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1、平面幾何中的向量方法
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修4》（人教A版）第二章平面向量第5節(jié)第一課時(shí)，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的概念，運(yùn)算以及數(shù)量積等知識后的一堂專題探討課。
從教材的內(nèi)容上來看，教材從數(shù)與形兩個(gè)方面建構(gòu)和研究向量，如向量的幾何表示，三角形，平行四邊形法則讓向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示，和坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的模又讓向量具備數(shù)的特征，所以我們在研究向量問題或向量解決平面幾何問題時(shí)，應(yīng)具備數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想。由于向量的線形運(yùn)算和向量的數(shù)量積為我們用代數(shù)方法研究平面
2、幾何問題提供可能性，而通常學(xué)生在處理向量問題時(shí)多選擇數(shù)而忽略了形，為了提高學(xué)生的綜合解題能力，數(shù)形結(jié)合能力，所以向量在平面幾何的應(yīng)用這一課時(shí)的設(shè)計(jì)中為學(xué)生提供一個(gè)借助幾何圖形處理向量問題的思考方向。并且由于教材例2難度較大，學(xué)生理解有困難，所以在選擇例題的時(shí)候就重新設(shè)計(jì)了題目。
通過本堂課的教學(xué)讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合在解題中的魅力，體會向量的工具性，達(dá)到提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力，并把培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識和合作探索意識作為教學(xué)目標(biāo)。但是
二、學(xué)情分析
平面向量是新增的內(nèi)容，近幾年在高考中都會出現(xiàn)相應(yīng)的題目，因此學(xué)好平面向量知識非常重要，由于在高一階段，學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)過解析
3、幾何的內(nèi)容，只是在學(xué)習(xí)過初中平面幾何的知識，因此本節(jié)的幾何模型只局限于平面幾何圖形。本人執(zhí)教的班級是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)較差，學(xué)生的獨(dú)立思考能力，數(shù)形結(jié)合能力并不是很強(qiáng)，所以這節(jié)課采用講練結(jié)合，學(xué)生練習(xí)為主，教師引導(dǎo)為輔的授課方式，希望能達(dá)到既發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題，解決問題并品嘗勞動成果的喜悅，又能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。
三、設(shè)計(jì)思想
本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循從具體到抽象的原則，適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)手段，通過直觀感知，操作確認(rèn)，合情推理，歸納出用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示向量與平面幾何中的
4、聯(lián)系、理解向量的概念，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想方法，養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和空間想象力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。
四、教學(xué)目標(biāo)分析
1、知識與技能：能夠用向量的線形運(yùn)算和數(shù)量積解決平面幾何的平行，垂直，長度，夾角等問題，能用向量平行和垂直的條件解決直線的方向向量的問題
2、過程與方法：經(jīng)歷用向量的方法解答平面幾何中的平行、垂直、長度與夾角問題的過程，體會向量法在解決平面幾何問題的優(yōu)越性。
3、情感，態(tài)度與價(jià)值觀：用向量方法解決平面幾何問題的過程中，培養(yǎng)觀察分析、比較和判斷的習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)形結(jié)合能力，提高學(xué)生的合作探索意識。
五、重難
5、點(diǎn)分析
1、重點(diǎn)：通過平面幾何圖形性質(zhì)與向量運(yùn)算法則的有機(jī)結(jié)合，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q平面幾何問題——向量法解決幾何問題的“三步曲”；滲透數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想；提高學(xué)生的構(gòu)造能力和對所學(xué)知識的整合能力。
2、難點(diǎn)：向量與幾何元素間的轉(zhuǎn)化，如何構(gòu)造恰當(dāng)?shù)钠矫鎺缀螆D形。
六、教學(xué)與學(xué)法分析
1、教學(xué)方法：講練結(jié)合，以練串講，師生互動。
2、學(xué)習(xí)方法：自主探索，練習(xí)為主，合作交流。
3、教學(xué)手段：使用多媒體教學(xué)輔助工具，直尺等。
七、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（1）復(fù)習(xí)引入，溫故知新：
教師：怎么判斷兩個(gè)非零向量垂直，平行？
學(xué)生：兩向量平行：；。
兩向量垂直：。
6、設(shè)計(jì)意圖：通過提問，使學(xué)生激活沉淀知識，為下一步用向量知識解決幾何問題做準(zhǔn)備。
（2）師生互動，講解例題：
多煤體演示：例1、平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖，。你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？
師生分析，得出解題過程：
為了簡便計(jì)算，我們不妨設(shè)，，則，，
因?yàn)槭钦揖€段的長度的關(guān)系，所以就是求向量的模，所以有，。
