新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題05 圓錐曲線高考聯(lián)考模擬理數(shù)試題分項(xiàng)版解析解析版 Word版含解析
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1、 第一部分 20xx高考試題 圓錐曲線 1. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 考點(diǎn):雙曲線的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】雙曲線知識(shí)一般作為客觀題學(xué)生出現(xiàn),主要考查雙曲線幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c不是c,這一點(diǎn)易出錯(cuò). 2.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1,則a=( ) (A) (B) (C) (D)2
2、
【答案】A
【解析】
試題分析:圓的方程可化為,所以圓心坐標(biāo)為,由點(diǎn)到直線的距離公式得:
,解得,故選A.
考點(diǎn): 圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式.
【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法
(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與半徑長(zhǎng)r的大小關(guān)系來(lái)判斷.
若d>r,則直線與圓相離;
若d=r,則直線與圓相切;
若d 3、而方程組也有唯一一組實(shí)數(shù)解,那么直線與圓相切;
如果Δ>0,方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,從而方程組也有兩組不同的實(shí)數(shù)解,那么直線與圓相交.
提醒:直線與圓的位置關(guān)系的判斷多用幾何法.
3.【高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且=2,則直線OM的斜率的最大值為( )
(A) (B) (C) (D)1
【答案】C
【解析】
考點(diǎn):拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),基本不等式的應(yīng)用.
【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),結(jié)合題意要求,利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo),是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的 4、常用方法,由于要求最大值,因此我們把斜率用參數(shù)表示出后,可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù),或不等式的知識(shí)求出最值,本題采用基本不等式求出最值.
4.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知是雙曲線的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,與軸垂直,,則的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)2
【答案】A
【解析】
試題分析:因?yàn)榇怪庇谳S,所以,因?yàn)椋?,化?jiǎn)得,故雙曲線離心率.選A.
考點(diǎn):雙曲線的性質(zhì).離心率.
【名師點(diǎn)睛】區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c 5、2=a2+b2.雙曲線的離心率e∈(1,+∞),而橢圓的離心率e∈(0,1).
5.【20xx高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1:+y2=1(m>1)與雙曲線C2:–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m 6、y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是_______.
【答案】
【解析】
試題分析:
考點(diǎn):拋物線的定義.
【思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,進(jìn)而可得點(diǎn)到軸的距離.
7.【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線:與圓交于兩點(diǎn),過(guò)
分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn),若,則__________________.
【答案】4
【解析】
試題分析:因?yàn)椋覉A的半徑為,所以圓心到直線的距離為,則由,解得,代入直線的方程,得,所以直線的傾斜角為,由平面幾何知識(shí)知在梯形中,.
7、考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系.
【技巧點(diǎn)撥】解決直線與圓的綜合問(wèn)題時(shí),一方面,要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法(即幾何問(wèn)題代數(shù)化),把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;另一方面,由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密,因此,準(zhǔn)確地作出圖形,并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件,利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決.
8.【20xx高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【答案】B
【解析】
試題分析:如圖,設(shè)拋物線方程為,交軸于點(diǎn),則,即點(diǎn)縱 8、坐標(biāo)為,則點(diǎn)橫坐標(biāo)為,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.
考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問(wèn)題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過(guò)多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因.
9.【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓:的左焦點(diǎn),分
別為的左,右頂點(diǎn).為上一點(diǎn),且軸.過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)
.若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn),則的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
考點(diǎn):橢圓方程與幾何性質(zhì).
9、【思路點(diǎn)撥】求解橢圓的離心率問(wèn)題主要有三種方法:(1)直接求得的值,進(jìn)而求得的值;(2)建立的齊次等式,求得或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式求解;(3)通過(guò)特殊值或特殊位置,求出.
10.【20xx高考天津理數(shù)】已知雙曲線(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的
圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn),四邊形的ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】
試題分析:根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)A在第一象限,,∴,
∴,故雙曲線的方程為,故選D.
考點(diǎn):雙曲線漸近線
【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點(diǎn):
(1)確定雙曲線的標(biāo) 10、準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位”條件,兩個(gè)“定量”條件,“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,“定量”是指確定a,b的值,常用待定系數(shù)法.
(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?,以避免討論?
①若雙曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí),可設(shè)其方程為Ax2+By2=1(AB<0).
②若已知漸近線方程為mx+ny=0,則雙曲線方程可設(shè)為m2x2-n2y2=λ(λ≠0).
11.【20xx高考江蘇卷】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓 的右焦點(diǎn),直線 與橢圓交于兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是 ▲ .
