《新版高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓(xùn)練課件: 第7章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓(xùn)練課件: 第7章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學案 文 北師大版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
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2、 1
第三節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理
[考綱傳真] 1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.
(對應(yīng)學生用書第98頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.空間圖形的公理
(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).
3、
(2)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面(即可以確定一個平面).
(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.
(4)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.
推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.
推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.
推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.
(5)等角定理
空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.
2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
直線與直線
直線與平面
平面與平面
平行關(guān)系
圖形語言
4、
符號語言
a∥b
a∥α
α∥β
相交關(guān)系
圖形語言
符號語言
a∩b=A
a∩α=A
α∩β=l
獨有關(guān)系
圖形語言
符號語言
a,b是異面直線
aα
3. 異面直線所成的角
(1)定義:過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2(a∥l1,b∥l2),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a,b所成的角.
(2)范圍:.
[知識拓展]
異面直線的判定定理
經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的
5、打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于過A點的任意一條直線.( )
(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.( )
(3)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.( )
(4)若直線a不平行于平面α,且aα,則α內(nèi)的所有直線與a異面.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材改編)如圖7-3-1所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成的角的大小為( )
圖7-3-1
A.30° B.45°
C.60° D
6、.90°
C [連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求的角,又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.]
3.在下列命題中,不是公理的是( )
A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行
B.過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面
C.如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此
平面內(nèi)
D.如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的
公共直線
A [A不是公理,是個常用的結(jié)論,需經(jīng)過推理論證;B,C,D是平面的基本性質(zhì)公理.]
4.(20xx·山東高考)已知直線a,b分別在
7、兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
A [由題意知aα,bβ,若a,b相交,則a,b有公共點,從而α,β有公共點,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,則a,b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.故選A.]
5.若直線a⊥b,且直線a∥平面α,則直線b與平面α的位置關(guān)系是________.
b與α相交或bα或b∥α
(對應(yīng)學生用書第99頁)
空間圖形的公理及應(yīng)用
8、(1)以下命題中,正確命題的個數(shù)是( )
①不共面的四點中,其中任意三點不共線;
②若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;
③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;
④依次首尾相接的四條線段必共面.
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)如圖7-3-2,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證:
圖7-3-2
①E,C,D1,F(xiàn)四點共面;
②CE,D1F,DA三線共點.
B [(1)①中若有三點共線,則四點共面,不合題意,故①正確;②中若點A,
9、B,C在同一條直線上,則A,B,C,D,E不一定共面,故②錯誤;③中,直線b,c可能是異面直線,故③錯誤;④中,當四條線段構(gòu)成空間四邊形時,四條線段不共面,故④錯誤.]
(2)①如圖,連接EF,CD1,A1B.
∵E,F(xiàn)分別是AB,AA1的中點,
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F(xiàn)四點共面.
②∵EF∥CD1,EF
10、A,∴CE,D1F,DA三線共點.
[規(guī)律方法] 1.證明線共面或點共面的常用方法:
(1)直接法:證明直線平行或相交,從而證明線共面.
(2)納入平面法:先確定一個平面,再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).
(3)輔助平面法:先證明有關(guān)的點、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.
2.證明點共線問題的常用方法:
(1)基本性質(zhì)法:一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點,再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點都在這兩個平面的交線上.
(2)納入直線法:選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.
[變式訓(xùn)練1] (1)(20xx·上饒模擬)如圖7-
11、3-3所示,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ與CB的延長線交于點M,RQ與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K.給出以下命題:
圖7-3-3
①直線MN平面PQR;
②點K在直線MN上;
③M,N,K,A四點共面.
其中正確結(jié)論的序號為________.
【導(dǎo)學號:00090240】
①②③ [由題意知,M∈PQ,N∈RQ,K∈RP,
從而點M,N,K∈平面PQR.
所以直線MN平面PQR,故①正確.
同理可得點M,N,K∈平面BCD.
從而點M,N,K在平面PQR與平面BCD的交線上,即點K在直線MN上,故②正確.
