《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論》伍德里奇-第四版-筆記和習(xí)題答案(2-8章)

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1、使用普通最小二乘法，此時(shí)最小化的殘差平方和為 利用一元微枳分可以證明.A必須滿足一階條件 n _ Zxi（yi"Axi）=0 從而解出A為： 冬％ 空 1-1 當(dāng)且僅當(dāng)x=o時(shí)，這兩個(gè)估計(jì)值才是相同的。 2.2課后習(xí)題詳解 一、習(xí)題 1. 在簡(jiǎn)單線性回歸模型y二人+陽(yáng)+u中，假定E（u）hO。令％=EW）,證明：這個(gè)模型總可以改寫為另一 種形式：斜率與原來(lái)相同，但截距和誤差有所不同，并且新的誤差期里值為零。 證明：在方程右邊加上％二E（u）,則 y=%+A+Ax+u-% 令新的誤差項(xiàng)為e = u-^,因此E（e）=0o 新的截距項(xiàng)為％+幾，斜率不變?yōu)锳。

2、 2. 卜表包含了 8個(gè)學(xué)生的ACT分?jǐn)?shù)和GPA （平均成績(jī)）。平均成纟貫以四分制計(jì)算，且保留一位小數(shù)。 student GPA ACT 1 2.8 21 34 24 3 3 0 26 4 3 5 27 5 3 6 29 6 3 0 25 7 27 25 8 37 30 （I）利用OLS估計(jì)GPA和ACT的關(guān)系：也就是說(shuō)，求出如卜方程中的截距和斜率估計(jì)值 gpa=4+Aact 評(píng)價(jià)這個(gè)關(guān)系的方向。這里的截距有沒(méi)有一個(gè)有用的解釋？請(qǐng)說(shuō)明。如果ACT分?jǐn)?shù)提高5分，預(yù)期GPA會(huì) 提高多少？ （II） 計(jì)算每次觀測(cè)的擬合值和殘差，并驗(yàn)

3、證殘差和（近似）為零。 （III） 當(dāng)ACT = 20時(shí)，GPA的預(yù)測(cè)值為多少？ （IV） 對(duì)這8個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，GPA的變異中，有多少能由ACT解釋？試說(shuō)明。 答：（I ）變量的均值為：GPA= 3.2125, ACT = 25 875 o 2（GPA-?A）（ACI；-ACT）=5 8125 1-1 根據(jù)公式 2.19 町得：^ = 5.8125/56 875= 0 1022 <> 根據(jù)公式217可知: 4 - 3.2125-0.1022x25.875 - 0 5681。 因此GPA= 0 5681 + 0 1022ACT。此處截距沒(méi)有一個(gè)很好的解釋，因?yàn)閷?duì)樣本而言，AC

4、T并不接近0。如果ACT 分?jǐn)?shù)提高5分，預(yù)期GPA會(huì)提高0 1022x5=0 511o （II）每次觀測(cè)的擬介值和殘差表如表2-3所示： 表53 1 GPA GPA A U 1 2 8 2.7143 0 0857 — 34 3 0209 0 3791 3 3 0 3.2253 -0.2253 4 3 5 3.3275 0 1725 5 3 6 3.5319 0 0681 6 3 0 3 1231 -0 1231 7 27 3 1231 -0 4231 8 37 3 6341 0 0659 根據(jù)衣町知，殘差和為-0 0

5、02,忽略固右?的舍入誤差，殘差和近似為冬。 （III） 當(dāng) ACT = 20,則 GFA= 0.5681+0 1022x20=261。 （IV） 殘差平方和為：亡毎=04347,而2（yx-y）2 = 1 0288 ,則判定系數(shù)為: 1-1 1-1 R2 = 1 - SSR / S^r = 1 - 0 4377 /1 0288 ? 0 577 GPA的變異中，有57 7%能由act解釋。 3. 令kids表示一名婦女生過(guò)的孩子數(shù)目，educ表示該婦女接受過(guò)教育的年數(shù)。生育率對(duì)受教育年數(shù)的簡(jiǎn)單 回歸模型為 lads =幾 + Aeduc+u 其中，u是無(wú)法觀測(cè)到的誤差。 （

6、I） U中包含什么樣的因素？它們可能與受教育程度相關(guān)嗎？ （II） 簡(jiǎn)單回歸分析能夠揭示教育對(duì)生育率在其他條件不變下的影響嗎？請(qǐng)解釋。 答：（I）收入、年齡和家庭背景（如兄弟姐妹的數(shù)量）都町能包含在誤差項(xiàng)中。它們町能是與受教育程度 相關(guān)的：收入和受教育程度是呈正相關(guān)的；年齡與受教育榨度是乜負(fù)相關(guān)的：兄弟姐妹的數(shù)臺(tái)與受教臺(tái)“度是負(fù) 相關(guān)的。 （1【）假定（I）中所列舉的因素固定不變，即以誤差項(xiàng)的形式呈現(xiàn)在回歸方程中，但是誤差項(xiàng)與解釋變量 是相關(guān)的，因此E（u|educ）工0,經(jīng)典假定被推翻，因此簡(jiǎn)單回歸分析不能解釋教育對(duì)生育率在其他條件不變卜?的 影響。 4. 假設(shè)你對(duì)估計(jì)花在SAT備考

7、課程匕的小時(shí)數(shù)（hours ）對(duì)SAT總分（sat ）的影響感興趣。 總體是某一年內(nèi)所有計(jì)劃上大學(xué)的中學(xué)高年級(jí)學(xué)生。 （I） 假設(shè)你有權(quán)進(jìn)行一項(xiàng)控制實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)說(shuō)明為了估計(jì)hours對(duì)sat的引致效應(yīng)，你將如何構(gòu)建實(shí)驗(yàn)。 （II） 考慮一個(gè)更加實(shí)際的情形，即由學(xué)生選擇在備考課程上花多少時(shí)間，而你只能隨機(jī)地從總體中抽出sat 和hours的樣本。將總體模型寫作如卜?形式： sat = 0）+ /^hours +u 其中，與通常帶截距的模型一樣，我們可以假設(shè)E（u）=0。列舉出至少兩個(gè)u中包含的因素。這些因素與hours 町能呈止相關(guān)還是負(fù)相關(guān)? (III) 在(ll)的方程中，如果備

8、考課程有效，那么A的符號(hào)應(yīng)該是什么？ (IV) 在(II)的方程中，0。該如何解釋？ 答：(【)構(gòu)建實(shí)臉時(shí)，首先隨機(jī)分配準(zhǔn)冬課程的小時(shí)數(shù)，以保證準(zhǔn)備課程的時(shí)間9其他影響SAT的因素是 獨(dú)立的。然后收集實(shí)驗(yàn)中每個(gè)學(xué)生SAT的數(shù)據(jù)，建立樣本{(sa^.hourj： 1 = 1，…，n} , n表示試驗(yàn)中所包括的學(xué) 生的數(shù)量。根據(jù)方程27,應(yīng)該嘗試采用盡町能多的有差異的“小時(shí)數(shù)“。 (II) 誤差項(xiàng)還可能包含以下三個(gè)因素：天賦能力、家庭收入以及考試當(dāng)天的健康狀況。如果學(xué)生擁有天賦 能力，那么他們不需要為考試花費(fèi)太多時(shí)間，能力與時(shí)間是負(fù)相關(guān)的。家庭收入與學(xué)習(xí)時(shí)間呈正相關(guān)關(guān)系，因?yàn)?家庭收入越高，

9、就能負(fù)擔(dān)去越多的課時(shí)費(fèi)用。排除慢性的健康問(wèn)題，考試當(dāng)天的健康狀況與為準(zhǔn)備考試花費(fèi)的時(shí) 間是無(wú)關(guān)的。 (III) 如果備考課程有效，A的符號(hào)?應(yīng)該為正，在其他因素相同的情況下，備考時(shí)間越多，sat越高。 (IV) 截距有一個(gè)有用的解釋：因?yàn)镋(U) = 0,幾表示備考時(shí)間為0時(shí)學(xué)生獲得的平均sat總分。 5. 考世儲(chǔ)蓄函數(shù) sav =介 + 內(nèi)皿 +u ? u = Jnc ? e 其中，e是一個(gè)隨機(jī)變量，且冇E(e) = 0和V ar(e) = ^,假設(shè)e獨(dú)立于inc。 (I) 證明：若E(u|inc) = 0,則滿足零條件均值的關(guān)鍵假設(shè)(假定SLR4)o ［提示：若e獨(dú)立于inc.

