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專題六 角恒等變換與解三角形
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
正、余弦定理的應(yīng)用T17
二倍角公式及余弦定理的應(yīng)用T6
二倍角公式T4
同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的正弦公式T15
三角形的面積公式及余弦定理T9
2017
正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式T17
余弦定理、三角恒等變換及三角形的面積公式T17
余弦定理、三角形的面積公式T17
2016
正、余弦定理、三角形面積公式、兩角和的正弦公式T17
誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、給值求值問題T9
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式T5
正弦定理的應(yīng)用、誘導(dǎo)公式T13
利用正、余弦定理解三角形T8
縱向把握趨勢(shì)
卷Ⅰ3年3考且均出現(xiàn)在解答題中的第17題，涉及正、余弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正、余弦公式，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以選擇題或填空題的形式考查正、余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換，難度適中
卷Ⅱ3年5考，既有選擇題、填空題，也有解答題，涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查正、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用
卷Ⅲ3年5考，既有選擇題，也有解答題，難度適中．涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面積公式等．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用
橫向把握重點(diǎn)
1.高考對(duì)此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)．
2.若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第4～9或第13～15題位置上．
3.若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等.
三角恒等變換
[題組全練]
1．(2018全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝.故選 B.
2．(2016全國卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選D 因?yàn)閏os＝，
所以sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
3．已知sin－cos α＝，則cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：選D 由sin－cos α＝，得sin α＋cos α－cos α＝sin α－cos α＝sin＝，所以cos＝1－2sin2＝1－＝.
4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，則tan(α＋β)＝( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：選A ∵sin β＝，且<β<π，
∴cos β＝－，tan β＝－.
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－sin α＋cos α＝cos α，
∴tan α＝－，∴tan(α＋β)＝＝－2.
5．已知A，B均為鈍角，sin2＋cos＝，且sin B＝，則A＋B＝( )
A. B.
C. D.
解析：選C 因?yàn)閟in2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因?yàn)锳為鈍角，
所以cos A＝－＝－＝－.
由sin B＝，且B為鈍角，
可得cos B＝－＝－
＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－
＝.
又A，B都為鈍角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，
故A＋B＝，選C.
[系統(tǒng)方法]
1．化簡求值的方法與思路
(1)方法：①采用“切化弦”“弦化切”來減少函數(shù)的種類，做到三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一；
②通過三角恒等變換，化繁為簡，便于化簡求值；
(2)基本思路：找差異，化同名(同角)，化簡求值．
2．解決條件求值問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角；
(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示；
(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小．
正弦定理、余弦定理的應(yīng)用
[多維例析]
角度一 利用正、余弦定理進(jìn)行邊、角計(jì)算
(1)(2018全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2018長春質(zhì)檢)已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c,2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是角A的平分線，D在BC上，則BD＝________.
[解析] (1)∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，
即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由正弦定理可得，2sin Asin B＝sin B，
可得sin A＝，因?yàn)?
1)m，AC＝t(t>0)m，
依題意得AB＝AC－0.5＝(t－0.5)(m)．
在△ABC中，由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 60，
即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，
化簡并整理得t＝＝x－1＋＋2(x>1)．
因?yàn)閤>1，所以t＝x－1＋＋2≥2＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時(shí)取等號(hào)，故AC最短為(2＋)m，應(yīng)選D.
[答案] (1)C (2)D
[類題通法]
1．解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的解題步驟
2．解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的注意事項(xiàng)
(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準(zhǔn)確作出這些角；
(2)要注意將平面幾何的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來使用，這樣可以優(yōu)化解題過程；
(3)要注意題目中的隱含條件及解的實(shí)際意義．
[應(yīng)用通關(guān)]
1．某位居民站在離地面20 m高的陽臺(tái)上觀測(cè)到對(duì)面小高層房頂?shù)难鼋菫?0，小高層底部的俯角為45，那么這棟小高層的高度為( )
A．20m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
解析：選B 如圖，設(shè)AB為陽臺(tái)的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線．由題意知AB＝20 m，∠DAE＝45，∠CAE＝60，故DE＝AE＝20 m，CE＝20 m，所以CD＝20(1＋)m.
2.(2018河北保定模擬)如圖，某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30方向上，距離為8海里，游輪由A處向正北方向航行到D處時(shí)再看燈塔B，B在南偏東60方向上，則C與D的距離為( )
A．20海里 B．8海里
C．23海里 D．24海里
解析：選B 在△ABD中，因?yàn)闊羲﨎在A的北偏東75方向上，距離為12海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時(shí)，再看燈塔B，B在南偏東60方向上，所以B＝180－75－60＝45，由正弦定理＝，
可得AD＝＝＝24海里．
在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8海里，∠CAD＝30，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2ADACcos 30＝242＋(8)2－2248＝192.
