性在證明中所起的邏輯作用。 解決的主要方法:(1)首先要整理好思路,理順邏輯關(guān)系。不管進(jìn)行了多么復(fù)雜的運(yùn)算過程,要牢牢把握住四個關(guān)鍵詞:任給…,存在…,當(dāng)…時,恒有…。只有這四個關(guān)鍵詞組成邏輯鎖鏈時,證明才算完成。(2)要特別注意所選擇的只能與有關(guān),決不能與自變量有關(guān)。這樣,當(dāng)給定時,自然也就存在了.(3)要注意的不唯一性,只要存在即可,不要追求最嚴(yán)格和最精確. 對不等式進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小,可以大大簡化求解過程。養(yǎng)成放縮不等式的意識十分重要。(3)可以按例題的層次分成個幾個臺階,內(nèi)容的組織注意逐步加深加難,有一個循序漸進(jìn)和螺旋式上升的過程。 4.常見錯誤分析 最致命的
9、錯誤是對定義的邏輯關(guān)系理解不清,或者對語言不會表述,使證明不知所云。 另一種錯誤是在證明中不能把握不等式放大縮小的方向, 常常把不等號搞反;有時也會出現(xiàn)放大過度的現(xiàn)象。證明技巧的核心和水平的體現(xiàn)是在不等式的放縮上。 常見錯誤之一還有如例5中只取了, 而忘了限定。這雖然不是一種實(shí)質(zhì)性錯誤,但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。要知道,在微積分學(xué)習(xí)之初培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣和意識是極其重要的。 5.與其他知識點(diǎn)的關(guān)聯(lián) 微積分的一系列重要概念如連續(xù), 導(dǎo)數(shù), 定積分, 無窮級數(shù)等都是建立在極限的定義基礎(chǔ)之上的. 6.?dāng)U展知識 數(shù)列的上(下)極限 極限性質(zhì) 1. 背景知識與引入方法 在已經(jīng)給出數(shù)列極限、函數(shù)極限
10、的定義的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究極限的各種性質(zhì)。表面上看好像對極限特性的學(xué)習(xí)是本小節(jié)的目的,其實(shí)逐步熟悉極限語言的論證方法也是學(xué)習(xí)本小節(jié)內(nèi)容的重要目的,這一點(diǎn)是不容忽略的。應(yīng)該明確地向?qū)W生提出這種要求。 2. 講解方法 總的來說是從幾何直觀出發(fā),總結(jié)出樸素的思想,然后用,語言來給出證明。 方法1 首先研究函數(shù)極限的性質(zhì),此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出. 方法2 首先從研究數(shù)列極限的性質(zhì)出發(fā),然后將其拓廣到函數(shù)極限的情形.我們采用第2種方法. 定理1(極限的唯一性) 收斂數(shù)列的極限是唯一的. 首先將數(shù)列的各項(xiàng)在數(shù)軸上標(biāo)示出來,于是數(shù)列的第n項(xiàng)就與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系
11、.從幾何直觀看數(shù)列收斂于A,就是除有限項(xiàng)以外其它的各項(xiàng)都進(jìn)入到A點(diǎn)的鄰域中去了.可以考慮用反證法對定理進(jìn)行證明.若假設(shè)數(shù)列同時收斂于兩個不同的常數(shù)A和B(不妨設(shè)), 則在足夠大的N以后數(shù)列的所有項(xiàng)既都進(jìn)入到A點(diǎn)的鄰域中,又都進(jìn)入到B點(diǎn)的鄰域中.而這兩個集合的交為空集,于是得到矛盾.需要特別注意的是教會學(xué)生如何把腦子里所想到的事實(shí)用語言寫出來. 證明了定理1之后我們會發(fā)現(xiàn),對于收斂數(shù)列,它的N以后的所有項(xiàng)都進(jìn)入到某一點(diǎn)的鄰域中去了,故在數(shù)軸的其余地方只能有限多項(xiàng).綜合以上兩條我們就可以得到收斂數(shù)列的有界性: 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 若數(shù)列收斂, 則數(shù)列有界. 在數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并
12、保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序,這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列). 定理3(收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系) 若數(shù)列收斂于a, 則它的任一子數(shù)列也收斂,且收斂于相同的極限a. 以上三個定理都是數(shù)列收斂的必要條件.我們通常用其逆命題證明極限不存在.此外,我們可以很容易的將以上定理拓廣到函數(shù)極限的情況. 定理1’ (極限的唯一性) 定理2’(局部有界性) 定理4(局部保號性) 若,且A>0(或A< 0),則存在點(diǎn)的某個去心鄰域,當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時,有(或). 定理4’ 若,則存在點(diǎn)的某個去心鄰域,當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時,可以保證。 定理5(保號性) 若在點(diǎn)的某去心鄰
13、域內(nèi),而且,那么 在情況下有類似的相應(yīng)結(jié)果. 注意1 定理1’, 定理2’, 定理4, 定理4’, 定理5考慮的都是函數(shù)的局部性質(zhì).例如對函數(shù),有,當(dāng)我們?nèi)r,函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)有界.而取時,函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)無界. 注意2 在定理5中若將換成,定理中的A依然是,而不能推出.事實(shí)上,在原點(diǎn)的去心鄰域內(nèi),且極限 存在,但是此時極限A = 0. 雖然函數(shù)極限與數(shù)列極限是分別定義的,但是本質(zhì)上兩者卻可以互相轉(zhuǎn)化.海涅(Heine)定理就是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限的橋梁. 定理6( Heine ) 3. 難點(diǎn)及解決方法 極限證明歷來是微積分課程中難點(diǎn)。學(xué)生最怕做證明題,常常一看
14、到證明就頭疼.極限的證明可以先從模仿開始,認(rèn)真研讀教科書中的證明思路和證明手法,理解證明過程的邏輯關(guān)系,了解證明的直觀幾何意義,是突破這一難點(diǎn)的突破口。我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從反復(fù)的認(rèn)真讀題開始,弄清題目的真正含義以及幾何意義.先從幾何直觀上想明白題目怎么做;接下來再將想清楚的問題翻譯成,,語言.比如在例1中我們先考慮數(shù)列的兩個子列、都以a為極限,而={,},從而以a為極限.接下來的工作就是把這種想法翻譯成語言.我們還可以進(jìn)一步推廣,若數(shù)列,,都以a為極限,則數(shù)列也以a為極限. 4. 常見錯誤分析 對于無界數(shù)列(或函數(shù)),有些學(xué)生會把它的極限不存在與極限是無窮大等同起來.事實(shí)上二者是不同的.通過例