10、則 E(u |inc) = E(e)］ (II) 證明：若Var(u|inc) = bnc,則不滿足同方差假定SLR 5。特別地,sav的方差隨著inc而增加。［提 4<:若 e 和 inc 獨(dú)立，則 Var(e|inc) = Var(e) o ] (HI)討論支持儲(chǔ)蒂方差隨著家庭收入遞壇的證據(jù)。 證明:(I )計(jì)算me的條件期望值時(shí),變?yōu)橐粋€(gè)常數(shù),因此E(u |inc) = E(>/inc ? e|inc) = -^ncE(e|inc) = 0 o (II ) inc的方差為：Vai (u |inc) = Vcu (>/ihg c|inc) = () Vai (c|inc) = m

11、c of o (III) 低收入家庭支出的靈活性較低，因?yàn)榈褪杖爰彝ケ仨毷紫戎Ц兑率匙⌒械缺匦杵?。而高收入家庭具?較高的靈活性，部分選擇更多的消費(fèi)，而另?部分家庭選擇更多的儲(chǔ)蓄。這種較高的靈活性暗示高收入家庭中儲(chǔ) 蒂的變動(dòng)幅度更大。 6. 令4和A分別為OLS截距和斜率估計(jì)量，并令F為誤差(不是殘差)的樣本均值。 (I )證明：4 町寫成 A = A +S^ui * 其中 w = 和djhx^-x。 i-1 (II) 利用(I)及另W = 證明：A和u無(wú)關(guān)。［提示：要求你證明A_A)U = ^］ (III) 證明 4 可寫成 A = A+u-( A-A)x。 (IV) 利用(

12、II)和(III)證明：Var(入)+ /5汎。 (V) (N)中的表達(dá)式能簡(jiǎn)化成方程(2.58)嗎？［提示：SSTx/n = n-12^-(x)2。］ U1 證明：(I )該理論推導(dǎo)與公式252的推導(dǎo)本質(zhì)上是一樣的，區(qū)別只是將w = 帶到求和的里面。 （H） 因?yàn)閏ov（A ,u）=e［（^-^）u］,公式右邊等于0。從（I ）可知, e［（ A ）丁卜￡［江_1即］］=江zE（uM）。因?yàn)檎`差項(xiàng)兩兩互不相關(guān)’則〔（嚀切二?！痠Hh‘ E（Ui》） = E（u：/n） = cr2/n<> W此工二呵己血丁）=工占呵（/ n） = （j /n）S2a = 0 o （III） 最小

13、二乘估計(jì)的截距公式為：Aj = y-^,代入y = ^+Ax+u.則 a=（a+ax+u）-Ax=a+u-（A-a>o （IV） 因?yàn)槿撕虵是不相關(guān)的，則有： Var（4 ） = Var（d）+Var（A）史=°2 /n+（"/SCTX）X2 = a2 /n+oV /SSTX （V） 能。 根據(jù)SSTx/n = n-1^^-（x）2 ,則 Var（A 卜，［（SSI；/n） + F］/S 花 "汁（n?吃 H 工）+門/ S汎二，（廿吃二彳）/ S兀 7. 利用Kiel and McClain （1995）有關(guān)1988年馬薩諸塞州安德沃M的龍屋出售數(shù)據(jù)，如下方程給出了房屋 價(jià)格（

14、price ）和距離一個(gè)新修垃圾焚化爐的距離（dist）之間的關(guān)系： log（price） = 9 40 + 0 3121og（dist） n = 135 ,R2=0 162 （I） 解釋log（dist）的系數(shù)。它的符號(hào)是你所預(yù)期的嗎？ （II） 你認(rèn)為簡(jiǎn)單回歸給出了 pcce對(duì)dist在其他條件不變卜彈性的無(wú)偏估計(jì)量嗎？（考慮一個(gè)城市決定放 置焚化爐的地點(diǎn)的決策。） （III） 還有哪些英他因素影響房屋的佔(zhàn):價(jià)？這些因素會(huì)與距離焚化爐的遠(yuǎn)近相關(guān)嗎？ 答：（I）符號(hào)為正，與預(yù)期相符。log（dist）的系數(shù)表示距離焚化爐的距離越遠(yuǎn)，價(jià)格就越高，價(jià)格的距離 彈性是0.312,即距離

15、遠(yuǎn)1%,價(jià)格上升0.312%。 （II） 如果城市決定將焚化爐放置在遠(yuǎn)離較貴的居民區(qū)的地方，則logjdist）與房?jī)r(jià)是正柑關(guān)的。這將違背假 定4,而OLS估計(jì)是有偏的。 （III） 房屋的面積、洗于?間的數(shù)量、占地而積人小、房齡社區(qū)質(zhì)量（包括學(xué)校質(zhì)量）都會(huì)影響房屋的礬價(jià)。 這些與距離焚化爐的遠(yuǎn)近是有關(guān)的。 8. （ I ）令久和介為片對(duì)電進(jìn)行回歸的截距和斜率（右d次觀測(cè)）：q和勺為常數(shù)且c嚴(yán)0： 0。和以為（:必 對(duì)c佰進(jìn)行回歸的截距和斜率。證明R=（cjc」瓦H. A = q A，從而驗(yàn)證了 24節(jié)中關(guān)「度戰(zhàn)單位的命題。［提示： 為得到久，把改變了度量單位的"和y代入方程（219）。

16、然后用方程（2 17）求為，確定代入的是進(jìn)行度量單 位變換后的x和y以及匸確的斜率。 （II）現(xiàn)在令為和介得自（q + yj對(duì)（勺+%）的回歸（對(duì)C】和勺不加任何限制）。 證明：A = A且4 =入+5-乃點(diǎn)。 （HI）令幾和A為log（yj對(duì)?；貧w的OLS估計(jì)值，其中我們必須假定對(duì)所有1，都有71>0o對(duì)C］>0,令 Bq和A為1昭（勺％）対耳回歸的截距和斜率?證明：A = A且4 = iog（q）+ A）° （IV）現(xiàn)在假定對(duì)所有1,都有x>0。令為和A為為對(duì)logG%）回歸的截距和斜率。A和B1與力對(duì)log（兀） 回歸的截距和斜率相比如何？ 答：（I）因?yàn)閊=C1y ,荻=歹

17、，當(dāng)為冊(cè)對(duì)莎進(jìn)行回歸時(shí)，可以通過(guò)方程2.19得到方程的斜率： n n Dm -于）（q% - Cjy） 2 C1C3（8 一可（人-y） A - “ - z 藝（5兀-c2x）3 ￡ c扌（呂-訝 1-1 1-1 「￡（召-可（x-刃「 j =C1 A 5 乩切 °3 1-1 根據(jù)公式2 17町得截距項(xiàng)為： A=（^y）-A（^）=（c1y）-［（cl/c2）A］（c2x）=c1（y-Ax）=c1（4,） （II）使用與（I ）相同的方法，可得（Cj + y）= q + y，（Ca+x）=C2+x ?因此 （q+yJ_（q+y）=（q+%Hq+y）=y,_y，（

