【試卷】選擇性必修第二冊(cè) 第4章（3）等差、等比數(shù)列 能力提升卷

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1、絕密★啟用前 等差、等比數(shù)列能力提升復(fù)習(xí) 范圍：選擇性必修二數(shù)列 第I卷（選擇題） 一、單選題 1. 等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足即75=4（%-1）,且％, % + 1, %成等差數(shù)列，則該數(shù)列公 比0為（） A. — B. C. 4 D. 2 2 2 2. 設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,.若％=-11,%+%=一6，則當(dāng)S,取最小值時(shí)， n等于（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知等差數(shù)列｛%｝,巧=1, %=3,則數(shù)列J—!— 的前10項(xiàng)和為（） ,10 n 9 八 9 n 11 A. — B. — C. — D.— 11 11 10 10

2、4. 某個(gè)蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飛出去帶回了五個(gè)伙伴，第二天六只蜜蜂飛出去 各自帶回五個(gè)伙伴，如果這個(gè)過(guò)程繼續(xù)下去，那么第六天所有的蜜蜂歸巢后蜂巢中共有 蜜蜂的數(shù)量是（） A. 5（'只 B. 6,只 C. 5,只 D. 66只 5. 己知數(shù)列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...,即此數(shù)列第一項(xiàng)是2°，接下來(lái)兩項(xiàng) 是2°2,再接下來(lái)三項(xiàng)是2°,2）22,依此類(lèi)推，......，設(shè)S,是此數(shù)列的前〃項(xiàng)的和, 則 $2017=（） A. 2M -26 o63 — o6 D. 263 - 25 6. 等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S,*且滿(mǎn)

3、足2S3=a3+a7=18，則a,=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為&,若$3=9, $6=36,則禹=() A, 63 B. 45 C. 43 D. 81 8. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為既，若峋=虬 嗓芹噸=家則當(dāng)'筑.■取最大值輜等于 () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多選題 9. 在等差數(shù)列｛為｝中，公差前〃項(xiàng)和為S”，則() A. a4a6 > B. S13 > 0 , S14 < 0 ,則 |?7|>|^| C.若S9=SI5,則，中的最大值是§2 D.若Sn=n2-n + ar則a = 0 1(

4、).計(jì)算機(jī)病毒危害很大，一直是計(jì)算機(jī)學(xué)家研究的對(duì)象.當(dāng)計(jì)算機(jī)內(nèi)某文件被病毒感 染后，該病毒文件就不斷地感染其他未被感染文件.計(jì)算機(jī)學(xué)家們研究的?個(gè)數(shù)字為計(jì) 算機(jī)病毒傳染指數(shù)C。，即一個(gè)病毒文件在一分鐘內(nèi)平均所傳染的文件數(shù)，某計(jì)算機(jī)病毒 的傳染指數(shù)C。=2,若一臺(tái)計(jì)算機(jī)有IO,個(gè)可能被感染的文件，如果該臺(tái)計(jì)算機(jī)有一半以 上文件被感染，則該計(jì)算機(jī)將處于攤疾狀態(tài).該計(jì)算機(jī)現(xiàn)只有-個(gè)病毒文件，如果未經(jīng) 防毒和殺毒處理，則下列說(shuō)法中正確的是( ) A. 在第3分鐘內(nèi)，該計(jì)算機(jī)新感染了 18個(gè)文件 B. 經(jīng)過(guò)5分鐘，該計(jì)算機(jī)共有243個(gè)病毒文件 C. 10分鐘后，該計(jì)算機(jī)處于癱瘓狀態(tài)

5、D. 該計(jì)算機(jī)癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為2的等比數(shù)列 第II卷(非選擇題) 三、 填空題 11. 已知4, "3,25成等差數(shù)列，4, c , d , 25成等比數(shù)列，則a + b + cd= . 12. 設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足S2017 >0, S2O18 <0對(duì)任意 都有|??|>|^,|,則〃7的值為 . 13. 己知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=2, 〃《+[-(〃 + 1)弓=2(疽+〃)，若勿=2同，貝IJ ｛如｝ 的前〃項(xiàng)和&= . 14. 己知等比數(shù)列｛'｝的前〃項(xiàng)和為S”，且。2%+%=°，，3=-1,貝ij《= . 四、 解答題 15

6、. 已知數(shù)列｛《,｝中，％=1, 4襯=一%. 4十， (1) 求。2, %； (2) 求證是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式； (3) 數(shù)列｛如｝滿(mǎn)足如=(3"-1)*皿，數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為L(zhǎng)，若不等式 (—1)7 < L +法對(duì)一切〃 g N"恒成立，求A的取值范圍. 16. 已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％, %，4成等比數(shù)列，任=3：數(shù)列｛如｝ 滿(mǎn)足 bn-bn_x =??_! (n>2), h｝ = a.. (1) 求數(shù)列｛%｝, ｛"｝的通項(xiàng)公式; （2）記弓，=薩可’求數(shù)列｛】｝的前〃項(xiàng)和 17. 己知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4 =：,%] =3% -1（〃6

7、N，）. （1） 若數(shù)列｛如｝滿(mǎn)足如=%—：，求證：｛如｝是等比數(shù)列； （2） 求數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和S” 18. 己知遞增的等差數(shù)列｛?｝的首項(xiàng)％=1,且為、勾、印成等比數(shù)列. （1） 求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式4； （2） 設(shè)數(shù)列｛%｝對(duì)任意n"，都有3 +務(wù)+?.?+ 3 =《-|成立，求 q +

