新版【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第9篇 第3講 相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例

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1、 1

2、 1 第3講　相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 (　　)． A．速度一定時，位移與時間 B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時，土地面積與總產(chǎn)量 C．身高與體重 D．電壓一定時，電流與電阻 解析　A、B、D中兩個變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的兩個變量間是相關(guān)關(guān)系，對于身

3、高一樣的人，體重仍可以不同，故選C. 答案　C 2．設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是 (　　)． A．直線l過點(，) B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 D．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 解析　由樣本的中心(，)落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對平均

4、，即無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯． 答案　A 3．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為 (　　)． A．－1 B．0　　 C. D．1 解析　所有點均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1，故選D. 答案　D 4．(20xx·九江模擬)對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下 x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們

5、的回歸直線方程為y＝10.5x＋a，據(jù)此模型來預(yù)測當(dāng)x＝20時，y的估計值為(　　)． A．210 B．210.5　　 C．211.5 D．212.5 解析　由數(shù)據(jù)中可知＝5，＝54，代入回歸直線方程得a＝1.5，所以y＝10.5x＋1.5，當(dāng)x＝20時，y＝10.5×20＋1.5＝211.5. 答案　C 5．(20xx·延安模擬)某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝7.069，則有多大把握認為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”． (　　)． A．0.1% B．1%　　 C．99% D．99.9% 解析　因為

6、χ2＝7.069＞6.635，所以P(χ2＞6.635)＝0.010，所以說有99%的把握認為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”． 答案　C 二、填空題 6．已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表，則變量x與變量y是________相關(guān)(填“正”或“負”). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 解析　因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點圖如圖所示： 通過觀察圖像可知變量x與變量y是正相關(guān)． 答案　正 7．(20xx·濟南模擬)為了均衡教

7、育資源，加大對偏遠地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年教育支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：y＝0.15x＋0.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加________萬元． 解析　回歸直線的斜率為0.15，所以家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加0.15萬元． 答案　0.15 8．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到

8、χ2＝≈4.844. 則認為選修文科與性別有關(guān)系的可能性約為________． 解析　∵χ2≈4.844，根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷正確的可能性約為95%. 答案　95% 三、解答題 9．某班主任對全班50名學(xué)生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)如下表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)； (2)試通過計算說明有多大把握認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？ 解　(1) 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多

9、 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式χ2＝＝≈5.059>3.841， 即說明有95%以上的把握認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系． 10．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

10、為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示． (2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：＝86， ＝＝4.5(噸)， ＝＝3.5(噸)． 已知iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： b＝＝＝0.7， a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為： 90－(

11、0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．以下四個命題，其中正確的是 (　　)． ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣； ②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1； ③在線性回歸方程y＝0.2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量y平均增加0.2個單位； ④對分類變量X與Y，它們的隨機變量χ2值越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大． A．①④ B．②④　　 C．①③ D．②③ 解析?、偈窍到y(tǒng)抽樣；對于④，隨機變

12、量χ2值越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小． 答案　D 2．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則 (　　)． A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 解析　對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關(guān)，即

13、r2＜0，所以選C. 答案　C 二、填空題 3．(20xx·江西重點中學(xué)聯(lián)考)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y＝0.67x＋54.9. 零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 加工時間y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________． 解析　由已知可計算求出＝30，而回歸直線方程必過點(，)，則＝0.67×30＋54.9＝75，設(shè)模糊數(shù)字為a，則 ＝75，計算得a＝68. 答案　68 三、解答題

14、 4．電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性． (1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女 合計 (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性．若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1

15、名女性觀眾的概率． 解　(1)由所給的頻率分布直方圖知， “體育迷”人數(shù)為100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非體育迷”人數(shù)為75，則據(jù)題意完成2×2列聯(lián)表： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 將2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計算： χ2＝＝≈3.030. 因為3.030>2.706， 所以有90%的把握認為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由所給的頻率分布直方圖知 “超級體育迷”人數(shù)為100×(10×0.005)＝5， 記ai(i＝1,2,3)表示男性，bj(j＝1,2)表示女性，所有可能結(jié)果構(gòu)成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有10個基本事件組成，且每個基本事件出現(xiàn)是等可能的．用A表示事件“任選2人，至少1名女性”， 則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有7個基本事件組成，故任選2人，至少1名女性觀眾的概率為P(A)＝.