新編【創(chuàng)新方案】高考數學理一輪突破熱點題型：第2章 第3節(jié)　函數的奇偶性與周期性

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1、 第三節(jié)　函數的奇偶性與周期性 考點一 函數奇偶性的判斷 　 [例1]　(1)若函數f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為R，則(　　) A．f(x)與g(x)均為偶函數 B．f(x)為偶函數，g(x)為奇函數 C．f(x)與g(x)均為奇函數 D．f(x)為奇函數，g(x)為偶函數 (2)下列函數： ①f(x)＝＋；②f(x)＝x3－x； ③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝ln. 其中奇函數的個數是(　　) A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4 [自主解答]　(1)由f(－

2、x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)為偶函數，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－ 3－x)＝－g(x)可知g(x)為奇函數． (2)①f(x)＝＋的定義域為{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0， 則f(x)＝＋既是奇函數又是偶函數； ②f(x)＝x3－x的定義域為R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)， 則f(x)＝x3－x是奇函數； ③由x＋＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋)的定義域為R， 又f(－x)＝ln (－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，則f(x)＝ln(x＋)為奇函數； ④由＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝

3、ln的定義域為(－1,1)， 又f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，則f(x)為奇函數． [答案]　(1)B　(2)D 【互動探究】 若將本例(2)中①對應的函數改為“f(x)＝＋”，試判斷其奇偶性． 解：∵函數f(x)＝＋的定義域為{1}，不關于原點對稱， ∴函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數．　　　　 【方法規(guī)律】 判斷函數奇偶性的方法 (1)判斷函數的奇偶性，首先看函數的定義域是否關于原點對稱；在定義域關于原點對稱的條件下，再化簡解析式，根據f(－x)與f(x)的關系作出判斷． (2)分段函數指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數，分段函數奇偶性的

4、判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性． 判斷下列各函數的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)由得，定義域為(－1,1]，關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數． (2)由得，定義域為(－1,0)∪(0,1)．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函數f(x)為奇函數． (3)顯然函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． ∵當x＜0時

5、，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知，對于定義域內的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數f(x)為奇函數． 考點二 函數奇偶性的應用 　 [例2]　(1)(20xx·湖南高考)已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 (2)(20xx·重慶高考)已知函數f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，

6、f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 (3)已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，且在(－∞，0]上是減函數，若f(a)≥f(2)，則實數a的取值范圍是________． [自主解答]　(1)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，則有解得g(1)＝3. (2)∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③ 又∵lg(log210)＝lg＝lg(

7、lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f(lg(log2 10))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8，∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3. (3)∵y＝f(x)是R上的偶函數，且在(－∞，0]上是減函數，∴函數y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函數．∴當a＞0時，由f(a)≥f(2)可得a≥2，當a＜0時，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以實數a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． [答案]　(1)B　(2)C　(3)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【互動探究】 若本例(3)

8、中的f(x)為奇函數，求實數a的取值范圍． 解：因為f(x)為奇函數，且在(－∞，0]上是減函數，所以f(x)在R上為減函數．又f(a)≥f(2)，故a≤2，即實數a的取值范圍為(－∞，2]．　　　 【方法規(guī)律】 與函數奇偶性有關的問題及解決方法 (1)已知函數的奇偶性，求函數值 將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解． (2)已知函數的奇偶性求解析式 將待求區(qū)間上的自變量，轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)已知函數的奇偶性，求函數解析式中參數的值 常常利用待定系數法：利用f(x)±f(

9、－x)＝0得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程求解． (4)應用奇偶性畫圖象和判斷單調性 利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調性． 1．若定義在R上的偶函數f(x)和奇函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) 解析：選D　∵f(x)＋g(x)＝ex，① ∴f(－x)＋g(－x)＝e－x. 又∵f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)－g(x)＝e－x.② 由①②得解得g(

10、x)＝(ex－e－x)． 2．(20xx·杭州模擬)設f(x)為定義在R上的奇函數．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數)，則f(－1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：選A　因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝ －1.所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 考點三 函數的周期性 　 [例3]　定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x＜3時，

11、f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) 　 A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 [自主解答]　由f(x＋6)＝f(x)可知，函數f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f (2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338. [答案]　B 【方法規(guī)律】 函數周期性的判定 判斷

12、函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題，是高考考查的重點問題． 設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為________． 解析：因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，所以＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.① 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.② 由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10. 答案：－10 高頻考點 考點四 函數性質的綜合

13、應用 　 1．高考常將函數的單調性、奇偶性及周期性相結合命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題． 2．高考對函數性質綜合應用的考查主要有以下幾個命題角度： (1)單調性與奇偶性相結合； (2)周期性與奇偶性相結合； (3)單調性、奇偶性與周期性相結合． [例4]　(1)(20xx·北京高考)下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x| (2)(20xx·南昌模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)

14、間[0,2]上是增函數，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (3)(20xx·浙江高考)設函數f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________. [自主解答]　(1)A中y＝是奇函數，A不正確；B中y＝e－x＝x是非奇非偶函數，B不正確；C中y＝－x2＋1是偶函數且在(0，＋∞)上是單調遞減的，C正確；D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函數，D不正確．故選C. (2)∵f(x)滿足f

15、(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)． (3)f＝f＝f＝＋1＝. [答案]　(1)C　(2)D　(3) 函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略 (1)函數單調性與奇偶

16、性的綜合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性． (2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解． (3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解． 1．函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(　　) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪

17、(0,1) 解析：選C　f(x)的圖象如圖． 當x∈(－1,0)時，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；當x∈(0,1)時，由xf(x)<0得x∈?； 當x∈(1,3)時，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)． 2．(20xx·濰坊模擬)已知函數f(x＋1)是定義在R上的奇函數，若對于任意給定的不相等實數x1、x2，不等式(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，則不等式f(1－x)＜0的解集為________． 解析：∵f(x＋1)是定義在R上的奇函數，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，則f(1)＝0.又∵(x1－x2)·[f(

18、x1)－f(x2)]＜0，∴f(x)在R上單調遞減，∵f(1－x)＜0＝f(1)，∴1－x＞1，解得x＜0，∴不等式f(1－x)＜0的解集為(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 3．(20xx·麗水模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數．若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. 解析：∵f(x)為奇函數并且f(x－4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y

19、＝f(x)的圖象關于x＝2對稱，并且是周期為8的周期函數． ∵f(x)在[0,2]上是增函數，∴f(x)在[－2,2]上是增函數，在[2,6]上為減函數，據此可畫出y＝f(x)的圖象， 其圖象也關于x＝－6對稱，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8 ————————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1條規(guī)律——奇、偶函數定義域的特點 　奇、偶函數的定義域關于原點對稱． 函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件． 2個性質——奇、偶函數的兩個性質 　(1)若奇函數f(x)在x＝

20、0處有定義，則f(0)＝0. (2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3條結論——與周期性和對稱性有關的三條結論 　(1)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱． (2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數． (3)若對于定義域內的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T＝2|a－b|.