2019年高考數(shù)學 25個必考點 專題18 圓、直線與圓檢測.doc

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專題18 圓、直線與圓 一、基礎(chǔ)過關(guān)題 1.（2018高考天津卷）已知圓的圓心為C，直線，為參數(shù)與該圓相交于A，B兩點，則的面積為______． 【答案】 把圓的方程化為標準方程，寫出圓心與半徑； 直線的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離， 計算弦長，利用三角形面積公式求出的面積． 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了參數(shù)方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題． 2．(2016南昌檢測)圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 【答案】　B 【解析】　根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2， 解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0. 3．(2017廣州調(diào)研)若點A(1,0)和點B(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【答案】　C 【解析】　如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓． 依題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1， 直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2， 所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線)． 4．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 【答案】　C 【解析】　圓C2的標準方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m. 又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5. 又∵兩圓外切，∴5＝1＋，解得m＝9. 5．(2016昆明一模)方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓 【答案】　D 6．若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為(　　) A．1 B．5 C．4 D．3＋2 【答案】　D 【解析】　由題意知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝0上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， ∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 當且僅當＝，即b＝2－，a＝－1時，等號成立． ∴＋的最小值為3＋2. 7．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 【答案】　A 8．(2016九江模擬)已知P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線(A，B是切點)，C是圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是(　　) A. B．2 C. D．2 【答案】　C 【解析】　圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，則C(1,1)， 當|PC|最小時，四邊形PACB的面積最小， |PC|min＝＝2，此時|PA|＝|PB|＝. 所以四邊形PACB的面積S＝21＝，故選C. 9．(2016南昌模擬)若圓C經(jīng)過坐標原點與點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是__________________． 【答案】　(x－2)2＋(y＋)2＝ 【解析】　因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)． 又因為圓與直線y＝1相切，所以＝|1－m|， 解之得m＝－. 所以圓C的方程為(x－2)2＋(y＋)2＝. 10．(2016南昌二模)若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為(　　) A. B．2 C．4 D．2 【答案】　B 11．(2016泰安模擬)過點P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 【答案】　A 【解析】　如圖所示： 由題意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2， ∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0. 12．若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 【答案】　A 【解析】　因為圓C的標準方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標為(－2,1)，半徑為， 因為直線l與圓C相切．所以＝，解得k＝1，因為k<0，所以k＝－1， 所以直線l的方程為x＋y－1＝0. 圓心D(2,0)到直線l的距離d＝＝<， 所以直線l與圓D相交． 13．已知A(－2,0)，B(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個不同點，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動點，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，那么△PAB面積的最大值是(　　) A．3－ B．4 C．3＋ D．6 【答案】　C 14．(2016全國乙卷)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 【答案】　4π 【解析】　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)， C到直線y＝x＋2a的距離d＝＝. 又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π. 15．(2015山東)過點P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則＝________. 【答案】　 【解析】　由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示， ∵P(1，)，∴PB⊥x軸，|PA|＝|PB|＝. ∴△POA為直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝，則|OP|＝2， ∴∠OPA＝30，∴∠APB＝60. ∴＝||||cos∠APB＝cos 60＝. 16．在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 【答案】 (1) P點的軌跡方程為y2－x2＝1.； (2) 圓P的方程為x2＋(y1)2＝3. (2)設(shè)P點的坐標為(x0，y0)， 則＝，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝1，即y0＝x01. ①當y0＝x0＋1時，由y－x＝1，得(x0＋1)2－x＝1. ∴∴r2＝3. ∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3. ②當y0＝x0－1時，由y－x＝1，得(x0－1)2－x＝1. ∴∴r2＝3. ∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3. 綜上所述，圓P的方程為x2＋(y1)2＝3. 17．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點為M. (1)若點P運動到(1,3)處，求此時切線l的方程； (2)求滿足條件|PM|＝|PO|的點P的軌跡方程． 【答案】 (1) 切線l的方程為x＝1或3x＋4y－15＝0； (2) 點P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0. (2)設(shè)P(x，y)，則|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4， |PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|， ∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2， 整理，得2x－4y＋1＝0， ∴點P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0. 二、能力提高題 1．過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為______________． 【答案】　x＋y－2＝0 【解析】　當圓心與點P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件．圓心O與點P連線的斜率k＝1， 所求直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 2．已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓x2＋y2＝4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為________． 【答案】　 【解析】　作出可行域D及圓x2＋y2＝4，如圖所示， 3．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________． 【答案】　 【解析】　圓C的標準方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)． 由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2， 即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤. 故k的最大值是. 4．(2016岳陽模擬)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________． 【答案】　＋1 【解析】　設(shè)D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1， 即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓，又＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)， ∴|＋＋|＝. 問題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－)間距離的最大值． ∵圓心C(3,0)與點P(1，－)之間的距離為＝， 故的最大值為＋1. 5.已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 6．設(shè)M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，求a的最大值和最小值． 【解析】M＝{(x，y)|y＝，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}， 表示以原點O為圓心，半徑等于a的半圓(位于橫軸或橫軸以上的部分)． N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}， 表示以O(shè)′(1，)為圓心，半徑等于a的一個圓． 再由M∩N≠?，可得半圓和圓有交點， 故半圓和圓相交或相切． 當半圓和圓相外切時，由|OO′|＝2＝a＋a， 求得a＝2－2； 當半圓和圓相內(nèi)切時，由|OO′|＝2＝a－a， 求得a＝2＋2， 故a的取值范圍是[2－2,2＋2]， a的最大值為2＋2，最小值為2－2. 7.(2016湖南六校聯(lián)考)已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方． (1)求圓C的方程； (2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． (2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB. 當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x軸平分∠ANB， 則kAN＝－kBN?＋＝0 ?＋＝0 ?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 ?－＋2t＝0?t＝4， 所以當點N為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．