2018-2019學年高中數學 第1章 導數及其應用 章末小結 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-2.doc
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第1章 導數及其應用 [對應學生用書P31] 一、導數的概念 1．導數 函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當Δx無限趨近于0時，比值＝無限趨近于一個常數A，則稱f(x)在點x＝x0處可導，稱常數A為函數f(x)在點x＝x0處的導數，記作f′(x0)． 2．導函數 若f(x)對于區(qū)間(a，b)內任一點都可導，則f′(x)在各點的導數中隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數稱為f(x)的導函數．記作f′(x)． 二、導數的幾何意義 1．f′(x0)是函數y＝f(x)在x0處切線的斜率，這是導數的幾何意義． 2．求切線方程： 常見的類型有兩種： 一是函數y＝f(x)“在點x＝x0處的切線方程”，這種類型中(x0，f(x0))是曲線上的點，其切線方程為 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 二是函數y＝f(x)“過某點的切線方程”，這種類型中，該點不一定為切點，可先設切點為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面兩個方程可解得x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程． 三、導數的運算 1．基本初等函數的導數 (1)f(x)＝C，則f′(x)＝0(C為常數)； (2)f(x)＝xα，則f′(x)＝αxα－1(α為常數)； (3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則f′(x)＝axln a； (4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，則f′(x)＝； (5)f(x)＝sin x，則f′(x)＝cos x； (6)f(x)＝cos x，則f′(x)＝－sin x. 2．導數四則運算法則 (1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 四、導數與函數的單調性 利用導數求函數單調區(qū)間的步驟： (1)求導數f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)寫出單調增區(qū)間或減區(qū)間． 特別注意寫單調區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“∪”連接． 五、導數與函數的極值 利用導數求函數極值的步驟： (1)確定函數f(x)的定義域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側的f′(x)的符號，若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值． 若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值，否則此根不是f(x)的極值點． 六、求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟 (1)求f(x)在(a，b)內的極值； (2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值． 特別地，①當f(x)在[a，b]上單調時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；②當f(x)在(a，b)內只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以判斷f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 七、導數的實際應用 利用導數求實際問題的最大(小)值時，應注意的問題： (1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的值應舍去． (2)在實際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個根，若能判斷函數的最大(小)值在x的變化區(qū)間內部得到，則這個根處的函數值就是所求的最大(小)值． 八．定積分 (1)定積分是一個數值．定積分的定義體現的基本思想是：先分后合、化曲為直(以不變代變)． 定積分的幾何意義是指相應直線、曲線所圍曲邊梯形的面積．要注意區(qū)分f(x)dx，|f(x)|dx及三者的不同． (2)微積分基本定理是計算定積分的一般方法，關鍵是求被積函數的原函數．而求被積函數的原函數和求函數的導函數恰好互為逆運算，要注意它們在計算和求解中的不同，避免混淆． 一、填空題(本大題共14個小題，每小題5分，共70分，把答案填在題中橫線上) 1．已知函數f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為________． 解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax， ∴f′(1)＝2a， 又∵f′(1)＝2，∴a＝1. 答案：1 2．曲線y＝x3－4x在點(1，－3)處的切線的傾斜角為________． 解析：∵y′＝3x2－4， ∴當x＝1時，y′＝－1，即tan α＝－1. 又∵α∈(0，π)，∴α＝π. 答案：π 3．已知函數f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是單調函數，則實數a的取值范圍是________． 解析：由題意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤，所以實數a的取值范圍是[－，]． 答案：[－，] 4．y＝2x3－3x2＋a的極大值為6，則a＝________. 解析：y′＝6x2－6x＝6x(x－1)， 令y′＝0，則x＝0或x＝1. 當x＝0時，y＝a，當x＝1時，y＝a－1. 由題意知a＝6. 答案：6 5．函數y＝的導數為________． 解析：y′＝′ ＝ ＝. 答案： 6．若(x－k)dx＝，則實數k的值為________． 解析：(x－k)dx＝＝－k＝， 解得k＝－1. 答案：－1 7．函數f(x)＝x2－ln x的單調遞減區(qū)間是________． 解析：∵f′(x)＝2x－＝. 令f′(x)<0，因為x∈(0，＋∞)， ∴2x2－1<0，即0
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