因此我們計(jì)算與。
板書：解：設(shè)，，所以，。
易得：，。
又=…...①
同理……②
由①+②可得：。
所以：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。
多煤體演示：
結(jié)論：用向量方法解決平面幾何問
7、題的“三步曲”：
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量的問題。
（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題。
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這道題的目的一是為了讓學(xué)生發(fā)掘出線段的長度與向量的模之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)向量與幾何元素的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生體會到數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合；二是為了總結(jié)出向量法解決平面幾何問題的“三步曲”。
多煤體演示：例2、我們知道在圓中，直徑所對的圓周角是一個(gè)直角，現(xiàn)在你能用向量方法來證明這個(gè)結(jié)論嗎？
師生互動，轉(zhuǎn)化題意：
把題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：如圖所示AC是為⊙O的一條直徑，
8、∠ABC為圓周角.求證：∠ABC＝90°。
結(jié)合“三步曲”解題：
解析：（第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量的問題。）
設(shè)，，。
（第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系。）
又，。
。
（第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。）
設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這道題的目的是為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化能力，通過引導(dǎo)使學(xué)生能夠深刻理解題目，根據(jù)題目畫出示意圖，通過數(shù)形結(jié)合來解決問題，其次是為了進(jìn)一步加深學(xué)生對向量法解決平面幾何問題的“三步曲”的認(rèn)識。
（3）鞏固練習(xí)，學(xué)而致用：
練習(xí)1、證明正方形的對角線互相垂直平分。
9、
設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這道練習(xí)的目的是為了讓學(xué)生對剛才所學(xué)的知識有一個(gè)親身感受的過程，切切實(shí)實(shí)感受數(shù)形結(jié)合的魅力所在，讓學(xué)生親自動手去做題，去練習(xí)，從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力是教學(xué)目的。
練習(xí)2、利用平面向量證明順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)的四邊形是矩形
設(shè)計(jì)意圖：這道練習(xí)的目的為了增強(qiáng)學(xué)生的動手能力，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題，從而解決問題。加深學(xué)生對向量法解決平面幾何問題“三步曲”的理解。
以上內(nèi)容都是學(xué)生親自動手練習(xí)，把學(xué)習(xí)時(shí)間還給學(xué)生，充分體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體形。
（4）反思小結(jié)，形成新知：
先由學(xué)生口頭總結(jié)，然后教師歸納總結(jié)（由多媒體幻燈片展示）：
用向量方法解決平面幾何的“三步曲”：
(
10、1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
（5）布置作業(yè)，鞏固新知：
用平面向量證明下列定理
（1）勾股定理。
（2）梯形中位線定理
注：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。
（6）教學(xué)反思：
本節(jié)“平面幾何中的向量方法”是平面幾何概念，運(yùn)算以及數(shù)量積應(yīng)用的第一節(jié)課，也是學(xué)生開始學(xué)習(xí)建立平面幾何圖形演澤推理論述的思維方式方法，因此本節(jié)課學(xué)習(xí)對發(fā)展學(xué)生的空間觀念和邏輯思維能力是非常重要的。
本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循“直觀
11、感知——操作確認(rèn)——思辯論證”的認(rèn)識過程，注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動，從多角度認(rèn)識向量在平面幾何中的應(yīng)用，讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，進(jìn)一步認(rèn)識和掌握平面圖形的性質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展合情推理、發(fā)展空間觀念與推理能力。
本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)符號語言、文字語言及圖形語言，加強(qiáng)各種語言的互譯。比如上課開始時(shí)的復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生用兩種語言的表達(dá)，動手實(shí)踐、定理探求過程以及定理描述也注重兩種種語言的表達(dá)，對例題的講解與分析也注意指導(dǎo)學(xué)生三種語言的表達(dá)。
本節(jié)課對定理的探求與認(rèn)識過程的設(shè)計(jì)始終貫徹直觀在先，感知在先，學(xué)自己身邊的數(shù)學(xué)，感知生活中包涵的數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)原理，體驗(yàn)數(shù)學(xué)即生活的道理。
四會四會中學(xué)——胡永基
平面幾何中的向量方法 一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程