8、13. 4 14. (一1)” 15. (1) 1 CI-,=—, 一 4 見(jiàn)解析，％ 3，，_i (3) -2

9、1 由“r得蔚十小廠即》+次 3 是尊是為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列. 所以 a ⑶如=（3“T）$ ￡，=1耳 + 2、｝ + 3、, + ... + (〃一1)、土 + 〃、我 兀，1 c 1 , 1 1 項(xiàng)= g + 2x芬+ ??? +(〃T)x^7T +心礦 兩式相減得* =玄+ $ + 土 + ... + 我-心+ = 2一^^^, L=4一笑，所以(_1)豚<4—嘉. 令/(〃) = 4 — e(〃eN“)，易知/(〃)單調(diào)遞增， 2 若〃為偶數(shù)，則2<4-—

10、-2. 所以-2<2<3. 【點(diǎn)睛】 本題考查了遞推公式的應(yīng)用、等比數(shù)列的證明、數(shù)列通項(xiàng)的求解、錯(cuò)位相減求數(shù)列前〃項(xiàng)和， 考查了恒成立問(wèn)題的處理方法和分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題. 16. ⑴ a.=n,b,, = 〃 一； + 2. (ii) Tn =~^- 試題分析:(1)第(1)問(wèn)，先直接利用己知求出d = 1,% = 1,得到數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式％ = 再利用累加法求出數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式.⑵第(2)問(wèn)，利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列｛烏｝的前〃項(xiàng) 和 試題解析：(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d則：向2 =%/,(% +d)2 =%(% +3d), = d ,又 a i = 3 +

11、2d = 3d = 3d = 1, q = 1, an=a)4- (n-1 )-d=n. b\ = % .?. b[ =1,?.?如一々i =%_i =〃T 二當(dāng)〃 22 時(shí) 如=（如一勿-1 ） + （如一如2） + （如一2 -如3） + + （" -4） + （?2 -4） + 4 2 =（〃一 1） +（〃一2）+ （〃一3）+ +2+1= ~ , 又b、=1 滿(mǎn)足上式 , n2 -n +2 ，?'? b〃 = ? 〃 2 （II） c — — — — 2 、〃 +1 〃 + 2 〃 + 2 〃 + 2 “bn + 2n 疽+3〃+ 2 （〃 +1）（〃+

12、2） 17. (1)見(jiàn)解析；(2) S“ = 3 " 2 【解析】 試題分析：(I)通過(guò)恒等變形，得到％廠! = 3(4一!)即如h=3如，結(jié)論得證; (2)由(I)可得f/N=3,,-,+-,分成一個(gè)等比數(shù)列，一個(gè)常數(shù)列求和即可. 2 試題解析：⑴ 由題可知。由一! = 3(%-：)(〃€/),從而有bl)+l = 3b)t, b, =?.-! = !,所以｛勿｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列. (2)由⑴知bn = 3n-',從而?n=3n-,+^, 有 Sq + L + 3 + ! + ...3”T+4 = 3〃+〃T " 2 2 2 2 點(diǎn)晴：本題考查的是數(shù)

13、列中的遞推關(guān)系和數(shù)列求和問(wèn)題.第一問(wèn)中關(guān)鍵是根據(jù)=3%-1 得到"z 一! = 3(%一?)，即b心=3如證得｛如｝是等比數(shù)列;第二問(wèn)中的通項(xiàng)由 (1) 知勿=3心，從而4=3心+：, %=3心+：，比較明顯地可以分成一個(gè)等比數(shù)列， 匕 ￡ 一個(gè)常數(shù)列求和即可. 18. (1) % =〃(>"*)； (2) 220'3；(3)見(jiàn)解析. 【分析】 (2) 根據(jù)a]=aca,解出公差，即可得到通項(xiàng)公式； (2) 當(dāng)〃22時(shí)，由3 +多+ — + 3 = 〃 + 1①，及3 + |i +』? + |^ = 〃②，兩式作差 求出cn=2nt即可求解; (3) 通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式關(guān)系對(duì)

14、數(shù)列｛如｝中的任意一項(xiàng)bn=—,都存在blt+i 和 n ii + \ 吼“=〃:二:使得b“=M b*，即可得證? 【詳解】 (1)...｛%｝是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為"id > 0) ％、％、％成等比數(shù)列，~a\ , a4 由(l + d)2=?(l+3d)及 d>0 得 d = \ .?.atl = n(n e N*) (2)?.?。”] =〃 + l, 3 +瑟+?一 +蕓=〃 + 1對(duì)〃eN“都成立 當(dāng)〃 =1 時(shí)，3 = 2得q=4 當(dāng)〃22時(shí),由歹斜..號(hào)=,E①,及粕 =〃② ①一②得* = 1，得& 4 (n = 1) T (n>

15、2) 2013 /.c1+c24--.. + c2012 =4 + 22 +23 + ... + 22012 =4+ 2 (1 ~2(ll) =2 1 — 2 (3)對(duì)于給定的ncN*，若存在k,5于UN*,使得bH=bk b, 互，只需土 = 蟲(chóng) 〃 n kt 即］+1 = (1 + -)-(1 + -),即- = - + - + — n k t n k t kt 即如=5 + 〃，/ =巫地 k-n 取 k = n+\，則 ￡ = n(n + 2) ???對(duì)數(shù)列也｝中的任意-毗=字‘都存在如=偌和％ =號(hào)* 使得如I*%/* 【點(diǎn)睛】 此題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，考查對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的理解認(rèn)識(shí)，證明相關(guān)結(jié)論.