18、勺+切-何+十均-寰。在（q+%）對(duì) 工+珂）的回歸中, 勺和勺被完全排除在斜率公式以外，以及A = 4^ 截ai為：A=（^+y）-A（?+x）=（ci+y）-A（c2+x）=（y-Ax）+ci-c2A = （III） 因?yàn)?log（c】yi） = log（C］） 1 log（yj ,令 c】代替 log（cj , yx 代替 log（yj，且 - 0 ?然后采用與（II）和 同的方法。 （IV） 采用與（1【）相同的方法，設(shè)c1 = 0, c?替代10g（c3）,兀替代1弟（兀），如果A和A是原截距和斜率， 那么此時(shí)的截距和斜率為：= 和A = A。 9. 在線性消費(fèi)函數(shù)con

19、s=A+Rinc中，收入的（估計(jì)）邊際消費(fèi)傾向（MPC ）無(wú)非就是斜率人，而平均消 費(fèi)傾向（APC ）為cons/inc=A/inc+A=利用對(duì)100個(gè)家庭的年收入和消費(fèi)觀測(cè)（均以美元訃），便得到如下方 程： cons = -124 84 + 0 853inc n = 100 =0.692 （I）解釋這個(gè)方程中的截距，并評(píng)價(jià)它的符號(hào)和大小。 （11 ）當(dāng)家庭收入為30000美元時(shí)，預(yù)計(jì)消費(fèi)為多少？ （III）以inc為橫軸，畫(huà)出估計(jì)的MPC和APC圖。 答：（I ）截距表示當(dāng)inc=0, cons預(yù)計(jì)將為-124 84美元。但這與爭(zhēng)實(shí)不符，反映出消費(fèi)函數(shù)在預(yù)測(cè)方面（尤 其是收入處于

20、較低的水平上時(shí)）是薄弱的。從年同比角度而言,12484美元與0美元的差距并沒(méi)有那么人。 （II ）將30000美元代入方程：預(yù)計(jì)消費(fèi)=-124 84+ 0.853x30000= 25465 （美元）。 （III） MPC和APC如圖2 1所示"即使截距足負(fù)的，樣本中最小的APC是正的?圖中從年均收入水平1000 美元開(kāi)始。 圖2-1 10. 在高斯?吁爾町夫假定SLR 1?SLR5之下，考慮標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)單回歸模型y二幾+坷x+u。通常的OLS估計(jì) 最久和A都是各自總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)最。令01表示通過(guò)假定截距為零而得到01的估計(jì)最（見(jiàn)26節(jié)）。 （【）用珂、0o和01表示E（A）o

21、證明：當(dāng)總體截距（幾）為零時(shí)，&是A的無(wú)偏估計(jì)量。 有沒(méi)有其他的惜況使得&也是無(wú)偏的？ （II）求久的方差。（提示方差不依賴于A。） （11【）證明Var（A）＜Var（A）o ［提示：對(duì)任何數(shù)據(jù)樣本，勿叫-期，除非（x = 0）,否則該式嚴(yán)格 1-1 U1 不等。］ （IV）當(dāng)我們要從A和A中做出選擇時(shí)，評(píng)論偏誤和方差的替代關(guān)系。 答：（I ）從方程2.66可知: 碁（討）/（孕） 將為=A+ZVi+Ui代入可得： 分子化簡(jiǎn)后可寫為： i-1 1-1 因此 恥從詞/（詞皿（討J/（詞 對(duì)于所行的I而言，E（ux）=0,則: 上式中右邊的第一項(xiàng)表示介的偏差。當(dāng)幾=0

22、、7 = 0或2^ = 0時(shí).A是無(wú)偏的。 1-1 （ii）根據(jù)（i）中所表示的可得方差為: （III）根據(jù)公式 157, Var（A卜，/ ,對(duì)任何數(shù)據(jù)樣本，（?！龃颍嵌?。因此 1>1 1?1 （IV）對(duì)于給定的樣本而言，當(dāng)匚增加，A的有偏程度增加。但是當(dāng)匚增加時(shí)，A的變化與Var（A）是相關(guān) 的。當(dāng)幾較小時(shí)，介的偏差也很小。因此幾、7以及樣本人小n （￡彳的規(guī)模）決定了在均方誤差上A和A的 1-1 優(yōu)劣。 11. 數(shù)據(jù)集BWGHTRAW包含了美國(guó)婦女生育方面的數(shù)據(jù)c我們關(guān)心的兩個(gè)變量是因變量［嬰兒出生體重的 盎司數(shù)（bwght）］和解釋變量［母親在懷孕期間平均每天抽

23、煙的根數(shù)（cigs）］.下面這個(gè)簡(jiǎn)單回1丿I是用n=1388個(gè) 出生數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)的： bwght = 119 77-0514cigs （I） 當(dāng)cigs = O時(shí)，預(yù)計(jì)嬰兒的出生體重為多少？當(dāng)cigs =20 （每天一包）時(shí)呢？評(píng)價(jià)其差別。 （II） 這個(gè)簡(jiǎn)單回歸能夠得到嬰兒出生體重和母親抽煙習(xí)慣之間的因來(lái)關(guān)系嗎？請(qǐng)解釋。 （III） 要預(yù)測(cè)出生體覓125盎司，cigs應(yīng)該為多少？ （IV ）樣本中在懷孕期間不抽煙的婦女比例約為0 85。這有助于解釋第（11【）部分中的結(jié)論嗎？ 答：（I ）當(dāng)ags=0時(shí)，預(yù)計(jì)嬰兒的出生體重為119.77盎司；當(dāng)cigs = 20時(shí)，預(yù)計(jì)嬰兒的出生

24、體重為1094$ 盎司，比前者下降8.6%。 （II） 不能。因?yàn)檫€有其他因素影響嬰兒的出生體重，如母親的整體健康狀況和產(chǎn)前護(hù)理的質(zhì)量。這些因素 可能與懷孕期間吸煙量是相關(guān)的。另外，咖啡因的攝入也會(huì)影響到嬰兒的出生體貳，這也與吸煙最相關(guān)。 （III） 要預(yù)測(cè)出生體重為125盎司，那么cigs = （125-119.77）/（-0.524）? -10 18 o這是無(wú)童義的，它表明在一 個(gè)解釋變量的情況下預(yù)測(cè)出生體覓會(huì)發(fā)生的后果。盡管有約700名嬰兒的出生體覓大于11977盎司，但最大的 預(yù)測(cè)出生體重不能超過(guò)11977盎司。 （IV） 因?yàn)槟Ｐ蛢H僅使用吸煙量來(lái)解釋出生體重，因此僅有一個(gè)結(jié)來(lái)：

25、即cigs=0時(shí)的岀生體重。cigs = 0時(shí) 的預(yù)測(cè)結(jié)呆必然大致位于樣本數(shù)據(jù)的中間位置，因此可以預(yù)測(cè)高出生率。 二、計(jì)算機(jī)習(xí)題 1. 401KRAW中的數(shù)據(jù)是帕普克（Papke, 1995）所分析數(shù)據(jù)的?個(gè)子集，帕普克是為了研究401 （k）養(yǎng) 老金計(jì)劃的參與率和該計(jì)劃的慷慨程度之間的關(guān)系。變量prate S資格參與該計(jì)劃的員工中擁冇活動(dòng)賬戶的百 分比，也是我們要解釋的變量?？犊潭戎笜?biāo)是計(jì)劃的匹配率mrate0這個(gè)變最給出了員工每向這個(gè)賬戶存1美 元，公司為該員工匹配的平均數(shù)最。例如，若nrate=0 50.則員工每投入1美元，公司就匹配50美分。 （I）求出該計(jì)劃的樣本中平均參與率

