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1、
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2、 1
第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)
題型122 拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1.（20xx四川文5）拋物線的焦點到直線的距離是（ ）.
A. B. C. D.
1.（20xx安徽文3）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）.
A. B. C. D.
2.（
3、20xx遼寧文8）已知點在拋物線：的準(zhǔn)線上，記的焦點為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
3.（20xx新課標(biāo)Ⅰ文10）已知拋物線：的焦點為，是C上一點，，則（ ）
A. B. C. D.
4.（20xx陜西文11）拋物線的準(zhǔn)線方程為___________.
5.（20xx湖南文14）平面上一機器人在行進中始終保持與點的距離和到直線
的距離相等.若機器人接觸不到過點且斜率為的直線，則的取值范圍
是 .
1.（20xx陜西文3）已知
4、拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點，則該拋物線的焦
點坐標(biāo)為（ ）.
A. B. C. D.
1. 解析 由拋物線得準(zhǔn)線，因為準(zhǔn)線經(jīng)過點，所以，
所以拋物線焦點坐標(biāo)為.故選B.
2.（20xx福建文19）已知點為拋物線：的焦點，點在拋
物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點，延長交拋物線于點，求證：
以點為圓心且與直線 相切的圓，必與直線相切．
2.分析 （1）利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化．本題
由可得，可求的值，進而確定拋物線方程；
（2）欲證明以點為圓心且與直線相切的
5、圓，必與直線相切．可證明點到直線
和直線的距離相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明，
可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)．
解析（1）由拋物線的定義得．因為，即，解得，
所以拋物線的方程為．
（2）解法一：因為點，在拋物線：上，
所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)．
由，可得直線的方程為．
由，得.
解得或，從而．
又，所以，，
所以，從而，這表明點到直線，的距離相等，
故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．
解法二：設(shè)以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．
因為點在拋物線：上，
所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)．
由，可得直線的方程為．
由，得，
解得或
6、，從而．
又，故直線的方程為，
從而．
又直線的方程為，
所以點到直線的距離．
這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．
1.（20xx四川文3）拋物線的焦點坐標(biāo)是（ ）.
A. B. C. D.
1. D 解析 由題意，的焦點坐標(biāo)為.故選.
2.（20xx江蘇22（1））如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線.若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程.
2. 解析 因為，所以與軸的交點坐標(biāo)為，拋物線的焦點為，
所以，故.
3.（20xx浙江文19（1））如
7、圖所示，設(shè)拋物線的焦點為，拋物線上的點到軸的距離等于. 求的值.
3. 解析因為拋物線上點到焦點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離，由已知條件得，即.
題型123 與拋物線有關(guān)的距離和最值問題
1. （20xx江西文9）已知點，拋物線的焦點為，射線與拋物線
相交于點，與其準(zhǔn)線相交于點，則（ ）.
A. B. C. D.
2.（20xx江蘇9）拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為（包含三
角形內(nèi)部和邊界）.若點是區(qū)域內(nèi)的任意一點，則的取值范圍是 .
3．（20xx廣東文20）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線
的距離
8、為，設(shè)為直線上的點，過點做拋物線的兩條切線，
其中，為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當(dāng)點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值．
4.（20xx浙江文22）已知拋物線的頂點為 ，焦點.
（1）求拋物線的方程；
（2）過作直線交拋物線于兩點，若直線分別交
直線： 于兩點， 求 的最小值.
1.（20xx全國2卷文12）過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方），為的準(zhǔn)線，點在上且，則點到直線的距離為（ ）.
A.
9、 B. C. D.
1.解析 由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得，所以.
解法一：因為，所以，因為，所以，所以到的距離為.故選C.
解法二：如圖所示，在中，由拋物線定義知，.因為，所以.又軸，所以，所以為等邊三角形，且，則點到直線的距離為.
題型124 拋物線中三角形、四邊形的面積問題
1.（20xx上海文20）有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點或河邊運走.于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點
10、為的中點，點的坐標(biāo)為，如圖所示.
（1）求菜地內(nèi)的分界線的方程；
（2）菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值”為.設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點，請計算以為一邊，另一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值.
1.解析 （1）不妨設(shè)設(shè)分界線上任一點為，依題意，化簡得.
（2）因為，所以，
設(shè)以為一邊，另一邊過點的矩形的面積為，則，
設(shè)五邊形面積為，過作交于點，如圖所示.
則，
因為，，
所以五邊形的面積更接近的面積.
第四節(jié) 曲線與方程
題型125 求動點的軌跡方程
1. （20xx遼寧文20）如圖，拋物線.點在拋
11、物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于）.當(dāng)時，切線的斜率為.
（1）求的值；
（2）當(dāng)在上運動時，求線段中點的軌跡方程（
重合于時，中點為）.
2. (20xx陜西文20）已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點的直線與軌跡交于兩點.若是的中點，求直線的斜率.
1.（20xx福建文21）已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小
2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當(dāng)點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段
12、的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.
2. （20xx廣東文20）（14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
3.（20xx湖北文22）在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的距離比它到軸的距離多．記點的軌跡為.
（Ⅰ）求軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線過定點. 求直線與軌跡恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.
1.（20xx浙江文7）如圖所示，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面
上的動點滿足，則點的軌跡是（ ）.
A．直線
13、 B．拋物線
C．橢圓 D．雙曲線的一支
1. 解析 若，則繞點旋轉(zhuǎn)形成圓錐面，這面被平面截得圖像是橢圓.故選C.
1. （20xx四川文15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點時，定義的“伴隨點”為，當(dāng)是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題：
①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點；②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上；
③若兩點關(guān)于軸對稱，則他們的“伴隨點”關(guān)于軸對稱；④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線.
其中的真命題是 .
1.②③ 解析 對于①，若令則其伴隨點為，而的伴隨點
14、為，而不是，故①錯誤；
對于②，令單位圓上點的坐標(biāo)為，其伴隨點為仍在單位圓上，故②正確；
對于③，設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為
其伴隨曲線分別為與的圖像關(guān)于軸對稱，所以③正確；
對于④，直線上取點得，其伴隨點消參后軌跡是圓，故④錯誤.
所以正確的序號為②③.
1.（20xx全國2卷文20）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓上，過點M作x軸的垂線，垂足為N，
點P滿足.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點.
1. 解析 （1）如圖所示，設(shè)，，.
由知，，即.
又點在橢圓上，則有，即.
（2）設(shè)，則有
，即.
橢圓的左焦點.又，所以.所以過點且垂直于的直線過的左焦點.
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