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1、學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)直線直線投影的基本知識投影的基本知識。本章學(xué)習(xí)目標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）直線的投影及分類直線的投影及分類（2）兩直線的相對位置）兩直線的相對位置（3）直線的輔助投影）直線的輔助投影本章學(xué)習(xí)內(nèi)容本章學(xué)習(xí)內(nèi)容5.直線直線的投影的投影直線的投影特性5.1兩直線的相對位置5.2直線的輔助投影5.3 直線的投影一般仍為直線。直線由兩點確定，直線的投影一般仍為直線。直線由兩點確定，其投影由直線上任意兩點的同面投影連線來確定。其投影由直線上任意兩點的同面投影連線來確定。直線相對于投影面的位置有三種情況直線相對于投影面的位置有三種情況垂直于投影面；垂直于投影面；投影積聚為一點；投影積聚為一點；投影面垂直線
2、投影面垂直線直線平行于投影面；直線平行于投影面；投影反映線段實長；投影反映線段實長；投影面平行線投影面平行線直線傾斜于投影面；直線傾斜于投影面；投影比空間線段短；投影比空間線段短；一般位置直線一般位置直線 水平投影水平投影a(b)積聚成一點；積聚成一點； 正面投影正面投影abOX，側(cè)面投，側(cè)面投影影a”b” OYW，ab= a”b”=AB。 1.投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線垂直于垂直于H面，平行面，平行于于V、W面面 實長實長實長實長積聚積聚5.1 直線的投影特性直線的投影特性 正面投影正面投影a(b)積聚成一點；積聚成一點； 水平投影水平投影abOX，側(cè)面投影，側(cè)面投影a”b” OZ
3、，ab= a”b”=AB。1.投影面垂直線投影面垂直線正垂線正垂線垂直于垂直于V面，平行面，平行于于H、W面面 積聚積聚實長實長直線直線AB垂直于哪垂直于哪個投影面?zhèn)€投影面?實長實長 側(cè)面投影側(cè)面投影a”(b”)積聚成一點；積聚成一點； 水平投影水平投影abOYH，正面投影，正面投影ab OZ，ab= ab=AB。 1.投影面垂直線投影面垂直線側(cè)垂線側(cè)垂線垂直于垂直于W面，平面，平行于行于H、V面面 積聚積聚實長實長直線直線AB垂直于哪垂直于哪個投影面?zhèn)€投影面?實長實長名名稱稱鉛垂線鉛垂線(H面，V、W面)正垂線正垂線(V面，H、W面) 側(cè)垂線側(cè)垂線(W面，H、V面) 投投影影圖圖投投影影特特
4、性性1.水平投影a(b)積聚成一點；2.正面投影ab OX，側(cè)面投影a”b” OYW，ab= a”b”=AB。1.正面投影a(b)積聚成一點；2.水平投影ab OX，側(cè)面投影a”b” OZ，ab= a”b”=AB。 1.側(cè)面投影a”(b”)積聚成一點；2.水平投影ab OYH，正面投影ab OZ，ab= ab=AB 投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性2.投影面平行線投影面平行線水平線水平線 水平投影水平投影ab=AB； 正面投影正面投影ab OX，側(cè)面投影，側(cè)面投影a”b” OYW，都不反映實長；，都不反映實長； ab與與OX夾角反映夾角反映實際大小，實際大小，ab與與OYH夾角反映