15、2就可以清楚地看到,無界數(shù)列極限不存在時,不一定趨于無窮大;而以無窮大為極限的數(shù)列必定無界,無窮大只是數(shù)列極限不存在的一種情況. 5. 與其他知識點(diǎn)的關(guān)聯(lián) 數(shù)列或函數(shù)極限的某些基本性質(zhì)可以拓展到二維或高維空間。 使用極限性質(zhì)求極限或證明極限不存在是極限運(yùn)算中的基本方法之一. 6. 擴(kuò)展知識 二元函數(shù)的極限問題. 教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容 §1.2 數(shù)列的極限 一個實(shí)際問題: 如可用漸近的方程法求圓的面積? 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1;再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2;再作內(nèi)接正十六邊形
16、, 它的面積記為A3;如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正8×2n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, × × × × × × , An, × × × 設(shè)想n 無限增大(記為n?¥, 讀作n 趨于窮大), 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加, 在這個過程中, 內(nèi)接正多邊形無限接近于圓, 同時An 也無限接近于某一確定的數(shù)值, 這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)(數(shù)列) A1, A2, A3, × × × , An, × × ×當(dāng)n ?¥時的極限. 數(shù)列的概念:如果按
17、照某一法則, 使得對任何一個正整數(shù)n 有一個確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, × × × , xn , × × × 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為{xn}, 其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 數(shù)列的例子: {}: , , , × × × , × × ×; {2n}: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × ×; {}: , , , × × × , , × × × ; {(-1)n+1}: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × ×
18、× ; {}: 2, , , × × × , , × × × . 它們的一般項(xiàng)依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個動點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義:對于數(shù)列{xn}, 如果當(dāng)n 無限增大時, 數(shù)列的一般項(xiàng)xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列{xn}的
19、極限, 或稱數(shù)列{xn}收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.
例如 ,, ; 而{2n}, { (-1)n+1}, 是發(fā)散的.
對無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價于|xn-a |無限接近于0,
極限的精確定義:
定義 如果數(shù)列{xn}與常a 有下列關(guān)系:對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對于n >N 時的一切xn, 不等式 |xn-a | 20、限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.
?"e >0, $N?N+, 當(dāng)n>N時, 有|xn-a| 21、 例3. 設(shè)|q |<1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×的極限是0.
分析: 對于任意給定的e >0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1 22、明: 假設(shè)同時有及, 且a 23、數(shù)N, 使對于n>N 時的一切xn , 不等式|xn-a| 24、極限的定義, 對, $N?N+, 當(dāng)n>N時, 有, 從而 .
推論 如果數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn30(或xn£0), 且數(shù)列{xn}收斂于a, 那么a30(或a£0).
證明 就xn30情形證明. 設(shè)數(shù)列{xn}從N1項(xiàng)起, 即當(dāng)n>N 1時有xn30. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2?N+, 當(dāng)n> N 2時, 有xn<0. 取N=max{ N 1, N 2 }, 當(dāng)n>N時, 按假定有x n 30, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a 30.
子數(shù)列: 在數(shù)列{xn}中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序, 25、 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列.
例如, 數(shù)列{xn}: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數(shù)列為{x2n}: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × ×.
定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a .
證明: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列{xn}的任一子數(shù)列.
因?yàn)閿?shù)列{xn}收斂于a, 所以"e >0, $N?N+,
當(dāng)n>N時, 有|xn-a| 26、. 于是|-a|
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