（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題四 三角函數(shù)的圖象與性質講義 理（普通生含解析）.doc

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重點增分專題四　三角函數(shù)的圖象與性質 [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 三角函數(shù)的最值及導數(shù)T16 三角函數(shù)單調性的應用T10 三角函數(shù)的零點問題T15 2017 三角函數(shù)的圖象變換T9 三角函數(shù)的最值T14 余弦函數(shù)的圖象與性質T6 2016 三角函數(shù)的圖象變換與對稱性T7 三角函數(shù)的圖象變換T14 (1)高考命題的熱點主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題． (2)高考對此部分內容主要以選擇題、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現(xiàn)在第6～12或14～16題位置上． 三角函數(shù)的定義、誘導公式及基本關系 [大穩(wěn)定] 1.在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，角α，β的終邊分別與單位圓交于點和，則sin(α＋β)＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：選D　因為角α，β的終邊分別與單位圓交于點和，所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝. 2.若tan α＝，則sin4α－cos4α的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選B　∵tan α＝， ∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α) ＝sin2α－cos2α＝ ＝＝－. 3.設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．當0≤x<π時，f(x)＝0，則f＝(　　) A. B. C．0 D．－ 解析：選A　由已知，得f＝f＋sin ＝f＋sin ＋sin ＝f＋sin ＋sin ＋sin ＝f＋sin ＋sin＋sin ＝0＋＋＋＝. [解題方略] 1．同角三角函數(shù)基本關系式的應用技巧 知弦求弦 利用誘導公式及平方關系sin2α＋cos2α＝1求解 知弦求切 常通過平方關系、對稱式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立聯(lián)系，注意tan α＝的靈活應用 知切求弦 通常先利用商數(shù)關系轉化為sin α＝tan αcos α的形式，然后用平方關系求解 和積轉換法 如利用(sin θcos θ)2＝12sin θcos θ的關系進行變形、轉化 巧用“1” 的變換 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ 2．利用誘導公式進行化簡求值的步驟 利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負－脫周－化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號的確定．(注意“奇變偶不變，符號看象限”) [小創(chuàng)新] 1.設an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是(　　) A．25 B．50 C．75 D．100 解析：選D　當1≤n≤24時，an>0，當26≤n≤49時，an<0，但其絕對值要小于1≤n≤24時相應的值；當51≤n≤74時，an>0；當76≤n≤99時，an<0，但其絕對值要小于51≤n≤74時相應的值．故當1≤n≤100時，均有Sn>0. 2.某一算法程序框圖如圖所示，則輸出的S的值為(　　) A. B．－ C. D．0 解析：選A　由已知程序框圖可知，該程序的功能是計算S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin的值． 因為sin ＝，sin ＝sin＝sin ＝，sin ＝sin π＝0， sin ＝sin＝－sin ＝－， sin ＝sin＝－sin ＝－， sin ＝sin 2π＝0，而sin ＝sin＝sin ， sin ＝sin＝sin ，sin ＝sin(2π＋π)＝sin π，所以函數(shù)值呈周期性變化，周期為6，且sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝0. 而2 017＝6336＋1，所以輸出的S＝3360＋sin ＝.故選A. 3.《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4 m的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是(　　) A．6 m2 B．9 m2 C．12 m2 D．15 m2 解析：選B　如圖，由題意可得∠AOB＝，OA＝4， 在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝4＝2， 于是矢＝4－2＝2. 由AD＝AOsin ＝4＝2， 可得弦長AB＝2AD＝22＝4. 所以弧田面積＝(弦矢＋矢2)＝(42＋22)＝4＋2≈9(m2)．故選B. 題型一　由“圖”定“式” [例1]　(1)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin (2)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸的一個交點到其相鄰的一條對稱軸的距離為，若f＝，則函數(shù)f(x)在上的最小值為(　　) A.　　　　　　　　 　B．－ C．－ D．－ [解析]　(1)由題圖可知，函數(shù)圖象上兩個相鄰的最值點分別為最高點，最低點， 所以函數(shù)的最大值為2，即A＝2. 由圖象可得，x＝－，x＝為相鄰的兩條對稱軸， 所以函數(shù)的周期T＝2＝4π， 故＝4π，解得ω＝. 所以f(x)＝2sin. 把點代入可得2sin＝2， 即sin＝1， 所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋(k∈Z)． 又0<φ<π，所以φ＝. 所以f(x)＝2sin，故選B. (2)由題意得，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝4＝π＝，解得ω＝2. 因為點在函數(shù)f(x)的圖象上， 所以Asin＝0， 解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝. 因為f＝，所以Asin＝， 解得A＝，所以f(x)＝sin. 當x∈時，2x＋∈， ∴sin∈， ∴f(x)的最小值為－. [答案]　(1)B　(2)C [解題方略]　由“圖”定“式”找“對應”的方法 由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中參數(shù)的值，關鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參數(shù)之間的對應關系，其基本依據(jù)就是“五點法”作圖． (1)最值定A，B：根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值，設最大值為M，最小值為m，則M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝. (3)點坐標定φ：一般運用代入法求解φ值，注意在確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口，即“峰點”“谷點”與三個“中心點”． 