【答案】
【解析】由題意得,因此
考點(diǎn):橢圓離心率
【名師點(diǎn)睛】橢圓離 11、心率的考查,一般分兩個(gè)層次,一是由離心率的定義,只需分別求出,這注重考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中量的含義,二是整體考查,求的比值,這注重于列式,即需根據(jù)條件列出關(guān)于的一個(gè)齊次等量關(guān)系,通過(guò)解方程得到離心率的值.
12.【20xx高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線,(t為參數(shù),p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)A
作l的垂線,垂足為B.設(shè)C(p,0),AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為,則p的
值為_________.
【答案】
考點(diǎn):拋物線定義
【名師點(diǎn)睛】1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí),一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理.
2.若P(x0,y0)為拋物線y2 12、=2px(p>0)上一點(diǎn),由定義易得|PF|=x0+;若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長(zhǎng)為|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出;若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程,則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到.
13.【20xx高考山東理數(shù)】已知雙曲線E: (a>0,b>0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是_______.
【答案】2
【解析】
試題分析:假設(shè)點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B在第二象限,則,,所以,,由,得離心率或(舍去),所以E的離心率為2.
考點(diǎn):雙曲 13、線的幾何性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì).本題解答,利用特殊化思想,通過(guò)對(duì)特殊情況的討論,轉(zhuǎn)化得到一般結(jié)論,降低了解題的難度.本題能較好的考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想、一般與特殊思想及基本運(yùn)算能力等.
14.【高考北京理數(shù)】雙曲線(,)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn),若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則_______________.
【答案】2
【解析】
試題分析:∵是正方形,∴,即直線方程為,此為雙曲線的漸近線,因此,又由題意,∴,.故填:2.
考點(diǎn):雙曲線的性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中,漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì),也是考查的 14、重點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)漸近線:(1)掌握方程;(2)掌握其傾斜角、斜率的求法;(3)會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).
求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問(wèn)題相類似.因此,雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式,當(dāng),,時(shí)為橢圓,當(dāng)時(shí)為雙曲線.
15.【20xx高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線的焦距是________▲________.
【答案】
【解析】
試題分析:.故答案應(yīng)填:,焦距為2c[]
考點(diǎn):雙曲線性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查雙曲線基本性質(zhì),而雙曲線性質(zhì)是與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程息息相關(guān),明確雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中量所對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵: 15、揭示焦點(diǎn)在x軸,實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為,焦距為,漸近線方程為,離心率為
16.【20xx高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(I)證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;
(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)()(II)
【解析】
試題分析:根據(jù)可知軌跡為橢圓,利用橢圓定義求方程;(II)分斜率是否存在設(shè)出直線方程,當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)其方程為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式把 16、面積表示為x斜率k的函數(shù),再求最值.
(Ⅱ)當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,,.
由得.
則,.
所以.
過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線:,到的距離為,所以
.故四邊形的面積
.
可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為.
當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,,四邊形的面積為12.
綜上,四邊形面積的取值范圍為.
考點(diǎn):圓錐曲線綜合問(wèn)題
【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個(gè)很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成, .其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問(wèn)題要重視方程思想、函數(shù)思想及化 17、歸思想的應(yīng)用.
17.【20xx高考山東理數(shù)】(本小題滿分14分)
平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:?的離心率是,拋物線E:的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
(i)求證:點(diǎn)M在定直線上;
(ii)直線與y軸交于點(diǎn)G,記的面積為,的面積為,求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)見解析;(ii)的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程;(Ⅱ)(i)由 18、點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立,進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上;(ii)分別列出,面積的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(Ⅱ)(i)設(shè),由可得,
所以直線的斜率為,
因此直線的方程為,即.
設(shè),聯(lián)立方程
得,
由,得且,
因此,
將其代入得,
因?yàn)?,所以直線方程為.
聯(lián)立方程,得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,
即點(diǎn)在定直線上.
(ii)由(i)知直線方程為,
令得,所以,
又,
所以,
,
所以,
令,則,
當(dāng),即時(shí),取得最大值,此時(shí),滿足,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,因此的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
考點(diǎn):1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì);2.直 19、線與圓錐曲線的位置關(guān)系;3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高,是一道難題.解答此類題目,利用的關(guān)系,確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎(chǔ),通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.
18.【20xx高考江蘇卷】(本小題滿分16分)
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)
(1)設(shè)圓與軸 20、相切,與圓外切,且圓心在直線上,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn),且,求直線的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)滿足:存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【答案】(1)(2)(3)
試題解析:解:圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心M(6,7),半徑為5,.
