新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第2節(jié)　古典概型

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1、 第2節(jié)　古典概型 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 古典概型的判斷與基本事件 1、3 古典概型的概率計(jì)算 2、5、6、7、8、9、10、12 綜合應(yīng)用 4、11、13、14、15、16 A組 一、選擇題 1.下列事件屬于古典概型的基本事件的是(　D　) (A)任意拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件 (B)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃,觀察其是否投中 (C)測(cè)量某天12時(shí)的教室內(nèi)溫度 (D)一先一后擲兩枚硬幣,觀察正反面出現(xiàn)的情況 解析:A項(xiàng)任意拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件,但各點(diǎn)

2、數(shù)之和不是等可能的,例如和為2的概率為136,和為3的概率為236=118,所以它不是等可能的,不是古典概型.B項(xiàng)顯然事件“投中”和事件“未投中”發(fā)生的可能性不一定相等,所以它也不是古典概型.C項(xiàng)其基本事件空間包含無限個(gè)結(jié)果,所以不是古典概型.D項(xiàng)含有4個(gè)基本事件,每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等,符合古典概型,故選D. 2.甲乙二人玩猜數(shù)字游戲,先由甲任想一數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜出的數(shù)字記為b,且a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,則稱甲乙“心有靈犀”,現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲,則他們“心有靈犀”的概率為(　D　) (A)13 (B)59 (C)23 (D)79

3、 解析:甲想一數(shù)字有3種結(jié)果,乙猜一種數(shù)字有3種結(jié)果,基本事件總數(shù)3×3=9.設(shè)甲乙“心有靈犀”為事件A,則A的對(duì)立事件B為“|a-b|>1”,即|a-b|=2,包含2個(gè)基本事件, ∴P(B)=29,∴P(A)=1-29=79,故選D. 3.中國(guó)作家莫言被授予諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng),成為有史以來首位獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的中國(guó)籍作家.某學(xué)校組織了4個(gè)學(xué)習(xí)小組.現(xiàn)從中抽出2個(gè)小組進(jìn)行學(xué)習(xí)成果匯報(bào),在這個(gè)試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)為(　C　) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:設(shè)4個(gè)學(xué)習(xí)小組為A,B,C,D,從中抽出2個(gè)的可能情況有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,

4、D)共6種.故選C. 4.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn),則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(　D　) (A)110 (B)18 (C)16 (D)15 解析:如圖所示,從正六邊形ABCDEF 的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn),可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn),剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形,有A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共15種.若要構(gòu)成矩形,只要選相對(duì)頂點(diǎn)即可,有A、D,B、E,C、F,共3種,故其概率為315=15,故選D. 5.(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),則取出的2

5、個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是(　B　) (A)12 (B)13 (C)14 (D)16 解析:從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)有六種情況:(1,2),(1,3), (1,4),(2,3),(2,4),(3,4),滿足條件的有(1,3),(2,4),故所求概率是26=13.故選B. 二、填空題 6.(20xx肇慶教學(xué)質(zhì)量評(píng)估)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是　　　　.? 解析:利用古典概型的概率公式求解,因?yàn)閺?,2,3,4中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù),有6種取法,其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的情況有1,2和2,4兩種,故所求概率是26=13.

6、答案:13 7.(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為5的概率是　　　　.? 解析:從1,2,3,4,5中任意取兩個(gè)不同的數(shù)共有(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10種.其中和為5的有(1,4),(2,3)2種. 由古典概型概率公式知所求概率為210=15. 答案:15 8.(高考重慶卷)若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排,則甲、乙兩人相鄰而站的概率為　　　　.? 解析:甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排有6種方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,其中甲、

7、乙相鄰的有4種.故所求概率P=46=23. 答案:23 9.(20xx南京模擬)在集合A={2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合B={1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為　　　　.? 解析:點(diǎn)P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6種情況,只有(2,1),(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=9的內(nèi)部,所求概率為26=13. 答案:13 10.(高考浙江卷)從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離為22的概率是　　　　.? 解析: 如圖所示,在正方

8、形ABCD中,O為中心,從五個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取兩個(gè),共有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),10種等可能情況.∵正方形的邊長(zhǎng)為1, ∴兩點(diǎn)距離為22的情況有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4種,故P=410=25. 答案:25 三、解答題 11.(20xx佛山質(zhì)檢)市民李先生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學(xué)在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其他道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機(jī)的.同一條道路去程和回程是否堵車互不影響.假設(shè)李先生早上需要先開車送小孩去丙

9、地上學(xué),再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班. (1)寫出李先生可能走的所有路線(比如DDA表示走D路從甲到丙,再走D路回到甲,然后走A路到達(dá)乙); (2)假設(shè)從甲到乙方向的道路B和從丙到甲方向的道路D道路擁堵,其他方向均通暢,但李先生不知道相關(guān)信息,那么從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少? 解:(1)李先生可能走的所有路線分別是DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC, EEA,EEB,EEC,EDA,EDB,EDC,共12種 情況. (2)從出發(fā)到回到上班地沒有遇到擁堵的走法有DEA,DEC,EEA,EEC共4種情況. 所以從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率 P