題型二　三角函數(shù)的圖象變換 [例2]　(1)(2019屆高三湘東五校聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，所得圖象的一條對稱軸的方程可能是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ (2)(2018鄭州第一次質量測試)若將函數(shù)f(x)＝3sin(2x＋φ)(0<φ<π)圖象上的每一個點都向左平移個單位長度，得到g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) [解析]　(1)依題意知，將函數(shù)f(x)＝sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得函數(shù)g(x)＝sin的圖象．令x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋， k∈Z，當k＝0時，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為x＝，故選D. (2)由題意知g(x)＝3sin＝3sin，因為g(x)是奇函數(shù)，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)，又0<φ<π，所以φ＝，所以g(x)＝3sin(2x＋π)＝ －3sin 2x，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)．故選A. [答案]　(1)D　(2)A [解題方略]　關于三角函數(shù)的圖象變換的方法 沿x軸 沿y軸 平移變換 由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x＋φ)時，“左加右減”，即φ>0，左移；φ<0，右移 由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x)＋k時，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移 伸縮變換 由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(ωx)時，點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋? 由y＝f(x)變?yōu)閥＝Af(x)時，點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膢A|倍 增分考點講練沖關 [典例]　(1)(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 (2)設函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)(－π<φ<0)．若f(x)＋f′(x)是偶函數(shù)，則φ等于(　　) A.　　　　　　　　 　B．－ C. D．－ (3)(2018昆明調研)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx的圖象關于點對稱，且f(x)在上為增函數(shù)，則ω＝(　　) A. B．3 C. D．6 (4)(2018全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A. B. C. D．π [解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期為π，最大值為4.故選B. (2)f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos.根據(jù)誘導公式，要使f(x)＋f′(x)為偶函數(shù)，則φ＋＝kπ(k∈Z)， 所以k＝0時，φ＝－，故選B. (3)因為函數(shù)f(x)＝sin ωx的圖象關于對稱， 所以π＝kπ(k∈Z)，即ω＝k(k∈Z)．① 又函數(shù)f(x)＝sin ωx在區(qū)間上是增函數(shù)， 所以≤且ω>0，所以0<ω≤2.② 由①②得ω＝，故選A. (4)法一：∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin x－， ∴當x－∈，即x∈時， y＝sin單調遞增， f(x)＝－sin單調遞減， ∴是f(x)在原點附近的單調減區(qū)間， 結合條件得[0，a]?， ∴a≤，即amax＝.故選C. 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin. 于是，由題設得f′(x)≤0，即sin≥0在區(qū)間[0，a]上恒成立． 當x∈[0，a]時，x＋∈， 所以a＋≤π，即a≤， 故所求a的最大值是.故選C. [答案]　(1)B　(2)B　(3)A　(4)C [解題方略] 1．求三角函數(shù)單調區(qū)間的方法 (1)代換法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω>0)的單調區(qū)間時，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由復合函數(shù)的單調性求得． (2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結合圖象求其單調區(qū)間． 2．判斷對稱中心與對稱軸的方法 利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點這一性質，通過檢驗f(x0)的值進行判斷． 3．求三角函數(shù)周期的常用結論 (1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小 正周期為. (2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期；正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期． [多練強化] 1．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的圖象關于中心對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 解析：選B　f(x)＝2sin，又圖象關于中心對稱， 所以2＋θ＋＝kπ(k∈Z)， 所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0<θ<π，所以θ＝， 所以f(x)＝－2sin 2x，因為x∈， 所以2x∈，f(x)∈[－，2]， 所以f(x)的最小值是－. 2．(2018濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f＝f(x)，則(　　) A．f(x)在上單調遞減 B．f(x)在上單調遞增 C．f(x)在上單調遞增 D．f(x)在上單調遞減 解析：選D　因為f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期為π，所以＝π，所以ω＝2.因為f＝f(x)，所以直線x＝是f(x)圖象的一條對稱軸，所以2＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因為|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.當x∈時，2x＋∈，f(x)先增后減，當x∈時，2x＋∈，f(x)單調遞減．故選D. 3．(2018北京高考)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值． 解：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x ＝－cos 2x＋sin 2x ＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin＋. 由題意知－≤x≤m， 所以－≤2x－≤2m－. 要使f(x)在區(qū)間上的最大值為， 即sin在區(qū)間上的最大值為1. 所以2m－≥，即m≥. 所以m的最小值為. 