5、夾角反映實際大小。實際大小。 實長實長平行于平行于H面，對面，對V、W面傾斜面傾斜 2.投影面平行線投影面平行線正平線正平線 正面投影正面投影ab=AB； 水平投影水平投影ab OX，側(cè)面投影，側(cè)面投影a”b” OZ，都不反映實長；，都不反映實長； ab與與OX夾角反映夾角反映實際大小，實際大小，ab與與OZ夾角反映夾角反映實際大小。實際大小。 實長實長平行于平行于V面，對面，對H、W面傾斜面傾斜 2.投影面平行線投影面平行線側(cè)平線側(cè)平線平行于平行于W面，對面，對H、V面傾斜面傾斜 側(cè)面投影側(cè)面投影a”b”=AB； 水平投影水平投影ab OYH，正面投影，正面投影ab OZ，都不反映實長；，都
6、不反映實長； a”b”與與OYW夾角反映夾角反映實際大小，實際大小，a”b”與與OZ夾角反映夾角反映實際大小。實際大小。 實長實長直線直線AB與哪個投影與哪個投影面平行？面平行？名稱名稱水平線水平線( (H面，對面，對V、W面面傾斜傾斜)正平線正平線(V面，對面，對H、W面傾斜面傾斜)側(cè)平線側(cè)平線(W面，對面，對H、V面傾斜面傾斜)投投影影圖圖投投影影特特性性1.水平投影水平投影ab=AB；2.正面投影正面投影ab OX，側(cè)面，側(cè)面投影投影a”b” OYW，都不反，都不反映實長；映實長；3.ab與與OX夾角反映夾角反映實際大實際大小，小，ab與與OY夾角反映夾角反映實際實際大小。大小。1.正面
7、投影正面投影ab=AB；2.水平投影水平投影ab OX，側(cè)面，側(cè)面投影投影a”b” OZ，都不反，都不反映實長；映實長；3.ab與與OX夾角反映夾角反映實際實際大小，大小，ab與與OZ夾角反映夾角反映實際大小。實際大小。1.側(cè)面投影側(cè)面投影a”b”=AB；2.水平投影水平投影ab OYH，正，正面投影面投影ab OZ，都不，都不反映實長；反映實長；3.a”b”與與OYW夾角反映夾角反映實際大小，實際大小，a”b”與與OZ夾夾角反映角反映實際大小。實際大小。投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性3.一般位置直線一般位置直線為直線對為直線對H面的傾角，且面的傾角，且ab=Abcos； 為直線
8、對為直線對V面的傾角，且面的傾角，且ab=Abcos； 為直線對為直線對W面的傾角，且面的傾角，且a”b”=Abcos。 一般位置直線一般位置直線對對三個投影面都傾斜三個投影面都傾斜 過點過點A作作AB0 ab，則，則ABB0為為直角三角形；直角三角形； AB0=ab， BB0=ZbZa，即即A、B兩點兩點Z坐標(biāo)之差。坐標(biāo)之差。 AB實長實長與與H面夾角面夾角3.一般位置直線一般位置直線直角三角形法直角三角形法思考思考：如何求直線與正面夾角：如何求直線與正面夾角 及與側(cè)面夾角及與側(cè)面夾角 的實大；的實大； 例例5-1 已知直線已知直線AB的水平投影及直線對的水平投影及直線對H 面的傾角面的傾角
9、 =30，點，點A的正面投影的正面投影a，求，求AB的正面投影和實長。的正面投影和實長。 (1) 在水平投影上，過點在水平投影上，過點b作作ab的垂線；的垂線；AB的實長的實長(2) 以以 =30作直角三角形作直角三角形abB0 ； (3) 根據(jù)根據(jù)bB0和點的投影規(guī)律可和點的投影規(guī)律可求得求得b1b2，連接連接ab1， a b2即得直線即得直線AB的正面投影。的正面投影。 思考思考： 1.在上例中如何求線段在上例中如何求線段AB與正面的傾角與正面的傾角 ？ 2.在上例中求線段在上例中求線段AB與水平面傾角與水平面傾角 的作的作圖方法唯一嗎？圖方法唯一嗎？ 3. 試構(gòu)造一個形體，使形體上分別有
10、三種試構(gòu)造一個形體，使形體上分別有三種投影面平行線、三種投影面垂直線和一般位置直線，投影面平行線、三種投影面垂直線和一般位置直線，試畫出形體的軸測圖。試畫出形體的軸測圖。提示提示點在直線上，則點的投影必在直線的同面投影上。點在直線上，則點的投影必在直線的同面投影上。 4. 直線上的點直線上的點（1）屬于直線上的點）屬于直線上的點 反之，若點的投影在直線的反之，若點的投影在直線的同面投影上，則點必在直線上；同面投影上，則點必在直線上； 根據(jù)點在直線上這一屬性根據(jù)點在直線上這一屬性就可以就可以判斷點是否在直線上。判斷點是否在直線上。 點點C在直線在直線AB上上點點C、D不在直線不在直線AB上上ee