10、=412=13. 12.(20xx清遠(yuǎn)市調(diào)研)清遠(yuǎn)是個(gè)旅游城市,然而,清遠(yuǎn)的旅游景點(diǎn)多位于山區(qū)的自然村,若網(wǎng)絡(luò)不給力的話,怎么把美景發(fā)上微博呢?為此,清遠(yuǎn)移動(dòng)以“網(wǎng)絡(luò)到鎮(zhèn)、信息到村”為目標(biāo),施行網(wǎng)絡(luò)建設(shè)和業(yè)務(wù)拓展同步走的策略,積極建設(shè)基站,目前全市已建有2280個(gè)基站,其中包括570個(gè)國(guó)家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的3G基站. (1)若清遠(yuǎn)移動(dòng)公司按分層抽樣的方法從基站中抽取一個(gè)容量為8的樣本,則應(yīng)抽取多少個(gè)國(guó)家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的3G基站; (2)將(1)中的樣本看成一個(gè)總體,從中任取2個(gè)基站,求至少有1個(gè)國(guó)家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的3G基站被抽取的概率. 解:(1)設(shè)應(yīng)抽取x個(gè)國(guó)家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的3G基站, 則

11、82280=x570,即x=2. (2)樣本中,設(shè)2個(gè)國(guó)家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的3G基站為X1和X2,其他6個(gè)基站為Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,則從中取2個(gè)基站包括的基本事件有{X1,X2},{X1,Y1},{X1,Y2},{X1,Y3},{X1,Y4},{X1,Y5},{X1,Y6},{X2,Y1}, {X2,Y2},{X2,Y3},{X2,Y4},{X2,Y5},{X2,Y6},{Y1,Y2}{Y1,Y3},{Y1,Y4}, {Y1,Y5},{Y1,Y6},{Y2,Y3},{Y2,Y4},{Y2,Y5},{Y2,Y6},{Y3,Y4}{Y3,Y5}, {Y3,Y6},{Y4,Y5}

12、,{Y4,Y6},{Y5,Y6},共28個(gè). 設(shè)“從樣本中任取2個(gè)基站,至少有1個(gè)國(guó)家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的3G基站被抽取”為事件A,則它包括的基本事件有 {X1,X2},{X1,Y1},{X1,Y2},{X1,Y3},{X1,Y4},{X1,Y5},{X1,Y6},{X2,Y1}, {X2,Y2},{X2,Y3},{X2,Y4},{X2,Y5},{X2,Y6},共13個(gè). 則P(A)=1328,即所求的概率是1328. 13.(高考天津卷)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí).若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本

13、,其質(zhì)量指標(biāo)列表如下: 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號(hào) A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率; (2)在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品, ①用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果; ②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中,每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”,求

14、事件B發(fā)生的概率. 解:(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S,如下表: 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故該樣本的一等品率為610=0.6,從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)①在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7}, {A2,A9},{A4,A5},{A

15、4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15種. ②在該樣本的一等品中,綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為A1,A2, A5,A7,則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7}, {A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6種.所以P(B)=615=25. B組 14.(20xx銀川模擬)拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,那么直線xa+yb=1的斜率k≥-12的概率為(　D　) (A)19 (B)536 (C)16 (D)14 解析:記a,b的取值為數(shù)對(duì)(a,b),由題意知a,b的所有可能取值有(

16、1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),(3,1),(3,2),…, (3,6),(4,1),(4,2),…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1), (6,2),…,(6,6),共36種.由直線xa+yb=1的斜率k=-ba≥-12,知ba≤12,那么滿足題意的a,b可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1), (5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9種, 所以所求概率為936=14.故選D. 15.(20xx臨沂模擬)已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a

17、∈A,b∈A},則A∩B=B的概率是(　C　) (A)29 (B)13 (C)89 (D)1 解析:∵A∩B=B,∴B可能為,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.當(dāng)B=時(shí),a2-4b<0,滿足條件的a,b為a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3, b=3.當(dāng)B={1}時(shí),滿足條件的a,b為a=2,b=1.當(dāng)B={2},{3}時(shí),沒有滿足條件的a,b.當(dāng)B={1,2}時(shí),滿足條件的a,b為a=3,b=2.當(dāng)B={2,3}, {1,3}時(shí),沒有滿足條件的a,b,∴A∩B=B的概率為83×3=89.故選C. 16.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4

18、bx+1.設(shè)集合P={-1,1,2,3,4, 5},Q={-2,-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,則函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù)的概率為　　　　.? 解析:分別從集合P、Q中各任取一個(gè)數(shù),所有的可能情況有(-1,-2), (-1,-1),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,-2),(1,-1),(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,-2),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共36種,能使f(x)是增函數(shù),需a>0且2ba≤1,所以其中符合上述條件的有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3,1), (4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2)共16種, ∴P=1636=49. 答案:49