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1、
課時規(guī)范練8 指數與指數函數
一、選擇題
1.若函數f(x)=則f(log43)等于( )
A. B.3 C. D.4
答案:B
解析:∵00時
2、,函數是一個指數函數,其底數0b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
答案:A
解析:∵a=40.8=21.6,b=80.46=21.38,c==21.2,1.6>1.38>1.2,y=2x為R上的增函數,∴a>b>c.
5.(福建福州八縣市高三聯(lián)考)已知函數f(x)=若關于x的方程f(x)=k有3個不同的實根,則實數k的取值范圍為( )
A.(0,+∞) B.[1
3、,+∞)
C.(0,2) D.(1,2]
答案:D
6.已知f(x)為偶函數,且f(2+x)=f(2-x),當-2≤x≤0時,f(x)=2x.若n∈N*,an=f(n),則a2 014等于( )
A.2 014 B.4[來源:]
C. D.-4
答案:C
解析:設2+x=t,∴x=t-2.
∴f(t)=f[2-(t-2)]=f(4-t)=f(t-4).
∴f(x)的周期為4.
∴a2 014=f(2 014)=f(4×503+2)=f(2)=f(-2)=2-2=.
二、填空題
7.已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),且f(1)=3,則f(0)+f(1)+f(
4、2)的值是 .?
答案:12
解析:f(1)=a+a-1=3,
∴f(0)+f(1)+f(2)=a0+a0+a1+a-1+a2+a-2=2+3+(a+a-1)2-2=12.
8.= .?
答案:2
解析:原式=×1+=2.
9.若函數f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調遞減區(qū)間是 .?
答案:[2,+∞)
解析:由f(1)=得a2=.于是a=,因此f(x)=.
又因為g(x)=|2x-4|的單調遞增區(qū)間為[2,+∞),所以f(x)的單調遞減區(qū)間是[2,+∞).
10.設函數f(x)=,[x]表示不超過x的最大整
5、數,則函數y=[f(x)]的值域為 .?
答案:{-1,0}
解析:∵f(x)=1-,
又2x>0,∴-
6、)上單調遞增.
(1)解:f(-x)=3-x+=a·3x+,
∵函數f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x).
∴a·3x+=3x+對任意x∈R恒成立,∴a=1.
(2)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
則f(x1)-f(x2)=[來源:]
=()+
=(,
∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,
>1,則<1.
∴>0,1->0,
∴(>0,[來源:]
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
13.已知函數f(x)=9x-m·3x+m+1在x∈(0,+∞)上的圖象恒在x軸上方,求m的取值范圍.[來源:數理化網]
解:(方
7、法一)令t=3x,因為x∈(0,+∞),所以t∈(1,+∞).故問題轉化為函數g(t)=t2-mt+m+1在t∈(1,+∞)時g(t)恒大于0,
即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或
解得m<2+2.
(方法二)令t=3x,因為x∈(0,+∞),所以t∈(1,+∞).故問題轉化為m<,t∈(1,+∞)恒成立,
即m比函數y=,t∈(1,+∞)的最小值還小,
又y==t-1++2≥2+2=2+2,
所以m<2+2.
14.已知函數f(x)=2x-,
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數m的取值范圍.
解:(1
8、)當x<0時,f(x)=0;
當x≥0時,f(x)=2x-.
由條件可知2x-=2,
即22x-2×2x-1=0,
解得2x=1±.
∵2x>0,∴x=log2(1+).
(2)當t∈[1,2]時,2t+m≥0,[來源:數理化網]
即m(22t-1)≥-(24t-1).
∵22t-1>0,
∴m≥-(22t+1).
∵t∈[1,2],
∴-(1+22t)∈[-17,-5].
故m的取值范圍是[-5,+∞).
15.已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.
(1)求a,b的值;
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范
9、圍.
解:(1)因為f(x)是R上的奇函數,所以f(0)=0,即=0,解得b=1.
從而有f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)==-,
由上式易知f(x)在R上為減函數,又因f(x)是奇函數,從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).
因f(x)是R上的減函數,由上式推得t2-2t>-2t2+k.
即對一切t∈R有3t2-2t-k>0,從而Δ=4+12k<0,解得k<-.
四、選做題
1.已知y=f(x+1)是定義在R上的偶函數,當x∈[1,2]時,f(x)=2
10、x,設a=f,b=f,c=f(1),則a,b,c的大小關系為( )
A.ab=f>c=f(1),故選B.
2.設偶函數f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則不等式f(x)>0的解集為 .?
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:∵x≥0時,f(x)=2x-4,
若f(x)>0,則由2x-4>0得x>2,
又∵f(x)為偶函數,
∴圖象關于y軸對稱,
∴x<-2時,f(x
11、)>0,
∴f(x)>0的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).
3.對于函數f(x),若在定義域內存在實數x,滿足f(-x)=-f(x),則稱f(x)為“局部奇函數”.若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3為定義域R上的“局部奇函數”,求實數m的取值范圍.
解:當f(x)=4x-m·2x+1+m2-3時,f(x)+f(-x)=0可化為
4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.
設t=2x+2-x∈[2,+∞),則4x+4-x=t2-2,
從而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保證f(x)為“局部奇函數”.
令F(t)=t2-2mt+2m2-8,
1° 當F(2)≤0時,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解,
由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,
解得1-≤m≤1+.
2° 當F(2)>0時,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解等價于
解得1+
新編高考數學復習 課時規(guī)范練8 指數與指數函數