(1)由圓心在直線x=6上,可設(shè).因?yàn)镹與x軸相切,與圓M外切,
所以,于是圓N的半徑為,從而,解得.
因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)因?yàn)橹本€l||OA,所以直線l的斜率為.
設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,
則圓心M到直線l的距離
因?yàn)?
而
所以,解得m=5或m=-15.
21、故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
考點(diǎn):直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算
【名師點(diǎn)睛】直線與圓中三個(gè)定理:切線的性質(zhì)定理,切線長(zhǎng)定理,垂徑定理;兩個(gè)公式:點(diǎn)到直線距離公式及弦長(zhǎng)公式,其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑關(guān)系上,這是解決直線與圓的根本思路.對(duì)于多元問(wèn)題,也可先確定主元,如本題以為主元,揭示在兩個(gè)圓上運(yùn)動(dòng),從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有交點(diǎn)這一位置關(guān)系,這也是解決直線與圓問(wèn)題的一個(gè)思路,即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓位置關(guān)系.
19.【20xx高考江蘇卷】(本小題滿分10分)
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線,拋物線
22、
(1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.
①求證:線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為;
②求p的取值范圍.
【答案】(1)(2)①詳見解析,②
(2)設(shè),線段PQ的中點(diǎn)
因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線對(duì)稱,所以直線垂直平分線段PQ,
于是直線PQ的斜率為,則可設(shè)其方程為
①由消去得
因?yàn)镻 和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn),所以
從而,化簡(jiǎn)得.
方程(*)的兩根為,從而
因?yàn)樵谥本€上,所以
因此,線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為
②因?yàn)樵谥本€上
所以,即
由①知,于是,所以
因此的取值范圍為
考點(diǎn):直線與拋物線位置關(guān)系
【名 23、師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮:
(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;
(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;
(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;
(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;
(5)利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.
20.【20xx高考天津理數(shù)】(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓()的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,已知,其中 為原點(diǎn),為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(不在軸上),垂直于的直線與交于點(diǎn),與軸交 24、于點(diǎn),若,且,求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,只需確定量,由,得,再利用,可解得,(Ⅱ)先化簡(jiǎn)條件:,即M再OA中垂線上,,再利用直線與橢圓位置關(guān)系,聯(lián)立方程組求;利用兩直線方程組求H,最后根據(jù),列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍
解得,或,由題意得,從而.
由(Ⅰ)知,,設(shè),有,.由,得,所以,解得.因此直線的方程為.
設(shè),由方程組消去,解得.在中,,即,化簡(jiǎn)得,即,解得或.
所以,直線的斜率的取值范圍為.
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線方程
【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮:
25、(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;
(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;
(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;
(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;
(5)利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.
21.【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線:的焦點(diǎn)為,平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn),交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).
(I)若在線段上,是的中點(diǎn),證明;
(II)若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)出與軸垂直的兩條直 26、線,然后得出的坐標(biāo),然后通過(guò)證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果了;(Ⅱ)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),利用面積可求得,設(shè)出的中點(diǎn),根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結(jié)合求解.
試題解析:由題設(shè).設(shè),則,且
.
記過(guò)兩點(diǎn)的直線為,則的方程為. .....3分
(Ⅰ)由于在線段上,故.
記的斜率為,的斜率為,則,
所以. ......5分
(Ⅱ)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,
則.
由題設(shè)可得,所以(舍去),.
設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.
當(dāng)與軸不垂直時(shí),由可得.
而,所以.
當(dāng)與軸垂直時(shí),與重合,所以,所求軌跡方程為. ....12分
考點(diǎn):1、拋物線定義與幾何性質(zhì);2、直線與拋物線 27、位置關(guān)系;3、軌跡求法.
【方法歸納】(1)解析幾何中平行問(wèn)題的證明主要是通過(guò)證明兩條直線的斜率相等或轉(zhuǎn)化為利用向量證明;(2)求軌跡的方法在高考中最??嫉氖侵苯臃ㄅc代入法(相關(guān)點(diǎn)法),利用代入法求解時(shí)必須找準(zhǔn)主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn).
22.【20xx高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,設(shè)橢圓(a>1).
(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a、k表示);
(II)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值
范圍.
【答案】(I);(II).
試題解析:(I)設(shè)直線被橢圓截得的線段為,由得
,
故
,.
因此
.
故
,
28、
所以.
由于,,得
,
因此
, ①
因?yàn)棰偈疥P(guān)于,的方程有解的充要條件是
,所以.
因此,任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為
,
由得,所求離心率的取值范圍為.