26、和平均匹配率。 （II） 現(xiàn)在估計(jì)卜?面這個(gè)簡(jiǎn)單回歸方程prate =^ + Anrate報(bào)告你的結(jié)果以及樣本容量和 （III） 解釋你的方程中的截距.解釋mrate的系數(shù). （IV ）當(dāng)nrate = 3 5時(shí)，求出prate的預(yù)測(cè)值。這是一個(gè)合理的預(yù)測(cè)嗎？解釋這里出現(xiàn)的情況。 （V） prate的變異中，有務(wù)少是由mrate解釋的？你認(rèn)為，這是一個(gè)足夠人的量嗎？ 答：（I ）平均參與率是87 63%,平均匹配率是0 732。 （II） 回歸方程為： prate = 83 05 + 5 86mrate n = 1534 ,R3 = 0.075 （III） 截距表示即使nra

27、te=O,預(yù)測(cè)的參與率是83 05%。mrate的系數(shù)表明匹配率每增加1美元，則有資格 參與該計(jì)劃的員工中擁有活動(dòng)賬戶的百分比（prate）増加5 86%。該結(jié)果假定prate的變動(dòng)是町能的。如果prate 已經(jīng)達(dá)到98%,那么截距就是無(wú)意義的。 （IV） nrate=3.5?則prate =8305書(shū)85 miate宙05 5務(wù)35x10^9 。這不是一個(gè)合理的預(yù)測(cè)，因?yàn)閰⑴c 率不超過(guò)100%。這表明因變最是有界限的，簡(jiǎn)單回歸所預(yù)測(cè)的自變最的極值是不符合常理的。 （V） prate的變異中，有7 5%是由mrate解釋的，說(shuō)明還有其他因素影響?zhàn)B老金計(jì)劃參與率。 2. 數(shù)據(jù)集CEOSA

28、L2 RAW包倉(cāng)了美國(guó)公司首席執(zhí)行官的信息。變量salary是以T?美元計(jì)的年薪，ceoten是 已擔(dān)任公司CEO的年數(shù)。 （I）求出樣本中的平均年耕和平均任期。 （II ）右鄉(xiāng)少位CEO尚處于擔(dān)任CEO的第一年（就是說(shuō)，ceoten=0 ） ?最長(zhǎng)的CEO任期是￡少？ （III）估計(jì)簡(jiǎn)單回歸模型log（Salary）=A+Aceoten4-u,用通常的形式報(bào)告你的結(jié)果。多擔(dān)任一年CEO,預(yù) 計(jì)年薪增長(zhǎng)（近似）的百分?jǐn)?shù)是多少？ 答：（I ）平均年薪為865 864千美元，平均任期為7 95年。 （II ）冇5位CEO處于擔(dān)任CEO的第一年。最長(zhǎng)的CEO任期是37年。 （III）回歸

29、方程是： log （salary） = 6 51 + 0 9097ceoten n = 177 ,RJ = 0 013 多擔(dān)任一年CEO,預(yù)計(jì)年薪增長(zhǎng)的近似百分?jǐn)?shù)是0 97% （或1%）。 3. 利用Biddle and Hamennesh （1990）中的SLEEP75RAW數(shù)據(jù)，研究在每周用丁?睡眠的時(shí)間和用于冇酬 工作的時(shí)間之間是否存在替代關(guān)系。我們可以用它們中的任何一個(gè)作為因變量。為只體起見(jiàn)，估計(jì)模型 sleep = A + 月 totwrk+u 其中，sleep是每周用于晚上睡眠的分鐘數(shù)，totwrk是這一周中用丁?工作的分鐘數(shù)。 （I） 用方程的形式，連同觀測(cè)的次數(shù)和

30、R，報(bào)告你的結(jié)果。該方程中的截距表示什么？ （II） 若totwrk增加2小時(shí)，則sleep估計(jì)要減少多少？你覺(jué)得這是一個(gè)很人的效應(yīng)嗎？ 答：（I ＞估計(jì)方程為： sleep = 3586 4- 0 151totwrk n = 706 , R3 = 0.103 截距表示不工作的人每周用于晚匕睡眠的時(shí)間為35864分鐘。這意味著每晚睡眠的時(shí)間達(dá)到8 5小時(shí)。 （II）當(dāng)zMotwi*k=120?則Asleep = -0 151x120 = -18.12 （分鐘）。這并不是一個(gè)很大的效應(yīng)。如果某人工作 口的工作時(shí)間均增加一小時(shí)，睡眠總減少時(shí)間約為45分鐘，平攤在每晚只有約6分鐘。 4.

31、 利用W^GEZRAW中的數(shù)據(jù)估計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單回歸，以便用智商（IQ）來(lái)解釋月耕（wage）。 （I ）求出樣本中的平均工資和平均IQoIQ的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是多少？（總體中的IQ己標(biāo)準(zhǔn)化為平均值足100, 標(biāo)準(zhǔn)差是15。） （1【）估計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單回歸模型，其中IQ提高一個(gè)單位導(dǎo)致wage變化相同的數(shù)最。利用這個(gè)模型計(jì)算IQ提 高15個(gè)單位時(shí)，工資的預(yù)期變化。IQ能夠解釋人多數(shù)工資變異嗎？ （III）現(xiàn)在再估計(jì)一個(gè)模型?梵中IQ提高一個(gè)單位對(duì)工資眞有相同的百分比影響。如果IQ提高15個(gè)單位. 預(yù)期工資提高的百分比大約是多少？ 答：（【）平均工資為957 95美元，平均IQ為101二& IQ的樣本標(biāo)

32、準(zhǔn)差為15 05,與總體標(biāo)準(zhǔn)差非常接近。 （II） 簡(jiǎn)單回歸模型為： wage = 116.99+8.3IQ n = 935, R—0 096 IQ提高15個(gè)單位導(dǎo)致工資變化8 3x15=124 5 （美元）。IQ不能夠解釋興多數(shù)工資變異，薪水的變異中，僅 有9 6%是由IQ解釋的。 （III） 回歸模型為： log （wage） = 5 89 + 0 0088IQ n = 935, R3 = 0 09S 如果IQ提高15個(gè)單位，則A log （wage） = 0.0088 x 15 = 0 132 ,因此預(yù)期工資提高的百分比大約是13 2%。 5. 在化工產(chǎn)業(yè)的企業(yè)總體中，

33、令rd表示年研發(fā)支出，sales表示年銷售額（都以百萬(wàn)美元計(jì)）。 （I） 寫一個(gè)模型（不是估計(jì)方程），其中rd和sales之間的彈性為常數(shù)。哪一個(gè)參數(shù)代表彈性？ （II） 再用RDCHEM. RAW中的數(shù)據(jù)估計(jì)模型。用通常的形式寫出估計(jì)方程。rd關(guān)于sales的彈性估計(jì)值 是多少？用文字解釋這個(gè)彈性的含義。 答：（I）不變彈性的對(duì)數(shù)?對(duì)數(shù)模型為： log（rd）=幾 + A】og（sales）+u 參數(shù)A代表彈性。 （II）估計(jì)方程為： log （rd） =-4 105+1 0761og （sales） n = 32 ,R2 =0.910 rd關(guān)于sales的彈性估計(jì)值是1

34、076,說(shuō)明sales每增長(zhǎng)1%, rd將會(huì)增長(zhǎng)108%。 6. 例2 12?|?曾使用了 N1EAP93 RAW中的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在，我們想用這個(gè)文件中的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)通過(guò)率（mathlO） 與每個(gè)學(xué)生的平均支出（沖end ）之間的關(guān)系。 （I）就多花一美元對(duì)通過(guò)率的影響而言，你認(rèn)為具有恒定不變的影響介適呢，還是這種影響越來(lái)越小更合 適？請(qǐng)加以解釋。 （II ）在總體模型mathlO = +^log（expend）+u中,證明fi/10衣示expend捉為TO%導(dǎo)致mathlO改變的百分 數(shù)。 （HI）利用MEAP93RAW中的數(shù)據(jù)，估計(jì)（1【）中的模型.按照通常的方式報(bào)告估計(jì)方程，包括樣

