2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.5.1 二項式定理學案 蘇教版選修2-3.doc

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1．5.1　二項式定理 學習目標　1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題． 知識點　二項式定理 思考1　我們在初中學習了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，試用多項式的乘法推導(a＋b)3，(a＋b)4的展開式． 　 　 　 思考2　上述兩個等式的右側有何特點？ 　 　 　 思考3　能用類比方法寫出(a＋b)n(n∈N*)的展開式嗎？ 　 　 梳理　二項式定理及其概念 (1)二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二項式定理，________________叫做(a＋b)n的二項展開式，它一共有________項． (2)二項展開式的通項 ____________叫做二項展開式的第r＋1項(也稱通項)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝____________. (3)二項式系數(shù) ________________________________________________________________________叫做第r＋1項的二項式系數(shù)． 類型一　二項式定理的正用、逆用 引申探究 將本例(1)改為求(2x－)5的展開式．例1　(1)求(3＋)4的展開式． 　 　 　 　 (2)化簡：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 　 　 　 　 反思與感悟　(1)(a＋b)n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項的次數(shù)和等于n.②字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n. (2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏． 跟蹤訓練1　化簡(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 　 　 類型二　二項展開式的通項 例2　已知二項式(3－)10. (1)求展開式第4項的二項式系數(shù)； (2)求展開式第4項的系數(shù)； (3)求第4項． 　 　 　 反思與感悟　(1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(r∈{0,1,2，…，n})，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念． (2)第r＋1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為C.例如，在(1＋2x)7的展開式中，第四項是T4＝C17－3(2x)3，其二項式系數(shù)是C＝35，而第四項的系數(shù)是C23＝280. 跟蹤訓練2　已知n展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162. (1)求n的值； (2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數(shù)． 　 　 　 　 　 例3　已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項． (1)求n； (2)求含x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)求二項展開式的特定項的常見題型 ①求第r項，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的項(或xpyq的項)；③求常數(shù)項；④求有理項． (2)求二項展開式的特定項的常用方法 ①對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)． ②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解． ③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致． 跟蹤訓練3　(1)若9的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝________. (2)已知n為等差數(shù)列－4，－2,0，…的第六項，則(x＋)n的二項展開式的常數(shù)項是________． 1．(x＋2)8的展開式中x6的系數(shù)是________． 2．二項式(x＋)12的展開式中的常數(shù)項是第________項． 3．已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則a＝________. 4．化簡：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________. 5．求(＋)4的展開式． 　 　 　 　 1．求二項展開式的特定項應注意的問題 通項公式的主要作用是求展開式中的特殊項，常見的題型有：①求第r項；②求含xr(或xpyq)的項；③求常數(shù)項；④求有理項．其中求有理項時一般根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性來求解．另外，若通項中含有根式，一般把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，以減少計算中的錯誤． 2．二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別 二項式系數(shù)C與展開式中對應項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可以為負． 答案精析 問題導學 知識點 思考1　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考2　(a＋b)3的展開式有4項，每項的次數(shù)是3；(a＋b)4的展開式有5項，每一項的次數(shù)為4. 思考3　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． 梳理　(1)右邊的多項式　n＋1 (2)Can－rbr　Can－rbr　(3)C(r＝0,1,2，…，n) 題型探究 例1　(1)解　方法一　(3＋)4＝ (3)4＋C(3)3()＋C(3)2()2＋C(3)()3＋C()4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　(3＋)4＝()4＝(1＋3x)4＝[1＋C3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 引申探究 解　方法一　(2x－)5＝C(2x)5－ C(2x)4＋C(2x)3()2－ C(2x)2()3＋C(2x)()4－ C()5＝32x5－80x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝[(2x3－1)]5＝－(1－2x3)5＝－[1－C(2x3)＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－ C(2x3)5]＝－＋－＋－80x2＋32x5. 跟蹤訓練1　解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 例2　解　(3－)10的展開式的通項是 Tr＋1＝C(3)10－r(－)r ＝C310－r(－)r(r＝0,1,2，…，10)． (1)展開式的第4項(r＝3)的二項式系數(shù)為C＝120. (2)展開式的第4項的系數(shù)為 C37(－)3＝－77 760. (3)展開式的第4項為T4＝T3＋1 ＝－77 760. 跟蹤訓練2　解　(1)因為T3＝C()n－22＝4C， T2＝C()n－1＝－2C， 依題意，得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)設第r＋1項含x3項，則Tr＋1＝C()9－rr＝(－2)rC，所以＝3，r＝1， 所以第二項為含x3的項，T2＝－2Cx3＝－18x3. 二項式系數(shù)為C＝9. 例3　解　通項公式為 Tr＋1＝C (－3)r＝C(－3)r. (1)∵第6項為常數(shù)項， ∴當r＝5時，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6)＝2， ∴所求的系數(shù)為C(－3)2＝405. (3)由題意，得令 ＝t(t∈Z)， 則10－2r＝3t，即r＝5－t. ∵r∈Z， ∴t應為偶數(shù)． 令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8. ∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2. 跟蹤訓練3　(1)1 解析　展開式的通項為Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．當9－2r＝3時，解得r＝3，代入得x3的系數(shù)，根據(jù)題意得C(－a)3＝－84，解得a＝1. (2)160 解析　由題意得n＝6，∴Tr＋1＝2rCx6－2r，令6－2r＝0得r＝3，∴常數(shù)項為C23＝160. 當堂訓練 1．112　2.9　3.－6　4.x5 5．解　(＋)4＝C()4＋C()3＋C()2()2＋C()3＋ C()4＝x2＋4x＋6＋＋.