數(shù)學題型題型七 幾何圖形的相關證明及計算 類型七 直角三角形中的輔助線

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1、例例 7 如圖，已知正方形如圖，已知正方形ABCD，點，點E是是BC上一點，點上一點，點F是是CD延長線上一點，連接延長線上一點，連接EF，若，若BEDF，點，點P是是EF的中點的中點(1)求證：求證：DP平分平分ADC；(2)若若CEF75，CF1 ，求，求AEF的面積的面積3(1)【思維教練思維教練】要證要證DP平分平分ADC，可考慮證明，可考慮證明ADP、CDP所在的兩三角形全等，連接所在的兩三角形全等，連接PC，構造，構造CPD，由直角，由直角三角斜邊中線性質(zhì)證明三角斜邊中線性質(zhì)證明APCP，再結(jié)合正方形性質(zhì)，可證，再結(jié)合正方形性質(zhì)，可證APDCPD.【自主作答自主作答】 (1)證明：

2、如解圖，連接證明：如解圖，連接PC.四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，ABEADF90，ABAD，又又BEDF，ABE ADF(SAS)BAEDAF，AEAF，EAFBAD90，P是是EF的中點，的中點，PA EF，PC EF，PAPC，APDCPD(SSS)ADPCDP，即，即DP平分平分ADC；1212(2)【思維教練思維教練】CEF75，AEF為等腰直角三角形，可為等腰直角三角形，可得得AEB60，已知，已知CF，則，則ABBE長度已知，在長度已知，在RtABE中，可設中，可設BE的長，表示出的長，表示出AB，進而表示出，進而表示出ABBE，由，由(1)的的結(jié)論求出結(jié)論求出BE，進

3、而可求得各邊長度根據(jù)三角形面積公式可，進而可求得各邊長度根據(jù)三角形面積公式可求求SAEF.【自主作答自主作答】(2)解：由解：由(1)知知EAF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AEF45，AEB180457560，設設BEx，AB x，CFCDDFABBE( 1)x 1.解得解得x1，BE1，AB ，AE2，則，則AP ，EF2 ，SAEF EFAP 2 2.1212322333322遇到直角時可作斜邊上的中線或加倍一直角邊，從而可得到等腰遇到直角時可作斜邊上的中線或加倍一直角邊，從而可得到等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題方方 法法點點撥撥