2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)16 空間圖形的公理4及等角定理庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)16 空間圖形的公理4及等角定理 公理4：兩條直線(xiàn)平行于同一條直線(xiàn),則這兩條直線(xiàn)平行． 等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 【例】已知空間兩個(gè)角α，β，α與β的兩邊對(duì)應(yīng)平行，且α＝60，則β等于( ) A．60 B．120 C．30 D．60或120 【答案】D 【解析】由等角定理可知，β與α相等或互補(bǔ)，故β＝60或120． 【思路歸納】空間中證明兩個(gè)角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，還可以利用平行四邊形的對(duì)角相等．在利用等角定理時(shí)，關(guān)鍵是弄清楚兩個(gè)角對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系． 1．如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有( ) A．3條 B．4條 C．5條 D．6條 【答案】B 2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30，則∠PQR等于( ) A．30 B．30或150 C．150 D．以上結(jié)論都不對(duì) 【答案】B 【解析】∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同，∴∠PQR＝30或150． 【解題技巧】要明確等角定理的兩個(gè)條件，即兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，這兩個(gè)條件缺一不可． 3．直線(xiàn)a，b，ｃ，d滿(mǎn)足a∥b，b∥ｃ，ｃ∥d，則a與d的位置關(guān)系是________． 【答案】平行 【解析】∵a∥b，b∥ｃ，ｃ∥d，∴由公理4可知a∥d． 4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)． （1）∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同； （2）∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反． 【答案】 （1）∠D1B1C1 （2）∠B1D1A1 5．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且＝＝．若BD＝6 cm，梯形EFGH的面積為28 cm2，則平行線(xiàn)EH，F(xiàn)G間的距離為_(kāi)_______． 【答案】 8 cm 【解析】 在△BCD中，∵＝＝， ∴GF∥BD，＝，∴FG＝4 cm． 在△ABD中，∵點(diǎn)E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)， ∴EH＝BD＝3(cm)． 設(shè)EH，F(xiàn)G間的距離為d cm，則(4＋3)d＝28，∴d＝8． 6．長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)． （1）求證：D1E∥BF； （2）求證：∠B1BF＝∠A1ED1． （2）∵ED1∥BF，BB1∥EA1， 又∠B1BF與∠A1ED1的對(duì)應(yīng)邊方向相同， ∴∠B1BF＝∠A1ED1． 【方法技巧】1．應(yīng)用公理4證明兩條直線(xiàn)平行時(shí)，其關(guān)鍵是尋找第三條直線(xiàn)，只有具備兩條直線(xiàn)均平行于這條直線(xiàn)時(shí)，這兩條直線(xiàn)才相互平行． 2．證明兩個(gè)角相等，一般有三種途徑： （1）利用等角定理； （2）利用三角形相似； （3）利用三角形全等． 1．兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形( ) A．全等 B．相似 C．僅有一個(gè)角相等 D．無(wú)法判斷 【答案】B 【解析】由題意知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故這兩個(gè)三角形相似． 2．已知空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是( ) A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD) C．MN＝(AC＋BD) D．MN＜(AC＋BD) 3．已知分別為空間四邊形各邊的中點(diǎn)，若對(duì)角線(xiàn)，則的值是（ ） A．5 B．10 C．12 D．不能確定 【答案】B 4．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，求證： （1）∠ABC＝∠A1B1C1； （2）∠A1D1A＝∠B1C1B． 【解析】 （1）如下圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得：A1B1∥AB，BC∥B1C1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1． （2）如上圖在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中， 由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得：D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴四邊形ABC1D1為平行四邊形． ∴AD1∥BC1且A1D1∥B1C1，并且方向相同， ∴∠A1D1A＝∠B1C1B． 樹(shù)葉上的等角定理 樹(shù)葉是植物進(jìn)行光合作用、制造養(yǎng)分的主要器官．它能為人類(lèi)釋放氧氣，提供食物，遮風(fēng)擋雨．有的樹(shù)葉的脈絡(luò)清晰可見(jiàn)，如下左圖．