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重點增分專題六 數(shù) 列
[全國卷3年考情分析]
年份
全國卷Ⅰ
全國卷Ⅱ
全國卷Ⅲ
2018
等差數(shù)列的基本運算T4
等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及最值T17
等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式T17
Sn與an的關系、等比數(shù)列求和T14
2017
等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式T4
數(shù)學文化、等比數(shù)列的概念、前n項和公式T3
等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及等比中項T9
等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、裂項相消法求和T15
等比數(shù)列的通項公式T14
2016
等差數(shù)列的基本運算T3
等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、創(chuàng)新問題T17
數(shù)列的遞推關系及通項公式、前n項和公式T17
等比數(shù)列的運算及二次函數(shù)最值問題T15
(1)高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運算,兩類數(shù)列求和方法(裂項相消法、錯位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合),主要突出數(shù)學思想的應用.
(2)若以解答題形式考查,數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查,試題難度中等;若以客觀題考查,難度中等的題目較多.
[大穩(wěn)定]
1.(2018全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )
A.-12 B.-10
C.10 D.12
解析:選B 設等差數(shù)列{an}的公差為d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.將a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4(-3)=-10.
2.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,=,則數(shù)列{an}的公比q為( )
A.4 B.2
C. D.
解析:選C 因為=≠2,所以q≠1.所以==1+q5,
所以1+q5=,所以q=.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3.
(1)若a3+b3=7,求{bn}的通項公式;
(2)若T3=13,求Sn.
解:(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,
則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=3,得d+q=4, ?、?
由a3+b3=7,得2d+q2=8,?、?
聯(lián)立①②,解得q=2或q=0(舍去),
因此{bn}的通項公式為bn=2n-1.
(2)∵T3=1+q+q2,∴1+q+q2=13,
解得q=3或q=-4,
由a2+b2=3,得d=4-q,∴d=1或d=8.
由Sn=na1+n(n-1)d,
得Sn=n2-n或Sn=4n2-5n.
[解題方略] 等差(比)數(shù)列基本運算的解題思路
(1)設基本量:首項a1和公差d(公比q).
(2)列、解方程(組):把條件轉化為關于a1和d(或q)的方程(組),然后求解,注意整體計算,以減少運算量.
[小創(chuàng)新]
1.設數(shù)列{an}滿足a2+a4=10,點Pn(n,an)對任意的n∈N*,都有向量=(1,2),則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________.
解析:∵Pn(n,an),∴Pn+1(n+1,an+1),
∴=(1,an+1-an)=(1,2),
∴an+1-an=2,
∴數(shù)列{an}是公差d為2的等差數(shù)列.
又由a2+a4=2a1+4d=2a1+42=10,解得a1=1,
∴Sn=n+2=n2.
答案:n2
2.設某數(shù)列的前n項和為Sn,若為常數(shù),則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”.若一個首項為1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”,則該等差數(shù)列的公差d=________.
解析:由=k(k為常數(shù)),且a1=1,得n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0,∵對任意正整數(shù)n,上式恒成立,∴得∴數(shù)列{an}的公差為2.
答案:2
3.(2017全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞
C.5盞 D.9盞
解析:選B 每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構成等比數(shù)列,記為{an},則前7項的和S7=381,公比q=2,依題意,得S7==381,解得a1=3.
[大穩(wěn)定]
1.在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,則的值為( )
A.- B.-
C. D.-或
解析:選B 設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,則a9=-,所以==a9=-,故選B.
2.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若S4≠0,且S8=3S4,設S12=λS8,則λ=( )
A. B.
C.2 D.3
解析:選C 因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,
若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,
所以由等差數(shù)列的性質得:S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,
所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),
所以2(3S4-S4)=S4+(λ3S4-3S4),
解得λ=2.
3.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=13,3a2=11a6,則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為________.
解析:設{an}的公差為d.
法一:由3a2=11a6,得3(13+d)=11(13+5d),
解得d=-2,所以an=13+(n-1)(-2)=-2n+15.
由得解得6.5≤n≤7.5.
因為n∈N*,
所以當n=7時,數(shù)列{an}的前n項和Sn最大,最大值為S7==49.
法二:由3a2=11a6,得3(13+d)=11(13+5d),
解得d=-2,所以an=13+(n-1)(-2)=-2n+15.
所以Sn==-n2+14n=-(n-7)2+49,
所以當n=7時,數(shù)列{an}的前n項和Sn最大,最大值為S7=49.
答案:49
4.已知數(shù)列{an}滿足an=若對于任意的n∈N*都有an>an+1,則實數(shù)λ的取值范圍是________.
解析:法一:因為an>an+1,所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,
所以解得<λ<.
所以實數(shù)λ的取值范圍是.
法二:因為an>an+1恒成立,所以0<λ<1.
若0<λ≤,則當n<6時,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列或常數(shù)列,不滿足對任意的n∈N*都有an>an+1;
若<λ<1,則當n<6時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,當n≥6時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,又對任意的n∈N*都有an>an+1,所以a6
0,則f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )
A.恒為正數(shù)
B.恒為負數(shù)
C.恒為0
D.可以為正數(shù)也可以為負數(shù)
解析:選A 因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x)是R上的增函數(shù),所以當x>0時,有f(x)>f(0)=0,當x<0時,有f(x)0,所以f(a3)>0.因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以=a3>0?a1+a5>0?a1>-a5?f(a1)>f(-a5),又f(-a5)= -f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)=[f(a1)+f(a5)]+f(a3)>0.