所以CD＝8海里．
3．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
解析：依題意，設(shè)乙的速度為x m/s，
則甲的速度為x m/s，
因?yàn)锳B＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，
解得AC＝1 260 m.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝
＝＝，
所以sin∠BAC＝
＝ ＝.
答案：
重難增分
與平面幾何有關(guān)的解三角形綜合問題
[考法全析]
一、曾經(jīng)這樣考
1．(2015全國卷Ⅰ)[與平面四邊形有關(guān)的邊長范圍問題]在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________．
[學(xué)解題]
法一：分割法(學(xué)生用書不提供解題過程)
易知∠ADC＝135.如圖，連接BD，設(shè)∠BDC＝α，∠ADB＝β，則α＋β＝135.
在△ABD和△BCD中，由正弦定理得＝＝，
則AB＝＝
＝＝，
由得30<α<105，
所以－2<<.
則－0)，則BD＝2x.
在△BCD中，因?yàn)镃D⊥BC，CD＝5，BD＝2x，
所以cos∠CDB＝＝.
在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝5，
由余弦定理得
cos∠ADC＝＝.
因?yàn)椤螩DB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，
即＝－，
解得x＝5，所以AD的長為5.
答案：5
2.如圖，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90，C是BD上一點(diǎn)，AB＝3－，∠ACB＝15，∠ECD＝60，∠EAC＝45，則線段DE的長為______．
解析：易知∠ACE＝105，∠AEC＝30，
在Rt△ABC中，AC＝，
在△AEC中，＝?CE＝，
在Rt△CED中，
DE＝CEsin 60＝
＝＝6.
答案：6
3.(2018四川成都模擬)如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝，若△ADC是銳角三角形，則DA＋DC的取值范圍為________．
解析：設(shè)∠ACD＝θ，則∠CAD＝－θ，根據(jù)條件及余弦定理計(jì)算得AC＝2.
在△ACD中，由正弦定理得
＝＝＝4，
∴AD＝4sin θ，CD＝4sin，
∴DA＋DC＝4
＝4＝4
＝4＝4sin.
∵△ACD是銳角三角形，
∴θ和－θ均為銳角，∴θ∈，
∴θ＋∈，
∴sin∈.
∴DA＋DC＝4sin∈.
答案：(6,4 ]
[高考大題通法點(diǎn)撥]
三角函數(shù)問題重在“變”——變角、變式
[思維流程]
[策略指導(dǎo)]
1．常用的變角技巧
(1)已知角與特殊角的變換；
(2)已知角與目標(biāo)角的變換；
(3)角與其倍角的變換；
(4)兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2，＝－.
2．常用的變式技巧
主要從函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)方面入手，常見的有：
(1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，常常將它化為一次的單角的三角函數(shù)來討論；
(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的問題，常做換元處理，如令t＝sin xcos x∈[－，]，將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)來處理；
(3)在解決三角形的問題時(shí)，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等．
已知函數(shù)f (x)＝4tan xsincos－.
(1)求f (x)的定義域與最小正周期；
(2)討論f (x)在區(qū)間上的單調(diào)性．
[破題思路]
第(1)問
求什么想什么
求f (x)的定義域與最小正周期，想到建立關(guān)于x的不等式以及化函數(shù)f (x)的解析式為f (x)＝Asin(ωx＋φ)或f (x)＝Acos(ωx＋φ)的形式
給什么用什么
題干中給出的解析式中既有正切函數(shù)也有正弦、余弦函數(shù)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式化簡函數(shù)解析式，再分別利用各種三角函數(shù)的定義域即可求出函數(shù)f (x)的定義域，利用周期公式可求周期
第(2)問
求什么想什么
討論f (x)在區(qū)間上的單調(diào)性，想到正弦函數(shù)y＝sin x的單調(diào)性
給什么用什么
第(1)問中已經(jīng)將函數(shù)f (x)化為f (x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，用整體代換求單調(diào)區(qū)間，并與區(qū)間求交集
[規(guī)范解答]
(1)f (x)的定義域?yàn)?
f (x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x
－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(2sin2x－1)
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
設(shè)A＝，B＝，k∈Z，易知A∩B＝.