三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用 [典例]　已知函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10個零點，求b的最小值． [解]　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋(2sin2ωx－1) ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin. 由最小正周期為π，得ω＝1， 所以f(x)＝2sin， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)＝2sin 2x＋1的圖象， 所以g(x)＝2sin 2x＋1. 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有兩個零點，若y＝g(x)在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可． 所以b的最小值為4π＋＝. [解題方略] 解決三角函數(shù)圖象與性質綜合問題的思路 (1)先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函數(shù))的形式； (2)把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調性、奇偶性、最值、對稱性等問題． [多練強化] 　(2017山東高考)設函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0. (1)求ω； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． 解：(1)因為f(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx ＝ ＝sin. 因為f＝0， 所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因為x∈，所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. 直觀想象——數(shù)形結合法在三角函數(shù)圖象問題中的應用 [典例]　函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝cos的圖象，則只需將f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 [解析]　根據(jù)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象知，＝－＝，∴T＝π，即＝π，解得ω＝2.根據(jù)“五點作圖法”并結合|φ|<，可知2＋φ＝π，解得φ＝，∴f(x)＝sin.∴g(x)＝cos＝sin＋＝sin.故為了得到g(x)的圖象，只需將f(x)的圖象向左平移個單位長度即可． [答案]　A　 [素養(yǎng)通路] 本題利用圖形描述數(shù)學問題，通過對圖形的理解，由圖象建立形與數(shù)的聯(lián)系，確定函數(shù)的周期，根據(jù)“五點作圖法”代入數(shù)據(jù)求參數(shù)．考查了直觀想象這一核心素養(yǎng)． A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1．(2018全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為(　　) A.　　　　　　 　 B. C．π D．2π 解析：選C　由已知得f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. 2.(2018貴陽第一學期檢測)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分圖象如圖所示，則φ的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選B　由題意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由圖可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝. 3．(2019屆高三西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝時取得最小值，則f(x)在[0，π]上的單調遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因為0<θ<π，所以<＋θ<， 又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝時取得最小值， 所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos. 由0≤x≤π，得≤x＋≤. 由π≤x＋≤，得≤x≤π， 所以f(x)在[0，π]上的單調遞增區(qū)間是，故選A. 4．函數(shù)f(x)＝sin的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關于x＝對稱，則g(x)具有的性質是(　　) A．最大值為1，圖象關于直線x＝對稱 B．在上單調遞減，為奇函數(shù) C．在上單調遞增，為偶函數(shù) D．周期為π，圖象關于點對稱 解析：選B　由題意得，g(x)＝sin＝sin(－2x)＝－sin 2x，最大值為1，而g＝0，圖象不關于直線x＝對稱，故A錯誤；當x∈時，2x∈，滿足單調遞減，顯然g(x)也是奇函數(shù)，故B正確，C錯誤；周期T＝＝π，g＝－，故圖象不關于點對稱，故D錯誤． 5．(2019屆高三安徽知名示范高中聯(lián)考)先將函數(shù)y＝2sin＋1的圖象向左平移個最小正周期的單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)是(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．不能確定 解析：選B　因為函數(shù)y＝2sin＋1，所以其最小正周期T＝π，所以將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，所得的圖象對應的函數(shù)解析式為y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos 2x＋1，再將圖象向下平移1個單位長度后所得的圖象對應的函數(shù)解析式為y＝2cos 2x，該函數(shù)為偶函數(shù)，故選B. 6．(2018廣州高中綜合測試)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋(ω>0)在區(qū)間上單調遞增，則ω的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　法一：因為x∈，所以ωx＋∈， 因為函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在區(qū)間上單調遞增， 所以 即 又ω>0，所以0<ω≤，選B. 法二：取ω＝1，f＝sin＝－sin <0，f＝sin＝sin ＝1，f＝sin＝sin ＝，不滿足題意，排除A、C、D，選B. 二、填空題 7．(2018惠州調研)已知tan α＝，且α∈，則cos＝____________. 解析：法一：cos＝sin α，由α∈知α為第三象限角， 聯(lián)立得5sin2α＝1，故sin α＝－. 法二：cos＝sin α，由α∈知α為第三象限角，由tan α＝，可知點(－2，－1)為α終邊上一點，由任意角的三角函數(shù)公式可得sin α＝－. 答案：－ 8．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象在y軸右側的第一個最高點為P，在原點右側與x軸的第一個交點為Q，則f的值為______． 解析：由題意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2， 將點P代入f(x)＝sin(2x＋φ)， 得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)． 