35、本容量 和及P?。 （IV） 支出的估計(jì)影響有多人？也就是說(shuō)，如果支出提高10%,估計(jì)niatlilO會(huì)提高多少個(gè)百分點(diǎn)？ （V） 有人擔(dān)心這個(gè)回歸分析可能得到niathlO的擬合值會(huì)超過(guò)100。為什么在這個(gè)數(shù)據(jù)集中不必?fù)?dān)心這個(gè)問(wèn) 題？ 答：（1）多花一美元對(duì)通過(guò)率的影響而言，這種影響越來(lái)越小更合適。在支出較小的學(xué)校，多花錢叮以用 于購(gòu)買更多的教材、電腦以及麻用高質(zhì)量的教師，但在一個(gè)高支出水平上，即己經(jīng)具備了大量教材、足夠好的設(shè) 備和高質(zhì)量的教師時(shí)，再增加支出對(duì)通過(guò)率的影響幾乎沒(méi)有，即使有也會(huì)很小。 （II ） AinathlO = /^Alog（expend）? /100）（%Aex

36、pend）,如果%Aexpend = 10 ? 則 AmathlO = ^ /10 o （HI）估計(jì)方程為： mathlO = 一69 34 + 11 161og（expend） n = 408 , R2 = 0.0297 （IV）支出提高10%,估計(jì)mathlO會(huì)提高1 1%。支出的估計(jì)影響并不大，但這對(duì)低支出水平的學(xué)校而言是 無(wú)影響的，因?yàn)?0%的支出增加從絕對(duì)數(shù)鼠上看是很小的。 （V ）在這個(gè)數(shù)據(jù)集中，瑕人的mathlO為66 7,遠(yuǎn)小于100。實(shí)際上，瑕人的擬合值僅為30 2。 7. 利用CHARITY RAW中的數(shù)據(jù)［得自于Franses and Paap （2001 ）

37、］回答如卜問(wèn)題： （I） 在這個(gè)4268人的樣本中，平均捐款數(shù)最是多少（以荷蘭盾為單位）？沒(méi)有捐款的人數(shù)百分比是多少？ （II） 每年平均寄出的郵件數(shù)量是多少？其最小值和故人值是多少？ （III） 用普通最小二乘法估計(jì)如下模型： gift = A +/^mailsyear +u 按照通常的方式報(bào)告估計(jì)方程，包括樣本容量和疋。 （IV） 解釋斜率系數(shù)。如果每封郵件的成本是1盾，那么慈善機(jī)構(gòu)預(yù)期能夠從寄出的每一封郵件屮獲得凈利 潤(rùn)嗎？這意味著慈善機(jī)構(gòu)從每対郵件中都獲得了凈利潤(rùn)嗎？請(qǐng)加以解釋。 （V） 樣本中最小慈善捐款的預(yù)測(cè)值是多少？利用這個(gè)簡(jiǎn)單的冋歸分析，你有町能預(yù)測(cè)曲等于0嗎？

38、 答：（I ）平均捐款數(shù)量為744荷蘭盾。在4*8個(gè)被調(diào)査者中，2561人沒(méi)有捐款，占60%。 （II） 每年平均寄出的郵件量為2.05o最小值為0 25,這恿味著有人每四年寄出?封郵件，最人值為3 5。 （III） 估計(jì)方程為： gift = 2 01 + 0 65mailsyear n = 4268 ,R2 = 0.0138 （IV） 斜率系數(shù)為2 65,總味著年均郵件量導(dǎo)致了額外2.65荷蘭盾的捐贈(zèng)。如果每一封郵件的成本是1盾， 那么每封郵件的預(yù)期凈收益則是1 65盾，然而這只是從平均角度而言的，并不意味著慈善機(jī)構(gòu)從每対郵件中都 獲得了凈利潤(rùn)。部分郵件對(duì)捐贈(zèng)量沒(méi)有任何貢獻(xiàn)，或者

39、其貢獻(xiàn)額小于郵寄成本，部分郵件町能產(chǎn)生遠(yuǎn)高于郵寄成 本的捐贈(zèng)量。 （V） 樣本中最小慈善捐款的預(yù)測(cè)值是：201 + 265 x 0 25 = 2 67o即使從總體來(lái)看，某些人沒(méi)有收到郵件， 最小慈善捐款為2。因此不可能預(yù)測(cè)申仕等于0。 為了構(gòu)造置信區(qū)間并進(jìn)行檢驗(yàn)，估計(jì)屁的標(biāo)準(zhǔn)差也就是方差的平方根： sd（A卜小卜育（1-用）『 由于①未知，所以用其估計(jì)最&來(lái)取代，則： se（引*/[S3Tj（l-W）r 如果誤差表現(xiàn)出異方差件，標(biāo)準(zhǔn)誤公式就不是sd（g）的一個(gè)町靠估計(jì)量，從而使標(biāo)準(zhǔn)誤無(wú)效。 五、OLS的有效性：高斯?馬爾可夫定理 1. 最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量 （1） 估計(jì)量：

40、它是一個(gè)可應(yīng)用于任何一個(gè)數(shù)據(jù)樣本，并產(chǎn)生一個(gè)估計(jì)值的規(guī)則。 （2） 無(wú)偏估計(jì)量：如果久的一個(gè)估計(jì)量，對(duì)任總A，A，???，/!都有卜0）'那么它就是幾的一個(gè)無(wú) 偏估計(jì)量。 （3） “線性”：血的一個(gè)佔(zhàn)計(jì)量0j是線性的充分必要條件足，它能表示成因變量數(shù)拯的一個(gè)線性函數(shù)： n 0產(chǎn)工W/ 1?1 其中每個(gè)％都可以是所何自變量樣本值的一個(gè)函數(shù)。 （4） “最優(yōu)”：最優(yōu)被定義為最小方差。 2. 定理34：高斯■馬爾可夫定理 （1） 主要內(nèi)容 在假定MLR 1?MLR 5下，厶，厲，…，A分別是幾，州，…，A的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量。 假定MLR1?MLR 5被稱為（橫截面數(shù)據(jù)分析的）

41、高斯■馬爾可夫假定。 （2） 高斯■馬爾可夫定理的重要性 當(dāng)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)假定集成立時(shí)，不需要再去尋找其他無(wú)偏估計(jì)屋：沒(méi)有一個(gè)會(huì)比OLS更好。 如果高斯?馬爾可夫假定中的任何一個(gè)不成立，那么這個(gè)定理也就不再成立。零條件均值的假定（假定MLR 4） 不成立會(huì)導(dǎo)致OLS產(chǎn)生偏誤，異方差性（假定MLR 5不成立）雖不致使OLS有偏，但它在線性無(wú)偏估計(jì)最中 不再具有垠小方差。 3.2課后習(xí)題詳解 一、習(xí)題 1. 用WAGE2-RAW中冇關(guān)男工人的數(shù)據(jù)估計(jì)了如下方程: educ = 10 36-0 094sibs + 0 131meduc + 0.210 feduc n = 722 ,R2 =0

42、 214 其中，educ是受教冇年數(shù)，sibs是兄弟姐妹的個(gè)數(shù)，educ是母親受教冇的年數(shù)，F(xiàn)educ則是父親受教育的 年數(shù)。 （I） sibs是否具有預(yù)期的影響？請(qǐng)給出解釋。保持meduc. feduc不變，為了使預(yù)測(cè)的受教育程度減少一年， 需要sibsJ?加多少？（這里不要求答案為整數(shù)。） （II） 討論對(duì)meduc的系數(shù)的解釋。 （in）假設(shè)一個(gè)男工人A沒(méi)有兄弟姐妹，其父母都接受了 12年的教育。另一個(gè)男工人B也沒(méi)有兄弟姐妹, 但其父母都接受了 16年的教育。預(yù)計(jì)B和A所接受教育的年數(shù)差別為多少？ 答：（1）s】bs典有預(yù)期的影響。家庭中兄弟姐妹的數(shù)屋越多，每一個(gè)小孩受教育的年

