2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 第2課時(shí) 排列的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第2課時(shí)　排列的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)　排列及其應(yīng)用 1．排列數(shù)公式 A＝________________________________________________________________________(n，m∈N*，m≤n) ＝____________. A＝________________＝______(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0?。絖_____. 2．應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題的基本步驟 類型一　無限制條件的排列問題 例1　(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？ (2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 　 　 　 　 反思與感悟　典型的排列問題，用排列數(shù)計(jì)算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用計(jì)數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清楚，要從“n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素”．即在排列問題中元素不能重復(fù)選取，而在用分步計(jì)數(shù)原理解決的問題中，元素可以重復(fù)選取． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)由高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法？ (2)有5個(gè)不同的科研小課題，高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組報(bào)名參加，每組限報(bào)一個(gè)課題，共有多少種不同的報(bào)名方法？ 　 　 　 　 　 類型二　排隊(duì)問題 例2　3名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排在下列情況下，各有多少種不同的站法． (1)男、女各站在一起； (2)男生必須排在一起； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰． 　 　 　 反思與感悟　處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素． 跟蹤訓(xùn)練2　排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單． (1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ (2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 　 　 　 　 　 　 　 例3　7人站成一排． (1)甲必須在乙的左邊(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？ 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　這類問題的解法是采用分類法．n個(gè)不同元素的全排列有A種排法，m個(gè)不同元素的全排列有A種排法．因此A種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有A類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的．當(dāng)這m個(gè)元素順序確定時(shí)，共有種排法． 跟蹤訓(xùn)練3　7名師生排成一排照相，其中老師1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按從高到低的順序站，有多少種不同的站法？ 　 　 　 　 　 　 例4　從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題： (1)甲不在首位的排法有多少種？ (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？ (3)甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種？ (4)甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種？ 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　“在”與“不在”排列問題解題原則及方法 (1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先． (2)方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置． 提醒：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底．不能一會(huì)考慮元素，一會(huì)考慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 跟蹤訓(xùn)練4　某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法？ 　 　 　 　 　 　 　 　 類型三　數(shù)字排列問題 例5　用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？ (1)六位奇數(shù)； (2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)； (3)不大于4 310的四位偶數(shù)． 　 　 　 反思與感悟　數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時(shí)要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路．常見附加條件有：(1)首位不能為0；(2)有無重復(fù)數(shù)字；(3)奇偶數(shù)；(4)某數(shù)的倍數(shù)；(5)大于(或小于)某數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練5　用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的 (1)能被5整除的五位數(shù)； (2)能被3整除的五位數(shù)； (3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240 135是第幾項(xiàng)． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有________種． 2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有________種． 3．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________． 4．從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有________種參賽方案． 5．用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20 000大的五位偶數(shù)共________個(gè)． 求解排列問題的主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中 定序問題除法處理 對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 答案精析 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn) 1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　　n(n－1)(n－2)…21　n！　1 題型探究 例1　解　(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有A＝765＝210(種)不同的送法． (2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有777＝343(種)不同的送法． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)從5個(gè)不同的課題中選出3個(gè)，由興趣小組進(jìn)行研究，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同的安排方法有A＝543＝60(種)． (2)由題意知3個(gè)興趣小組可能報(bào)同一科研課題，因此元素可以重復(fù)，不是排列問題． 由于每個(gè)興趣小組都有5種不同的選擇，且3個(gè)小組都選擇完才算完成這件事，所以由分步計(jì)數(shù)原理得共有555＝125(種)報(bào)名方法． 例2　解　(1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進(jìn)行全排列，有A種排法， 女生必須站在一起，即把4名女生進(jìn)行全排列，有A種排法， 全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有A種排法， 由分步計(jì)數(shù)原理知共有AAA＝288(種)排法． (2)(捆綁法)把所有男生看作一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列， 故有AA＝720(種)不同的排法． (3)(不相鄰問題插空法)先排女生有A種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5個(gè)空中，有A種排法，故有AA＝1 440(種)不同的排法． (4)先排男生有A種排法．讓女生插空，有AA＝144(種)不同的排法． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)先排歌唱節(jié)目有A種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有A種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有AA＝43 200(種)方法． (2)先排舞蹈節(jié)目有A種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有AA＝2 880(種)方法． 例3　解　(1)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有＝2 520(種)不同的排法． (2)甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的. 故有＝840(種)不同的排法． 跟蹤訓(xùn)練3　解　7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有A種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同的站法，所以共有2＝420(種)不同的站法． 例4　解　(1)方法一　把同學(xué)作為研究對(duì)象． 第一類：不含甲，此時(shí)只需從甲以外的其他6名同學(xué)中取出5名放在5個(gè)位置上，有A種． 第二類：含有甲，甲不在首位：先從4個(gè)位置中選出1個(gè)放甲，再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在沒有甲的位置上，有A種排法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，含有甲時(shí)共有4A種排法． 由分類計(jì)數(shù)原理，共有A＋4A＝2 160(種)排法． 方法二　把位置作為研究對(duì)象． 第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選1名排在首位，有A種方法． 第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學(xué)中選4名排在除首位以外的其他4個(gè)位置上，有A種方法． 由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有AA＝2 160(種)排法． 方法三　(間接法)即先不考慮限制條件，從7名同學(xué)中選出5名進(jìn)行排列，然后把不滿足條件的排列去掉． 不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有A種；甲在首位的情況有A種，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(種)． (2)把位置作為研究對(duì)象，先滿足特殊位置． 第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置上，有A種方法． 第二步，從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上，有A種方法． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，有AA＝1 800(種)方法． (3)把位置作為研究對(duì)象． 第一步，從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置，有A種方法． 第二步，從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上，有A種方法． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有AA＝1 200(種)方法． (4)用間接法． 總的可能情況是A種，減去甲在首位的A種，再減去乙在末位的A種．注意到甲在首位同時(shí)乙在末位的情況被減去了兩次，所以還需補(bǔ)回一次A種，所以共有A－2A＋A＝1 860(種)排法． 跟蹤訓(xùn)練4　解　6門課總的排法是A，其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有A種排法；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，有A種排法，但這兩種方法，都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，這種情況有A種排法．因此符合條件的排法有A－2A＋A＝504(種)． 例5　解　(1)第一步，排個(gè)位，有A種排法； 第二步，排十萬位，有A種排法； 第三步，排其他位，有A種排法． 故共有AAA＝288(個(gè))六位奇數(shù)． (2)方法一　(直接法) 十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類． 第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有A個(gè)； 第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有AAA個(gè)． 故符合題意的六位數(shù)共有A＋AAA＝504(個(gè))． 方法二　(排除法) 0在十萬位和5在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個(gè)位的情況． 故符合題意的六位數(shù)共有A－2A＋A＝504(個(gè))． (3)分三種情況，具體如下： ①當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有AAA個(gè)． ②當(dāng)千位上排2時(shí)，有AA個(gè)． ③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如4 02,4 20的各有A個(gè)； 形如4 1的有AA個(gè)； 形如4 3的只有4 310和4 302這兩個(gè)數(shù)． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(個(gè))． 跟蹤訓(xùn)練5　解　(1)個(gè)位上的數(shù)字必須是0或5.個(gè)位上是0，有A個(gè)；個(gè)位上是5，若不含0，則有A個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的位置有A種排法，其余各位有A種排法，故共有A＋A＋AA＝216(個(gè))能被5整除的五位數(shù)． (2)能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除，則5個(gè)數(shù)可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}兩種情況，能夠組成的五位數(shù)分別有A個(gè)和AA個(gè)． 故能被3整除的五位數(shù)有A＋AA＝216(個(gè))． (3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個(gè)，有3A個(gè)數(shù)， ∴240 135的項(xiàng)數(shù)是A＋3A＋1＝193， 即240 135是數(shù)列的第193項(xiàng)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．480　2.144　3.72　4.240　5.240