11、點分直線定比點分直線定比定理定理 直線上的點分直線為直線上的點分直線為定比定比，其，其點的點的投影投影分直線的投影為空間相同的比例。分直線的投影為空間相同的比例。 BC：CA= bc：ca= bc：ca（2）點分直線成定比）點分直線成定比例例5-2 2：已知點：已知點K在線段在線段AB上，求點上，求點K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（應(yīng)用第三投影）（應(yīng)用第三投影）解法二：解法二：（應(yīng)用定比定理）（應(yīng)用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk 思考思考： 1.如果在直線如果在直線AB上取一點上取一點C，使，使AC: CB1:2，點，點C的的投影如何求？投影如何求？ 2.如果
12、點如果點k屬于屬于ab，k” 屬于屬于a”b” ，點，點k是否就一定在是否就一定在直線直線AB上？上？5.2 兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。 當(dāng)兩直線平行則兩直線當(dāng)兩直線平行則兩直線同面投影同面投影均相互均相互平行；平行； 反之，若兩直線同面投影平行，則反之，若兩直線同面投影平行，則該兩直線平行。該兩直線平行。 直線直線ABCD 1.平行兩直線平行兩直線試判斷圖中試判斷圖中CD與與 AB是否平行？是否平行？ 但側(cè)面投影但側(cè)面投影a”b” 與與c”d ”相交相交。 AB 與與 CD不平行不平行 作出第三
13、面作出第三面投影來判斷。投影來判斷。 雖然雖然abcd，并，并且且abcd，思考思考：1） 在上例中，是否還可以采用其他方法來判別兩直線是否平行？在上例中，是否還可以采用其他方法來判別兩直線是否平行？ 2） 什么情況下，兩直線有兩個投影平行，即可判斷其第三個投什么情況下，兩直線有兩個投影平行，即可判斷其第三個投影也互相平行？影也互相平行？ 若兩直線相交，兩直線的同面投影也相交，若兩直線相交，兩直線的同面投影也相交， 且交點符合點的投影規(guī)律。且交點符合點的投影規(guī)律。 交點連線kkOX軸 2.相交兩直線相交兩直線空間兩直線既不平行也不相交，稱該兩直線為空間兩直線既不平行也不相交，稱該兩直線為交叉兩
14、直線，交叉兩直線， 交叉兩直線的同面投影可能相交，交叉兩直線的同面投影可能相交， 但其交點并不是空間交點的投影，而是但其交點并不是空間交點的投影，而是重影點。重影點。 3.交叉兩直線交叉兩直線直線直線AB和和CD是否相交是否相交? “交點交點”不符合點的投影規(guī)律，兩直線不符合點的投影規(guī)律，兩直線不相交。不相交。思考思考：如果兩直線的三個投影都相交，是否空間也一定相交？：如果兩直線的三個投影都相交，是否空間也一定相交？ 例例5-3 判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直線，對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就相平行，空間兩直
15、線就平行。平行。AB與與CD平行。平行。AB與與CD不平行。不平行。 對于特殊位置直線，對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 例例5-4：給出三棱錐的：給出三棱錐的H、V面投影，試判斷兩條面投影，試判斷兩條交叉直線交叉直線BC和和AD的可見性。的可見性。 1點在上，點在上，2點在下點在下3點在前，點在前，4點在后點在后4. 兩直線的夾角兩直線的夾角兩直線的夾角，其投影有下面三種情況兩直線的夾角，其投影有下面三種情況：(1) 當(dāng)兩直線都平行于某投