43、數(shù)都會(huì)減少。為了使預(yù) 測(cè)的受教育程度減少一年，需要增加Asibs = l/0.94? 10 6 o (11)變呈sibs和feduc保持不變，則母親受教育的年數(shù)每堆加一年，預(yù)計(jì)受教育年數(shù)將會(huì)增加0 131年。因 此母親受教育年數(shù)增加4年，她的兒子受教育年數(shù)增加約半年(0.524)。 (in)因?yàn)樾值芙忝玫膫€(gè)數(shù)是相同的，但是meduc和feduc均不相同.因此B和A所接受教育的年數(shù)為： (0 131 + 0 210)x4 = 1 364 (年)。 2. 利用GPA2RAW中有關(guān)4137名人學(xué)生的數(shù)據(jù)，用0LS估計(jì)了如下方程： colgpa = 1 392-0 0135hsperc +

44、0 00148sat n = 4137, R3 = 0.273 其中，colgpa以四分制度量，hsperc是在高中班上名次的百分位數(shù)(比方說(shuō)，hsperc = 5 ,就意味著位于班 上前5%之列)，而sat是在學(xué)生能力測(cè)驗(yàn)中數(shù)學(xué)和語(yǔ)言的綜合成績(jī)。 (I) 為什么hsperc的系數(shù)為負(fù)也講得通？ (II) 當(dāng)hsperc = 20和sat = 1050時(shí)，大學(xué)GPA的預(yù)測(cè)值足多少？ (皿)假設(shè)兩個(gè)在高中班上具有同樣百分位數(shù)的高中畢業(yè)生A和B,但A學(xué)生的SAT分?jǐn)?shù)要高出140分(在 樣本中相當(dāng)于一倍的標(biāo)準(zhǔn)差)，那么，預(yù)計(jì)這兩個(gè)學(xué)生的大學(xué)GPA相差多少？這個(gè)差距大嗎？ (IV) 保持hs

45、perc不變，SAT的分?jǐn)?shù)相差多少，才能導(dǎo)致預(yù)測(cè)的colgpa相差0 50或四分制的半分？評(píng)論你的 結(jié)論。 答：(I)在高中班上名次的百分位數(shù)(hsperc)越小，學(xué)生在高中排名就越好，越大則排名越差?其它條件 不變的情況下，學(xué)生在高中的排名越差，他/她預(yù)計(jì)的BA將越小。 (11)將hsperc = 20, sat = 1050代入估計(jì)方程可得： colgpa = 1 392-0.0135x20+0 0148x1050 = 2.676 (ill)預(yù)計(jì)中A的成績(jī)比B的成績(jī)高出0 0148x140^0 207。這個(gè)差距較人。 (iv ) hsperc 不變，Acolgpa = 0 001

46、48Asat o 當(dāng)Acolgpa = 0.5時(shí)，(Asat) =0 5/(0.00148) ? 338 o在其他條件不變的情況下，SAT分?jǐn)?shù)的差異為約25個(gè)標(biāo) 準(zhǔn)差,才能預(yù)測(cè)colgpa相差0 50。 3. 剛從法學(xué)院畢業(yè)的學(xué)生的起耕中位數(shù)由卜?式?jīng)Q定： log (salary) = R + 屁LSAT +昂 GPA+屁log(libvol)+屁 log(cost)+屁 rank+u 其中，LSAT?是整個(gè)待畢業(yè)年級(jí)LSAT成績(jī)的中位數(shù)，GPA是該年級(jí)人學(xué)GPA的中位數(shù)，hbvol是法學(xué)院圖 書(shū)館的藏書(shū)量，cost是進(jìn)入法學(xué)院每年的費(fèi)用，而rank是法學(xué)院的排名(rank=l的法學(xué)院

47、是最好的)。 (I) 解釋為什么我們預(yù)期屁S0 ° (II) 你預(yù)計(jì)其他斜率參數(shù)的符號(hào)如何？給出你的理由。 (ill)使用LAWSCH85 RAW中的數(shù)據(jù)，估計(jì)出來(lái)的方程是 log(salary) = 8 34 + 0 0047LSAr + 0 248GPA+0 0951og(hbvol)+0 0381og(cost)-0.0033rank n = 136 ,R3 = 0 842 在其他條件不變的情況卜，預(yù)計(jì)GPA中位數(shù)相差一分會(huì)導(dǎo)致嶄水有多人差別？(以百分比回答。) (iv) 解釋變量log(libvol)的系數(shù)。 (v) 你是否認(rèn)為，應(yīng)該進(jìn)入一個(gè)排名更高的法學(xué)院？從預(yù)計(jì)的起薪

48、來(lái)看，排名相差20位的價(jià)值有多大？ 答：G)法學(xué)院的排名越大，說(shuō)明該學(xué)院的聲望越差，這將使得起薪卜降。例如，排名100意味著還有9$ 所學(xué)校更好。因此預(yù)期/?5<0o (11)預(yù)計(jì)A>0, 02>0,因?yàn)?ar和GPA都衡量了待畢業(yè)班級(jí)的質(zhì)量，好學(xué)生進(jìn)入學(xué)院使得預(yù)計(jì)的平均工 資更高。A，口>o,法學(xué)院圖書(shū)館的藏書(shū)量以及進(jìn)入法學(xué)院每年的費(fèi)用都衡量了學(xué)校的質(zhì)量。成本的作用小于 藏書(shū)量，但反映了教員和硬件設(shè)施的質(zhì)量。 (ill)預(yù)計(jì)GPA中位數(shù)相差一分會(huì)導(dǎo)致薪水增加24 8%o (iv)應(yīng)該進(jìn)入一個(gè)排名更高的法學(xué)院。 排名相差20位的價(jià)值為：100x00033x20= 6^oo 4?

49、下面這個(gè)模型是Biddle and Hamennesh (1990)所用多元回歸模型的-個(gè)簡(jiǎn)化版本，原模型研究睡眠時(shí) 間和工作時(shí)間之間的取舍，并考察影響睡眠的其他因素： sleep = Pq + Atotwrk + /^educ + /^age+u 其中，sleep和totwrk都以分鐘/周為單位，而educ和age則以年為單位。(也町參見(jiàn)計(jì)算機(jī)習(xí)題C2.3。) (I) 如果成年人為工作而放棄睡眠，介的符號(hào)是什么？ (II) 你認(rèn)為易和爲(wèi)的符號(hào)應(yīng)該是什么？ (in)利用SLEEP75RAW中的數(shù)據(jù)，估計(jì)出來(lái)的方程是 sleep = 3638.25—0 148totwrk-l 1 1

50、3educ + 2 20age n = 706 ,R3=0 113 如果有人一周多工作5個(gè)小時(shí)，預(yù)計(jì)sleep會(huì)減少多少分鐘？這是一個(gè)很人的舍棄嗎？ (IV) 討論educ的估計(jì)系數(shù)的符號(hào)和大小。 (v)你能說(shuō)totwrk，educ和age解釋了 sleep的大部分變異嗎？還有什么英他因素可能影響花在睡眠上的時(shí) 間？它們與totwrk nf能相關(guān)嗎？ 答：(1)A的符號(hào)應(yīng)該為負(fù)。 (11)屁的符號(hào)?不明確。一些人認(rèn)為更高教育水平的人想獲得更多，其他條件相同的情況下，他們休息的較 少，此時(shí)爲(wèi)<0。睡眠與年齡之間的關(guān)系比模型描述的更為復(fù)雜，經(jīng)濟(jì)學(xué)家不能很好的判斷這件事情。 (in)因

51、為totwrk都以分鐘/周為單位，因此將時(shí)轉(zhuǎn)化為分可得，Atotwrk=5x60 = 300o預(yù)計(jì)睡眠將會(huì)下降 0148x300=444 (分)。對(duì)一周而言，這并不是一個(gè)很大的舍棄。 (iv) 受教育年限educ越多暗示著預(yù)計(jì)睡眠時(shí)間越少，但是這種影響是很小的。假設(shè)在其他條件不變的情況 下，大學(xué)和高中的區(qū)別是四年間大學(xué)學(xué)生每周睡眠時(shí)間少休息45分鐘。 (v) 不能，totwrk、educ和age只解釋了 11 3%的sleep的變異。一個(gè)包含在誤差項(xiàng)中的重要因素是總體ft! 康狀況。另一個(gè)重要因索是婚姻狀況，以及是否有孩子。健康、婚姻狀況、孩子的數(shù)量和年齡與totv/rk是相關(guān)的。 5.