3.已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2 ,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項和為( )
A.0 B.-9
C.9 D.1
解析:選C 由已知可得,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,f(x)=sin 2x+cos x+1,∴f=1.∵f(π-x)=sin(2π-2x)+cos(π-x)+1=-sin 2x-cos x+1,∴f(π-x)+f(x)=2,∵a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,∴f(a1)+…+f(a9)=24+1=9,即數(shù)列{yn}的前9項和為9.
4.數(shù)列{an}是首項a1=m,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an,若對任意n∈N*都有bn≥b5成立,則m的取值范圍是________.
解析:由題意得,an=m+2(n-1),
從而bn=an=[m+2(n-1)].
又對任意n∈N*都有bn≥b5成立,結合數(shù)列{bn}的函數(shù)特性可知b4≥b5,b6≥b5,
故解得-22≤m≤-18.
答案:[-22,-18]
[典例] 設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,對任意的n∈N*,都有Sn=2-an,數(shù)列{bn}滿足b1=2a1,bn=(n≥2,n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式.
[解] (1)當n=1時,a1=S1=2-a1,解得a1=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=an-1-an,
即=(n≥2,n∈N*).
所以數(shù)列{an}是首項為1,
公比為的等比數(shù)列,
故數(shù)列{an}的通項公式為an=n-1.
(2)因為a1=1,所以b1=2a1=2.
因為bn=,所以=+1,
即-=1(n≥2).
所以數(shù)列是首項為,
公差為1的等差數(shù)列.
所以=+(n-1)1=,
故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=.
[解題方略] 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法:
①利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù);
②利用等差中項,即證明2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法
①利用定義,證明(n∈N*)為一常數(shù);
②利用等比中項,即證明a=an-1an+1(n≥2).
[多練強化]
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值.
(2)設bn=an+3,證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并求通項公式an.
解:(1)因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).
所以n=1時,由a1=S1=2a1-31,解得a1=3,
n=2時,由S2=2a2-32,得a2=9,
n=3時,由S3=2a3-33,得a3=21.
(2)因為Sn=2an-3n,
所以Sn+1=2an+1-3(n+1),
兩式相減,得an+1=2an+3,①
把bn=an+3及bn+1=an+1+3,代入①式,
得bn+1=2bn(n∈N*),且b1=6,
所以數(shù)列{bn}是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列,
所以bn=62n-1,
所以an=bn-3=62n-1-3=3(2n-1).
增分考點深度精研
[析母題]
[典例] 已知數(shù)列{an}滿足a1+4a2+42a3+…+4n-1an=(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=,求數(shù)列{bnbn+1}的前n項和Tn.
[解] (1)當n=1時,a1=.
因為a1+4a2+42a3+…+4n-2an-1+4n-1an=,①
所以a1+4a2+42a3+…+4n-2an-1=(n≥2),②
①-②得4n-1an=(n≥2),
所以an=(n≥2).
由于a1=,故an=.
(2)由(1)得bn==,
所以bnbn+1==,
故Tn===.
[練子題]
1.在本例條件下,若設bn=anlogan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解:∵an=,∴bn=,
∴Tn=+++…+,
Tn=+++…+,
兩式相減得,
Tn=++++…+-
=2-
=2-
=--
=-,
∴Tn=-.
2.在本例條件下,若數(shù)列的前n項和為Sn,記bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解:∵an=,∴=4n,Sn=4n-,
則bn==42n-4n,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(42+44+…+42n)-(4+42+…+4n)
=-
=42n-4n+.
3.在本例條件下,設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解:∵an=,
∴bn==
=.
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=-+-+…-
==-.
[解題方略]
1.分組求和中分組的策略
(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組.
(2)根據(jù)正號、負號分組.
2.裂項相消求和的規(guī)律
(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差.
(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多.
3.錯位相減法求和的關注點
(1)適用題型:等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應項相乘({anbn})型數(shù)列求和.
(2)步驟:
①求和時先乘以數(shù)列{bn}的公比;
②將兩個和式錯位相減;
③整理結果形式.
[多練強化]
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,則數(shù)列{bn}的前2n項和T2n為( )
A.-n B.-2n
C.n D.2n
解析:選B 設等差數(shù)列{an}的公差為d,由S3=a5,得3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2,∴an=2n-1,∴bn=(-1)n-1(2n-1),∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)=-2n,選B.
2.(2017天津高考)已知{an}為等差數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),{bn}是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和(n∈N*).
解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,
而b1=2,所以q2+q-6=0.
又因為q>0,解得q=2.
所以bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①
由S11=11b4,可得a1+5d=16.②
由①②,解得a1=1,d=3,所以an=3n-2.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n.
(2)由(1)知a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,
則a2nb2n-1=(3n-1)4n,
設數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn,
故Tn=24+542+843+…+(3n-1)4n,
4Tn=242+543+844+…+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,
上述兩式相減,得-3Tn=24+342+343+…+34n-(3n-1)4n+1
=-4-(3n-1)4n+1
=-(3n-2)4n+1-8.
故Tn=4n+1+.
所以數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為4n+1+.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*,且a2=3,S5=25.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:Tn<1.
解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為所以
解得所以an=2n-1.
(2)證明:由(1)知,an=2n-1,
所以Sn==n2.
所以bn===-.
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=++…+
=1-<1.
數(shù)學運算——數(shù)列的通項公式及求和問題
[典例] 設{an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為其前n項和,已知S3=7,a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=an+ln an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)設數(shù)列{an}的公比為q(q>1).
由已知,得
即
由q>1,解得
故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
(2)由(1)得bn=2n-1+(n-1)ln 2,
所以Tn=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]ln 2=+ln 2=2n-1+ln 2.
[素養(yǎng)通路]
數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等.
本題通過列出關于首項與公比的方程組,并解此方程組得出首項與公比,從而得出通項公式;通過分組分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式求和.考查了數(shù)學運算這一核心素養(yǎng).
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