16、影面時，其夾角在該當(dāng)兩直線都平行于某投影面時，其夾角在該投影面上的投影反映實形。投影面上的投影反映實形。(2) 當(dāng)兩直線都不平行于某投影面時，其夾角在當(dāng)兩直線都不平行于某投影面時，其夾角在該投影面上的投影一般不反映實形。該投影面上的投影一般不反映實形。(3) 當(dāng)兩直線中有一直線平行于某投影面（另一當(dāng)兩直線中有一直線平行于某投影面（另一邊不垂直于該投影面）時，如果夾角是直角，則邊不垂直于該投影面）時，如果夾角是直角，則它在該投影面上的投影仍然是直角。它在該投影面上的投影仍然是直角。直角投影定理直角投影定理 互相互相垂直垂直的兩直線，的兩直線， 如果其中一條線如果其中一條線平行平行于某一投影面時，
17、于某一投影面時， 兩直線在該投影面上的投影也兩直線在該投影面上的投影也相互垂直。相互垂直。 ABBC DEEF BCH面且面且abbcDEV面且面且deef例例5-5 已知直線已知直線AB為正平線，且直線為正平線，且直線AC垂直于直線垂直于直線AB，求作直線求作直線AC的兩面投影。的兩面投影。 (1) 作作abac；(2) 由由c作作OX軸的垂線；軸的垂線； (3) 連接連接ac。 此題有多少個解？此題有多少個解？無數(shù)解無數(shù)解例例5-6 求點求點A到直線到直線BC的距離。的距離。 (1) 由點由點a作作bc的的垂線垂線ad，交，交bc于點于點d ；(2) 由點由點d作作OX軸的垂線，軸的垂線，
18、交交b c于于點點 d；連接連接ad；(3) 運(yùn)用直角三角形法，求運(yùn)用直角三角形法，求出出AD的實長。的實長。 距離距離分析題圖可知，分析題圖可知，BC為水平線為水平線 5.3 5.3 直線的直線的輔助投影輔助投影 一一般位置直線的實長及其對投影面的傾角除采般位置直線的實長及其對投影面的傾角除采用直角三角形法外，還可以采用用直角三角形法外，還可以采用輔助投影法輔助投影法。實長實長直線對直線對H面面的傾角的傾角1、直線的一次變換、直線的一次變換（1）一般位置直線可以變?yōu)椋┮话阄恢弥本€可以變?yōu)橥队懊娴钠叫芯€投影面的平行線（2）投影面平行線可以變?yōu)椋┩队懊嫫叫芯€可以變?yōu)樾滦峦队懊娴拇怪本€投影面的垂直
19、線正平線正平線 變換哪一個投影面？變換哪一個投影面？將將一般位置直線一般位置直線變?yōu)橥队懊娴淖優(yōu)橥队懊娴拇怪本€垂直線，需經(jīng)過，需經(jīng)過兩次換面兩次換面 2、一般位置直線的兩次變換、一般位置直線的兩次變換例例5-7 已知點已知點M到直線到直線AB的距離為的距離為15和點和點M的水平的水平投影投影m，求點，求點M的正面投影。的正面投影。 (1) 直線直線AB經(jīng)經(jīng)一次換面一次換面變變成投影面平行線成投影面平行線a1b1 解題步驟：解題步驟：(2) 直線直線AB經(jīng)經(jīng)第二次換面第二次換面變成投影面垂直線變成投影面垂直線(a2)b2 (3) 根據(jù)已知條件求出根據(jù)已知條件求出m 211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b 例例5-8 求兩直線求兩直線AB與與CD的公垂線的公垂線 。 acdabcdXVH例例5-9 求平面求平面ABC與平面與平面ABD夾角的實際大小。夾角的實際大小。 兩三角形有一兩三角形有一公共邊公共邊AB，只要把直線，只要把直線AB變換為投影面的變換為投影面的垂直線即可得夾角的實際大小垂直線即可得夾角的實際大小 兩次換面兩次換面，第一次變換使直線，第一次變換使直線AB為為投影面平行線，第二次變換使直線投影面平行線，第二次變換使直線AB為投影面垂直線為投影面垂直線 兩平面的兩平面的夾角夾角返回返回
工程制圖：5 直線的投影