所以當(dāng)x∈時(shí)，f (x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
[關(guān)鍵點(diǎn)撥]
解答此類問題的關(guān)鍵在于“變”，其思路為“一角二名三結(jié)構(gòu)”
升冪(降冪)公式口訣：“冪降一次，角翻倍，冪升一次，角減半”．
△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
[破題思路]
第(1)問
求什么想什么
求角C，想到求C的某一個(gè)三角函數(shù)值
給什么用什么
題目條件中給出關(guān)系式2cos C(acos B＋bcos A)＝c.用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一角或邊，可求角C的一個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而求出C的值
第(2)問
求什么想什么
求△ABC的周長，想到求△ABC各邊的長或直接求a＋b＋c的值
給什么用什么
已知c＝，△ABC的面積為，用S△ABC＝absin C＝可建立ab的關(guān)系式
差什么找什么
求周長，還需a＋b的值．通過以上步驟可知△ABC中C，c及ab的值，利用余弦定理即可求出a＋b的值
[規(guī)范解答]
(1)法一：由2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
得2cos C(sin Acos B＋sin B
cos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C.
因?yàn)锳＋B＋C＝π，
A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sin C>0，
所以2cos C＝1，cos C＝.
因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝.
法二：由2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
得2cos C＝c，
整理得2cos C＝1，
即cos C＝.
因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝.
(2)因?yàn)镾＝absin C＝ab＝，所以ab＝6，
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，
得7＝a2＋b2－2ab，
即(a＋b)2－3ab＝7，
所以(a＋b)2－18＝7，
即a＋b＝5，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝5＋.
[關(guān)鍵點(diǎn)撥] 利用正、余弦定理求解問題的策略
角化邊
利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解
邊化角
利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而求解
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2018全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90，∠A＝45，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，
所以sin ∠ADB＝.
由題設(shè)知，∠ADB<90，
所以cos ∠ADB＝ ＝.
(2)由題設(shè)及(1)知，
cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BDDCcos ∠BDC
＝25＋8－252＝25，所以BC＝5.
2．已知函數(shù)f (x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋1(ω＞0)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)求ω的值及函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且滿足a＝，f (A)＝1，求△ABC面積S的最大值．
解：(1)f (x)＝sin 2ωx－＋1
＝sin＋.
因?yàn)楹瘮?shù)f (x)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.
所以f (x)＝sin＋.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由f (A)＝1，得sin＝.
因?yàn)?A＋∈，
所以2A＋＝，得A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即()2＝b2＋c2－2bccos ，
所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc，
解得bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立．
所以S△ABC＝bcsin A≤3＝，
所以△ABC面積S的最大值為.
[總結(jié)升華]
高考試題中的三角函數(shù)解答題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，大家在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)“明確思維起點(diǎn)，把握變換方向，抓住內(nèi)在聯(lián)系，合理選擇公式”是解答此類題的關(guān)鍵．在解題時(shí)，要緊緊抓住“變”這一核心，靈活運(yùn)用公式與性質(zhì)， 仔細(xì)審題，快速運(yùn)算．
[專題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P177)
一、全練保分考法——保大分
1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝，c＝2，cos A＝，則b＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：選D 由余弦定理得5＝22＋b2－22bcos A，
∵cos A＝，∴3b2－8b－3＝0，
∴b＝3.
2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a＝6，b＝4，C＝120，則sin B＝( )
A. B.
C. D．－
解析：選B 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝76，所以c＝.由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝.
3．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為( )
A. B．1
C. D．2
解析：選C ∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝.∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝60，∴S△ABC＝bcsin A＝4＝.
4．(2019屆高三洛陽第一次統(tǒng)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B 由a，b，c成等比數(shù)列得b2＝ac，則有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，所以A＝，對(duì)于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sin Asin C＝sin C，由正弦定理得，＝＝＝.
5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
則sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
即sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
∴cos Asin C＋sin Asin C＝0，
∵sin C≠0，∴cos A＋sin A＝0，
即tan A＝－1，所以A＝.
由＝得＝，∴sin C＝，
又00.
從而tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tan C≥2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)tan C＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，且tan B＝tan C＝，tan A＝－，即b＝c，A＝120，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長為2＋.
法二：由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，將a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長為2＋.
3．(2019屆高三惠州調(diào)研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，b∈(4,6)，sin 2A＝sin C，則c的取值范圍為______________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，∴c＝8cos A，
由余弦定理得16＝b2＋c2－2bccos A，
∴16－b2＝64cos2A－16bcos2A，
又b≠4，∴cos2A＝＝＝，
∴c2＝64cos2A＝64＝16＋4 B.
∵b∈(4,6)，∴32
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通用版2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
第一部分
專題六
三角恒等變換與解三角形講義
理重點(diǎn)生，含解析
通用版
2019
高考
數(shù)學(xué)
二輪
復(fù)習(xí)
第一
部分
專題
三角
恒等
變換
三角形
講義
重點(diǎn)
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（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題六 三角恒等變換與解三角形講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc
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