2017-2018學年高中數學 第三章 函數的應用 3.1 函數與方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解優(yōu)化練習 新人教A版必修1.doc

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3.1.2 用二分法求方程的近似解 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．下列圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是(　　) 答案：B 2．用“二分法”可求近似解，對于精確度ε說法正確的是(　　) A．ε越大，零點的精確度越高 B．ε越大，零點的精確度越低 C．重復計算次數就是ε D．重復計算次數與ε無關 答案：B 3．用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區(qū)間是(　　) A．[－2, 1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 解析：f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0 逐次驗證得出初始區(qū)間為A. 答案：A 4．定義在R上的函數f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，已知函數f(x)在區(qū)間(a，b)上有一個零點x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0時，當f＝0時，則函數f(x)的零點是(　　) A．(a，b)外的點 B．x＝ C．區(qū)間或內的任意一個實數 D．x＝a或x＝b 答案：B 5．設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內近似解的過程中，計算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間(　　) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能確定 解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則由f(1.25)f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上． 答案：B 6．用二分法研究函數f(x)＝x2＋6x－2的零點時，第一次經過計算f (0)<0，f(0.5)>0可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________． 解析：由零點的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取該區(qū)間的中點＝0.25，∴第二次應計算f(0.25)． 答案：(0,0.5)　f(0.25) 7．求方程log3x＋x＝3的解所在區(qū)間是________． 解析：構造函數f(x)＝log3x＋x－3，找出函數零點所在的初始區(qū)間， ∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)． 答案：(2,3) 8．若方程x3－x＋1＝0在區(qū)間(a，b)(a，b是整數，且b－a＝1)上有一根， 則a＋b＝________. 解析：設f(x)＝x3－x＋1，則f(－2)＝－5＜0， f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3. 答案：－3 9．求方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解．(精確度0.1) 解析：設f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函數在(0,1)內存在零點，即方程在(0,1)內有實數解，取(0,1)作為初始區(qū)間，利用二分法逐次計算，列表如下： 區(qū)間 中點 中點函數值 (0,1) 0.5 f(0. 5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.62 5 f(0.62 5)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解可取為0.75. 10．求的近似值．(精確到0.01) 解析：設x＝，則x3－2＝0，令f (x)＝x3－2，則函數f(x)的零點的近似值就是的近似值． 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取區(qū)間[1,2]為計算的初始區(qū)間． 用二分法逐步計算，列表如下： 區(qū)間 中點 中點函數值 (1,2) 1.5 1.375 (1,1.5) 1.25 －0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 63 0.027 3 (1.25,1.265 63) 1.257 82 －0.01 (1.257 82,1.265 63) 由于|1.265 63－1.257 82|＝0.007 81<0.01 ∴這個區(qū)間的兩個端點的近似值都可以作為函數f(x)零點的近似值，即的近似值是1.26. [B組　能力提升] 1.已知函數f(x)的圖象如圖，其中零點的個數與可以用二分法求解的個數分別為(　　) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解析：圖象與x軸有4個交點，所以解的個數為4；左、右函數值異號的有3個零點，所以可以用二分法求解的個數為3. 答案：D 2．對于函數f(x)在定義域內用二分法的求解過程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列敘述正確的是(　　) A．函數f(x)在(2 010,2 011)內不存在零點 B．函數f(x)在(2 009,2 010)內不存在零點 C．函數f(x)在(2 010,2 011)內存在零點，并且僅有一個 D．函數在(2 009,2 010)內可能存在零點 解析：f(2 009)f(2 010)>0，只能說在(2 009，2 010)內可能存在零點，也可能不存在零點．f(2 010)f(2 011)<0，說明在(2 010,2 011)內至少有一個零點，不能說是唯一，故答案選D. 答案：D 3．已知函數f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下的對應值表： x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98 則下列判斷正確的是________． ①函數f(x)在區(qū)間(－1,0)內有零點； ②函數f(x)在區(qū)間(2,3)內有零點； ③函數f(x)在區(qū)間(5,6)內有零點； ④函數f(x)在區(qū)間(－1,7)內有三個零點． 解析：f(－1)f(0)<0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，又f(x)的圖象連續(xù)不斷，所以函數f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三個區(qū)間上均有零點，但不能斷定有幾個零點，故①②③正確，④不正確． 答案：①②③ 4．用二分法求函數f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下： f(1.600 0)＝0.20 0 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.55 00)＝－0.060 據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解(精確到0.01)為________． 解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，顯然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故區(qū)間的端點四舍五入可得1.56. 答案：1.56 5．在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在位置？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個點要爬一次電線桿子.10 km長，大約有200多根電線桿子呢！ 想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？ 解析：如圖所示：可利用二分法的原理進行查找． 設閘房和指揮部所在地分別為A，B，他首先從AB的中點C處查，用隨身帶的電話機向兩端測試時，發(fā)現AC段正常，斷定故障在BC段；再到BC段中點D處來查，這次發(fā)現BD段正常，可見故障在CD段；再到CD中點E處來查，這樣每查一次，就可以把待查的線路長縮減一半，故經過7次查找，就可以把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50 m～100 m左右，即一兩根電線桿附近． 6．已知函數f(x)＝3x＋，方程f(x)＝0在(－1，＋∞)內是否有根？若有根，有幾個？請你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值．(精確度0.01) 解析：方程f(x)＝0在(－1，＋∞)內有根， f(x)＝3x＋＝3x＋1－， 當x∈(－1，＋∞)時，函數f(x)為增函數， 所以若方程f(x)＝0有根，則最多有一個根． ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以取(0,1)為初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列出下表： 區(qū)間 中點的值 中點函數近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 －0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25,0.281 25) 0.265 625 －0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 －0.005 (0.273 437 5,0.281 25) 由于|0.273 437 5－0.281 25|<0.01. 所以x＝0.281 25. (實際上[0.273 437 5,0.281 25]內的任意一個值均可以．)