52、 考慮含有三個(gè)自變量的多元回歸模型，并滿足假定MLR1?MLR4, y=+u 你對(duì)估計(jì)珂和％的參數(shù)Z利感興趣；把這個(gè)和記為q = (I) 證明a = 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。 (II) 求出用 V ar(A)> Var(A)和 Corr 仏，矗)表示的 V ar(&)。 答：(1) e(4)=e(A+A)=e(A)+e(A)=a+a = ^- (11) Var(4) = Var(4 + A) 6. 在一項(xiàng)調(diào)査大學(xué)GPA與在各種活動(dòng)中折耗費(fèi)時(shí)間之關(guān)系的研究中，你對(duì)幾個(gè)學(xué)生分發(fā)了調(diào)査問(wèn)卷。學(xué)生 被問(wèn)到，他們每周在學(xué)習(xí)、睡覺(jué)、工作和閑暇這四種活動(dòng)中各花多少小時(shí)。任何活動(dòng)都被列為這四種活動(dòng)之一

53、, 所以對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這四個(gè)活動(dòng)的小時(shí)數(shù)之和都是16& (I) 在模型 GPA= A+Astudy+Asleep+Awork+Aleisure+u 中，保持sleep , work和leisure不變而改變study是否有意義？ (II) 解釋為什么這個(gè)模型違背了假定MLR 3。 (in)你如何才能將這個(gè)模型重新表述，使得它的參數(shù)具冇一個(gè)有用的解釋，而又不違背假定MLR 3。 答：(I)沒(méi)有意義。因?yàn)樗姆N活動(dòng)的總時(shí)間固定為168小時(shí)，其他三種不變，貝'J study時(shí)間也不會(huì)改變。 (11)從(1)町矢II，study是其他三種活動(dòng)的線性函數(shù)：study = 168-sleep

54、-work-leisure。這種關(guān)系對(duì)F每 一個(gè)觀測(cè)值都成立，因此違背了 MLR 3。 (皿)應(yīng)該去掉一個(gè)解釋變量leisure,模型變?yōu)椋? GPA= A + Astudy +爲(wèi) sleep +屁 work+u 0i是study的參數(shù)，當(dāng)其他條件不變的情況卜，study每增加一小時(shí)，GPA增加煜。但是如果學(xué)習(xí)時(shí)間增加 一小時(shí)，leisure吋間必須減少一小時(shí)。It他參數(shù)解釋與此類似。 7. 假設(shè)制造業(yè)中毎個(gè)工人的平均生產(chǎn)力（avgprod ）取決于培訓(xùn)的平均小時(shí)數(shù)（avglram ）和工人的平均能 力（avgabil ）兩個(gè)因素： avgprod =幾 +X^avgtrain +

55、 /3j avgabil +u 假設(shè)這個(gè)方程滿足高斯■馬爾町夫假定。如果將培訓(xùn)津貼給了那些工人能力校差的企業(yè)，以致avgtrain和avgebil呈 負(fù)相關(guān)，那么，將avgprod對(duì)avgtrain進(jìn)行簡(jiǎn)單回歸所得到的厶町能出現(xiàn)什么樣的偏誤？ 答：利用表3-2o因?yàn)?>0,且Corr（x^ , x2） <0 <>因此A存在一個(gè)向卜的偏誤，即A： E（y^） < A °簡(jiǎn)單回 歸估計(jì)低估了培訓(xùn)時(shí)間的影響。即使A>0, E（3）也可能是負(fù)的。 8. 下面哪些因素會(huì)導(dǎo)致0LS估計(jì)量出現(xiàn)偏誤？ （I） 異方差性。 （II） 遺漏一個(gè)重要變量。 （in）模型中同時(shí)包含的兩個(gè)自變屋之間的樣本相

56、關(guān)系數(shù)達(dá)到0.95. 答：只有（11）才會(huì)導(dǎo)致OLS出現(xiàn)偏誤，且所遺漏的變量必須與模型中包含的變量是相關(guān)的。同方差性假設(shè) 并不影響OLS估計(jì)最的無(wú)偏性，僅影響估計(jì)帚:的方差。樣本解釋變最之間共線性的程度并不影響高斯■馬爾科夫 假定。只有當(dāng)自變量之間完全共線時(shí)，才會(huì)違背MLR 3。 9. 假設(shè)你對(duì)估計(jì)其他條件不變情況卞y和西之間的關(guān)系感興趣。為此，你可以搜集兩個(gè)控制變最冷和西的 數(shù)據(jù)。（為貞?實(shí)起見(jiàn)，你町以想象y為期末考試分?jǐn)?shù)，珂為到課率.?為匕學(xué)期之前的GPA，虧為跑或ACT分 數(shù)。）令A(yù)農(nóng)示y列嗎進(jìn)行簡(jiǎn)單回歸的系數(shù)估計(jì)值，而入為y對(duì)坷，虧，虧進(jìn)行多元回歸的斜率估計(jì)值。 （I） 若樣本中

57、為與乃和X3高度相關(guān)，且乃和X3對(duì)y具有很大的偏效應(yīng)，預(yù)計(jì)介和A是十分類似還是十分不 同？請(qǐng)解釋。 （II） 若西與％和屯幾乎無(wú)關(guān)但冷和為高度相關(guān)，預(yù)計(jì)厶和人是十分類似還是十分不同？請(qǐng)解釋。 （in）若樣本中珂與可和xj高度相關(guān)，且冷和冷對(duì)y具有很小的偏效應(yīng)，預(yù)計(jì)se（即和se（引哪個(gè)更?。?請(qǐng)解釋。 （IV）若可與X?和可幾乎無(wú)關(guān),虧和虧對(duì)y具有很大的偏效應(yīng)，并且虧與號(hào)高度相關(guān),預(yù)計(jì)se（A）和se（A） 哪個(gè)更?。空?qǐng)解釋。 答：（I）因?yàn)殓媾c％和X3高度相關(guān)，后而的變量對(duì)y具有很人的偏效應(yīng)，簡(jiǎn)單和多元回歸中丙的系數(shù)十分 不同。由方程3 46以及對(duì)遺漏一個(gè)變量的討論可知，系數(shù)不相同是

58、直覺(jué)的結(jié)論。 （11）若可與虧和有幾乎無(wú)關(guān)但X?和％高度相關(guān)，預(yù)計(jì)爲(wèi)和人十分類似。因?yàn)榭膳c知和x,幾乎無(wú)關(guān)，則虧 和屯的相關(guān)程度對(duì)多元回歸中對(duì)X】的回歸估計(jì)沒(méi)冇近接的影響。 （in） se（A）更小。在本案例中，加入花和xj人幅度增加了習(xí)的系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，因此se（A）vse（A）。 （iv） se（A）更小。在模型中加入工2和屯將會(huì)減少殘羞，而不導(dǎo)致多重共線性.因此町得se（A）>se（A）o x2 和x3的柑關(guān)關(guān)系并不影響se（A）o 假設(shè)決定y的總體模型是y = A+A^+Ax2+^x3+u ,而這個(gè)模型滿足假定MLR 1?MLR 4。但我們估 計(jì)了漏掉旳的模型。令亦 3和