又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝－. 答案：－ 9．已知函數(shù)f(x)＝cos，其中x∈，m，若f(x)的值域是，則m的最大值是________． 解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋， ∵f＝cos ＝－，且f＝cos π＝－1， ∴要使f(x)的值域是， 需要π≤3m＋≤，即≤m≤， 即m的最大值是. 答案： 三、解答題 10．(2018石家莊模擬)函數(shù)f(x)＝Asinωx－＋1(A>0，ω>0)的最小值為－1，其圖象相鄰兩個最高點之間的距離為π. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設α∈，f＝2，求α的值． 解：(1)∵函數(shù)f(x)的最小值為－1， ∴－A＋1＝－1，即A＝2. ∵函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為π， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π， ∴ω＝2，故函數(shù)f(x)的解析式為 f(x)＝2sin＋1. (2)∵f＝2sin＋1＝2， ∴sin＝. ∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，得α＝. 11．已知m＝，n＝(cos x,1)． (1)若m∥n，求tan x的值； (2)若函數(shù)f(x)＝mn，x∈[0，π]，求f(x)的單調遞增區(qū)間． 解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，展開變形可得，sin x＝cos x，即tan x＝. (2)f(x)＝mn＝sincos x＋1 ＝sin xcos x－cos2x＋1 ＝sin 2x－＋1 ＝＋ ＝sin＋， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 又x∈[0，π]，所以當x∈[0，π]時，f(x)的單調遞增區(qū)間為和. 12．已知函數(shù)f(x)＝cos x(2sin x＋cos x)－sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若當x∈時，不等式f(x)≥m有解，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝2 ＝2sin， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. (2)由題意可知，不等式f(x)≥m有解， 即m≤f(x)max， 因為x∈，所以2x＋∈， 故當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值， 且最大值為f＝2.從而可得m≤2. 所以實數(shù)m的取值范圍為(－∞，2]． B組——大題專攻補短練 1．已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，函數(shù)f(x)＝mn＋，直線x＝x1，x＝x2是函數(shù)y＝f(x)的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為. (1)求ω的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間． 解：(1)因為向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，所以函數(shù)f(x)＝mn＋＝2sin ωxcos ωx＋sin ωx(－2sin ωx)＋＝sin 2ωx－2sin2ωx＋＝ sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin. 因為直線x＝x1，x＝x2是函數(shù)y＝f(x)的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2＝π，即＝π，得ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 2.已知函數(shù)f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心． (1)求f(x)的解析式，并求距y軸最近的一條對稱軸的方程； (2)先列表，再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象． 解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)(cos2ωx＋sin2ωx)＋1 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 ＝2sin＋1. ∵點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心， ∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z. ∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1. 由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， 令k＝0，得距y軸最近的一條對稱軸方程為x＝. (2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，當x∈[－π，π]時，列表如下： x＋ － － 0 π x －π － － π f(x) 0 －1 1 3 1 0 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象如圖所示． 3．(2018山東師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sin 2x－cos 2x的圖象經過怎樣的平移變換得到； (3)若方程f(x)＝m在上有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍． 解：(1)由題圖可知，A＝2，T＝4＝π， ∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0， ∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. ∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin. (2)y＝sin 2x－cos 2x＝2sin＝2sin， 故將函數(shù)y＝sin 2x－cos 2x的圖象向左平移個單位長度就得到函數(shù)y＝f(x)的圖象． (3)當－≤x≤0時，－≤2x＋≤，故－2≤f(x)≤，若方程f(x)＝m在上有兩個不相等的實數(shù)根，則曲線y＝f(x)與直線y＝m在上有2個交點，結合圖形，易知－2＜m≤－. 故m的取值范圍為(－2，－ 4．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為，且在x＝時取得最大值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)當x∈時，若方程f(x)＝a恰好有三個根，分別為x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范圍． 解：(1)由題意，T＝2＝π，故ω＝＝2， 所以sin＝sin＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z. 因為0≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin. (2)畫出該函數(shù)的圖象如圖，當≤a<1時，方程f(x)＝a恰好有三個根，且點(x1，a)和(x2，a)關于直線x＝對稱，點(x2，a)和(x3，a)關于直線x＝對稱， 所以x1＋x2＝，π≤x3<， 所以≤x1＋x2＋x3<， 故x1＋x2＋x3的取值范圍為.