考點(diǎn):1、弦長(zhǎng);2、圓與橢圓的位置關(guān)系;3、橢圓的離心率.
【思路點(diǎn)睛】(I)先聯(lián)立和,可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),再利用弦長(zhǎng)公式可得直線被橢圓截得的線段長(zhǎng);(II)利用對(duì)稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍,進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍.
23.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,是的左頂點(diǎn),斜率為的直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)在上,.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的面 29、積;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先求直線的方程,再求點(diǎn)的縱坐標(biāo),最后求的面積;(Ⅱ)設(shè),,將直線的方程與橢圓方程組成方程組,消去,用表示,從而表示,同理用表示,再由求.
(II)由題意,,.
將直線的方程代入得.
由得,故.
由題設(shè),直線的方程為,故同理可得,
由得,即.
當(dāng)時(shí)上式不成立,
因此.等價(jià)于,
即.由此得,或,解得.
因此的取值范圍是.
考點(diǎn):橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系.
【名師點(diǎn)睛】由直線(系)和圓錐曲線(系)的位置關(guān)系,求直線或圓錐曲線中某個(gè)參數(shù)(系數(shù))的范圍問(wèn)題,常把所求參數(shù)作為函數(shù), 30、另一個(gè)元作為自變量求解.
24.【高考北京理數(shù)】(本小題14分)
已知橢圓C: ()的離心率為 ,,,,的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)的橢圓上一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)M,直線PB與軸交于點(diǎn)N.
求證:為定值.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)離心率為,即,的面積為1,即,橢圓中列方程求解;(2)根據(jù)已知條件分別求出,的值,求其乘積為定值.
試題解析:(1)由題意得解得.
所以橢圓的方程為.
[]
令,得.從而.
所以
.
當(dāng)時(shí),,
所以.
綜上,為定值.
考點(diǎn):1.橢圓方程及其性質(zhì);2.直線與橢圓的位置關(guān)系.
31、
【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種:(1)從特殊入手,求出定點(diǎn)、定值、定線,再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān);(2)直接計(jì)算、推理,并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn),設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
25.【高考四川理數(shù)】(本小題滿分13分)
已知橢圓E:的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(Ⅰ)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l’平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù),使得,并求 32、的值.
【答案】(Ⅰ),點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1);(Ⅱ).
【解析】
試題解析:(I)由已知,,即,所以,則橢圓E的方程為.
由方程組 得.①
方程①的判別式為,由,得,
此方程①的解為,
所以橢圓E的方程為.
點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).
(II)由已知可設(shè)直線 的方程為,
有方程組 可得
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為( ),.
設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為 .
由方程組 可得.②
方程②的判別式為,由,解得.
由②得.
所以 ,
同理,
所以
.
故存在常數(shù),使得.
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),考查學(xué)生的分析問(wèn)題 33、解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓(圓錐曲線)的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,同時(shí)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后,可得,再把用表示出來(lái),并代入剛才的,這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法.可減少計(jì)算量,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
26.【20xx高考上海理數(shù)】(本題滿分14)
有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河,收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是,菜地分為兩個(gè)區(qū)域和,其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近,中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近,而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等,現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系,其中原點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),如圖
(1) 求菜地內(nèi)的分界線的方程
(2) 菜 34、農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍,由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過(guò)點(diǎn)的矩形的面積,及五邊形的面積,并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值
【答案】(1)().(2)五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值”.
【解析】
試題分析:(1)由上的點(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等,知是以為焦點(diǎn)、以
為準(zhǔn)線的拋物線在正方形內(nèi)的部分.
(2)計(jì)算矩形面積,五邊形面積.進(jìn)一步計(jì)算矩形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對(duì)值,五邊形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對(duì)值,比較二者大小即可.
試題解析:(1)因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等,所以是以為焦點(diǎn)、以
為準(zhǔn)線的拋物線在正方形內(nèi)的部分,其 35、方程為().
考點(diǎn):1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程;2.面積.
【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高.解答此類題目,往往利用的關(guān)系或曲線的定義,確定圓錐曲線方程是基礎(chǔ),通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題“出奇”之處在于有較濃的“幾何味”,研究幾何圖形的面積..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)等.
27. 【20xx高考上海理數(shù)】(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分 36、8分.
雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)。
(1)若的傾斜角為,是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè),若的斜率存在,且,求的斜率. 學(xué)科&網(wǎng)
【答案】(1).(2).
【解析】
試題分析:(1)設(shè).根據(jù)是等邊三角形,得到,解得.