因為
12、A?直線MN,從而點M,N,K,A四點共面,故③正確.]
(2)如圖7-3-4所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊AD,BE綊FA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點.
①證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
②C,D,F(xiàn),E四點是否共面?為什么?
圖7-3-4
[解] (1)證明:由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,得GH綊AD.
又BC綊AD,
∴GH綊BC,∴四邊形BCHG是平行四邊形.
(2)C,D,F(xiàn),E四點共面,理由如下:
由BE綊AF,G為FA的中點知BE綊GF,
∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH,∴
13、EF∥CH,
∴EF與CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F(xiàn),E四點共面.
空間直線的位置關(guān)系
(1)(20xx·金華模擬)已知a,b,c為三條不同的直線,且a平面α,b平面β,α∩β=c,給出下列命題:
①若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交;
②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直;
③若a∥b,則必有a∥C.
其中真命題有________.(填序號) 【導(dǎo)學號:00090241】
(2)(20xx·鄭州模擬)在圖7-3-5中,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________(填上所有
14、正確答案的序號).
① ?、凇 ??、邸 ? ?、?
圖7-3-5
(1)①③ (2)②④ [(1)對于①,若c與a,b都不相交,則c∥a,c∥b,從而a∥b,這與a與b是異面直線矛盾,故①正確.
對于②,a與b可能異面垂直,故②錯誤.
對于③,由a∥b可知a∥β,又α∩β=c,從而a∥c,故③正確.
(2)圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面,所以在圖②④中,GH與MN異面.]
[規(guī)律方法] 1
15、.異面直線的判定方法:
(1)反證法:先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過嚴格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線異面.
(2)定理:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.
2.點、線、面位置關(guān)系的判定,要注意幾何模型的選取,常借助正方體為模型,以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系.
[變式訓(xùn)練2] (20xx·煙臺模擬)a,b,c表示不同的直線,M表示平面,給出四個命題:①若a∥M,b∥M,則a∥b或a,b相交或a,b異面;②若bM,a∥b,則a∥M;③若a⊥c,b⊥c,則a∥b;④若a⊥M,
16、b⊥M,則a∥B.其中正確的為( )
A.①④ B.②③
C.③④ D.①②
A [對于①,當a∥M,b∥M時,則a與b平行、相交或異面,①為真命題.②中,bM,a∥b,則a∥M或aM,②為假命題.命題③中,a與b相交、平行或異面,③為假命題.由線面垂直的性質(zhì),命題④為真命題,所以①④為真命題.]
異面直線所成的角
(1)如圖7-3-6,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( )
圖7-3-6
A. B.
C. D.
(2)
17、(20xx·瀘州模擬)如圖7-3-7所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分別是CC1,AD的中點,那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于________.
圖7-3-7
(1)D (2) [(1)連接BC1,易證BC1∥AD1,
則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角.
連接A1C1,由AB=1,AA1=2,
則A1C1=,A1B=BC1=,
在△A1BC1中,由余弦定理得
cos∠A1BC1==.
(2)取BC的中點G.連接GC1,則GC1∥FD1,再取GC的中點H,連接HE、OH,
18、
∵E是CC1的中點,∴GC1∥EH.
∴∠OEH為異面直線所成的角.
在△OEH中,OE=,HE=,OH=.
由余弦定理,可得cos∠OEH===.]
[規(guī)律方法] 1.求異面直線所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.
2.求異面直線所成角的三個步驟:
(1)作:通過作平行線,得到相交直線的夾角.
(2)證:證明相交直線夾角為異面直線所成的角.
(3)求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角,如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.
19、
[變式訓(xùn)練3] 如圖7-3-8,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________. 【導(dǎo)學號:00090242】
圖7-3-8
[取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接C1D,AD,
則因為C是圓柱下底面弧AB的中點,
所以AD∥BC,
所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角,因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,
所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD.
因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=AD,
所以直線AC1與AD所成角的正切值為,
所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.]