59、屈為y對(duì)X?利冷回歸的ols估計(jì)量。(給定樣本中自變最的值)證明&的期望 值是 E(旳二0|+03 M A / =] 其屮匚是壬對(duì)X?回歸所得到的OLS殘差。［提示：A的公式來(lái)口方程(3.22)o將y嚴(yán)A+A噸+ A牝+ZU3+S 代入這個(gè)方程。經(jīng)過(guò)-些計(jì)算之后，將氐和珀視為非隨機(jī)量而取期望。］ Z^iYi 答：由公式3.22 nf得：直=— 氣一。代入真實(shí)的模型町得: 1*1 唇討訃+皆軌+UJ n 口: U1 因?yàn)檎?, &1電", U1 1-1 子簡(jiǎn)化為 = * 41是抵對(duì)氐回歸的殘差，右有零均值，且與心無(wú)關(guān)。因

60、此分 1-4 U1 i-l 1-1 i-l 將分子代入原式得: 左弧 3M+爲(wèi) 一+弓一 1^1 1-1 山丁?隨機(jī)誤差項(xiàng)的均值為6因此 e(A)胡+爲(wèi)一 i-i 10. 卜面這個(gè)方程把一個(gè)社區(qū)住房的中間價(jià)格表示成污染水平(用nox表示氧化亞氮)和社區(qū)中每套住房平 均房間數(shù)量(woms)之間的關(guān)系： log (price)=幾 + /^log(nox) +/grooms+u (i)屁和爲(wèi)的符號(hào)可能是什么?對(duì)A有何解釋？請(qǐng)加以說(shuō)明。 (11)為什么nox ［或更準(zhǔn)確地說(shuō)，J^log(nox)］ *j rooms nf能負(fù)相關(guān)？如果是這樣，將log(price)對(duì)log(

61、nox)進(jìn) 行簡(jiǎn)單回歸得到A的偏誤估計(jì)最是偏高還是偏低？ (ill)利用HPRICE2.RAW中的數(shù)據(jù)，估計(jì)出如卜?方程： log (price) =11 71-1 0431ogl nox) n = 506 ,R3 = 0 264 log(price) = 9 23-0 7181og(aox) + 0 306rooms n = 506 ,R3= 0.514 根據(jù)你在第(ii)部分的回答，就p門ce對(duì)nox的彈性估計(jì)值而言，上述簡(jiǎn)單回歸結(jié)果和多元回歸結(jié)果之間的關(guān)系與你的預(yù)期一致嗎？這個(gè)結(jié)果是否意味著-0718比-1 043更加接近真實(shí)彈性？ 答：（I）A <0,更高的污染水平導(dǎo)致預(yù)計(jì)

62、房屋價(jià)格更低。介表示房屋價(jià)格的污染彈性，即污染水平上升1%， 則房屋價(jià)格下降 對(duì)>0,每套住房平均房間數(shù)最越多，說(shuō)明房屋面枳越大，則房用價(jià)格越高。 （11）假設(shè)平均房間數(shù)屋隨著房屋質(zhì)量的提高而增長(zhǎng)，log（nox）與rooms町能負(fù)相關(guān)，因?yàn)閷?shí)際上貧窮的社 區(qū)污染水平更高。利用表3 2 nf判斷偏課的方向，如果對(duì)>0且Corr（x】f ）<0,簡(jiǎn)單回歸估計(jì)得到的0】有一個(gè) 向卜的偏誤。當(dāng)A<0,意味著在同樣的回歸中，平均污染水平的作用0】被高估了。 （in）上述簡(jiǎn)單回歸結(jié)果和多元回歸結(jié)果之間的關(guān)系與預(yù)期-?致。簡(jiǎn)單回歸估計(jì)的結(jié)果-1 043小于多元回歸 的結(jié)果-0718。如果這些估計(jì)只是

63、對(duì)于一個(gè)樣本而言，那么就不能判斷哪一個(gè)更接近A，但如果這是一個(gè)典型的 樣本，則-0 718更接近真實(shí)的A。 11. （1）在前4個(gè)高斯■馬爾町夫假定之卜?，考慮簡(jiǎn)單回歸模型廠并+爐+“對(duì)某個(gè)函數(shù)g（z）,比如g（x） = F 或g（x） = log（l + x2） o定義勺=g（xj定義-個(gè)斜率佔(zhàn)計(jì)量為 證明0】是線性無(wú)偏的。記住，在你的推導(dǎo)過(guò)程中，因?yàn)镋（u|x）=0,所以你可以把兀和4都看成非隨機(jī)的。 （11）增加同方差假定MLR 5,證明 Var(A) = n -12 IZ, 一 Z I 兀 （山）在高斯■馬爾町夫假定卜，直接證明Var（A）SVa

64、r（0j,其中A是OLS估計(jì)量。［提示：附錄8中的柯 西■施瓦茲不等式意味著 n吃（—）（兀-刃S n吃（勺一才卜■吭（兀一郢 i-4 」L>?1 」L*-1 」 注總，我們町以將：從樣本協(xié)方差中去掉。 證明：（I）記$次=乞（2-可A，這不完全是Z和X樣本協(xié)方差，因?yàn)椴](méi)有除以n-1.但為了簡(jiǎn)化計(jì)算而使 用它。由此可知： 另（耐可％ 碁 s? 這是一個(gè)％的線性函數(shù)，設(shè)權(quán)重為幽=彷-可/S"為了表示無(wú)偏性，將y產(chǎn)A+dq+g加入該方程可得: 另億-乏）（人+朋+3）人另億-可+乩+另厲一可円 另億-可％ 因?yàn)閆（Zx-z）=O, 是z,、兀和預(yù)計(jì)期望值的函數(shù).對(duì)于

65、所有的I,都有E（uJ = 0。因此可得: Z(zi-Z)E(U1) E(A)=A+- = A Var(ux) （11）據(jù)（i）可得:Var（0j= ［族-呵心1/ ［族呵 兩邊乘以幾可得Var（A）

66、銷售稅稅收收益的比例。所令這些變量都以1980年的貨幣度量。遺漏的比例 sharep包括收費(fèi)和雜項(xiàng)稅收。根據(jù)定義，這四個(gè)比例之和為1。其他因素將邊括燉教冇、基礎(chǔ)設(shè)施等支出（均以 1980年貨幣度量）。 （I） 我們?yōu)槭裁幢仨殢姆匠讨惺÷砸粋€(gè)稅收比例變最？ （II） 對(duì)A給出一個(gè)仔細(xì)的解釋。 答：（1）四種稅收的比例Z和為1，如果不省略?種稅收的比例，方程就會(huì)遭遇完全共線性。參數(shù)不存在“其 他條件不變”的情況，也就是說(shuō)，只改變一種稅收的比例不可能維持所有其他的變量保持不變。 （11）因?yàn)槊恳环N稅收分擔(dān)一個(gè)比例（最大為1，此時(shí)其他稅收所占份額為0）,因此增加1單位的財(cái)產(chǎn)稅收 益比例sharep是無(wú)意義的。如果sharep Jf?加1%,保持其他因素不變的情況下，growth卜?降0"。 二、計(jì)算機(jī)習(xí)題 1. 衛(wèi)生官員（和其他人）所關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題是，孕婦在懷孕期間抽煙對(duì)嬰兒健康的影響。對(duì)嬰兒健康的度 屋方法之-是嬰兒出生時(shí)的體重：過(guò)低的出生體重會(huì)使嬰兒有感染各種疾病的危險(xiǎn)。由于除了抽煙之外，其他影 響嬰兒出生體重的因素町能與抽煙相關(guān)，所以我們應(yīng)該考慮這些因素。比如，高收入通常會(huì)使