(2)(2)設(shè),,直線與雙曲線方程聯(lián)立,得到一元二次方程,根據(jù)與雙曲線交于兩點(diǎn),可得,且.
設(shè)的中點(diǎn)為.由,計(jì)算,從而.
得出的方程求解.
試題解析:(1)設(shè).
由題意,,,,
因?yàn)槭堑冗吶切?,所以?
即,解得.
故雙曲線的漸近線方程為.
考點(diǎn):1.雙曲線的幾何性質(zhì);2.直線與雙曲線的位置關(guān)系;3.平面 37、向量的數(shù)量積.
【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高,是一道難題.解答此類題目,利用的關(guān)系,確定雙曲線(圓錐曲線)方程是基礎(chǔ),通過(guò)聯(lián)立直線方程與雙曲線(圓錐曲線)方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.
28.【20xx高考上海理數(shù)】已知平行直線,則的距離___________.
【答案】[]
【解析】試題分析:
利用兩平行線間距離公式得.
考點(diǎn):兩平行 38、線間距離公式.
【名師點(diǎn)睛】確定兩平行線間距離,關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件,即的系數(shù)應(yīng)該分別相同,本題較為容易,主要考查考生的基本運(yùn)算能力.
第二部分 20xx優(yōu)質(zhì)模擬試題
1.【20xx湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考,理3】若是2和8的等比中項(xiàng),則圓錐曲線的離心率是( ?。?
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】由,得,當(dāng)時(shí),曲線為橢圓,其離心率為;當(dāng)時(shí),曲線為雙曲線,其離心率為,故選B.
2. 【20xx湖南六校聯(lián)考,理12】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),不同兩點(diǎn)在橢圓上,且關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè)直線的斜率分別為,則當(dāng)取最小值時(shí),橢圓的離心率為( )
A. 39、 B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)則,∴,從而,設(shè),令,則即,,當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào),取等號(hào)的條件一致,此時(shí),∴.故選D.
3. 【20xx安徽合肥第一次質(zhì)檢,理16】存在實(shí)數(shù),使得圓面恰好覆蓋函數(shù) 圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)共三個(gè),則正數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
4. 【20xx安徽江南十校聯(lián)考,理4】已知是雙曲線的一條漸近線,是上的一點(diǎn),是的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則到軸的距離為
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】,不妨設(shè)的方程為,設(shè).由.得,故到軸的距離為,故選C. 40、
5. 【20xx河北石家莊質(zhì)檢二,理9】已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于, 兩點(diǎn),若的中點(diǎn)在該雙曲線上,為坐標(biāo)原點(diǎn),則的面積為( ?。?
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由題意得,雙曲線的兩條漸近線方程為,設(shè),,∴中點(diǎn),∴,∴=,故選C.
6. 【20xx湖南師大附中等四校聯(lián)考,理13】若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則_____.
【答案】.
7.【20xx江西南昌一模,理16】已知拋物線C:x2 =4y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn).設(shè)直線l是拋物線C的切線,且l∥MN,P為l上一點(diǎn),則的最小值為__ 41、_________.
【答案】-14
【解析】設(shè):,代入拋物線方程,得,因?yàn)榕c拋物線相切,所以,解得,所以:.由拋物線的方程,知,所以:.設(shè),由,得,所以,所以.設(shè),則,,所以+=+=,所以的最小值為-14.
8.【20xx江西師大附中、鷹潭一中一聯(lián),理20】已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,M為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn),為其對(duì)稱軸上一點(diǎn),直線MA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí),△MON的面積為18.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記,若t值與M點(diǎn)位置無(wú)關(guān),則稱此時(shí)的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”,若沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(?。r(shí),, 同 42、號(hào),
又,
,
不論a取何值,t均與m有關(guān), 即時(shí),A不是“穩(wěn)定點(diǎn)”;
(ⅱ)時(shí),, 異號(hào).
又,
,
僅當(dāng),即時(shí),t與m無(wú)關(guān),
9.【20xx廣東廣州綜合測(cè)試一,理20】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),直線,分別與軸交于點(diǎn),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(Ⅰ) 設(shè)橢圓的方程為,
因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為,所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以.
由①②解得,,.所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn),,
設(shè)點(diǎn)(不妨設(shè)),則點(diǎn).
聯(lián)立方程組消去得.所以,則.
所以直線的方程為.
因?yàn)橹本€,分別與軸交于點(diǎn),,
令得,即點(diǎn).
同理可得點(diǎn).
所以.[]
設(shè)的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
則以為直徑的圓的方程為,
即.
令,得,即或.
故以為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn),.
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