中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提升十二 以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

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1、以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線與BC邊和外接圓分別相交于D和E，則圖中相似三角形共有(C) A. 1對(duì)　　 B. 2對(duì) C. 3對(duì)　 D. 4對(duì) (第1題圖) 　　　(第2題圖) 2．如圖，AB是半圓O的直徑，D，E是半圓上任意兩點(diǎn)，連結(jié)AD，DE，AE與BD相交于點(diǎn)C，要使△ADC與△ABD相似，可以添加一個(gè)條件．下列添加的條件其中錯(cuò)誤的是(D) A. ∠ACD＝∠DAB　　 B. AD＝DE C. AD2＝BD·CD　　　　 D. AD·AB＝AC·BD 3．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上

2、一點(diǎn)，OQ⊥BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作半圓O的切線，交OQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，PA交半圓O于R，則下列等式中正確的是(D) A. ＝　　 B. ＝ C. ＝　　　 D. ＝ (第3題圖) 　　　(第4題圖) 4．如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑，已知半徑長(zhǎng)為4，AC＝4，AB＝6，則AD的長(zhǎng)為(C) A. 5　　 B. 4.8 C. 3　　 D. 2 5．如圖，△ABC中，AB＝AC，O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA，垂足為D，若CD＝3，CO＝4，則AC的長(zhǎng)為 2． (第5題圖) 　　(第6題圖)

3、 6．如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點(diǎn)B，AF交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交⊙O于點(diǎn)E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于點(diǎn)G，連結(jié)AE.若∠F＝60°，GF＝1，則⊙O的半徑長(zhǎng)為 2＋3． 7．如圖，已知AD是⊙O的弦，＝，DE是⊙O的切線且與弦AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，若AC＝3，AE＝8，則AD的長(zhǎng)為2____． (第7題圖) 　　　(第8題圖) 8．如圖，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過(guò)B的割線BMN交AD的延長(zhǎng)線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為． 9．如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點(diǎn)，連結(jié)OB，且OB＝6，過(guò)點(diǎn)

4、B作⊙O的切線BD，切點(diǎn)為D，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作切線BD的垂線，垂足為C.則AC的長(zhǎng)為 ． (第9題圖) 　　　(第10題圖) 10．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，與AB分別交于點(diǎn)G，H，且EH的延長(zhǎng)線和CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為 a． (第11題圖) 11．如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC. (1)求證：直線CD為⊙O的切線． (2)若AB＝5，BC＝4，求線段CD的長(zhǎng)． (第11題圖解) 解：

5、(1)證明：如解圖，連結(jié)OC. ∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC， ∴∠CBA＝∠ODC. 又∵∠CFD＝∠BFO， ∴∠DCB＝∠BOF. ∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B. ∵∠B＋∠BOF＝90°， ∴∠OCF＋∠DCB＝∠OCD＝90°， ∴直線CD為⊙O的切線． (2)如解圖，連結(jié)AC. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°， ∴∠DCO＝∠ACB. 又∵∠D＝∠B，∴△OCD∽△ACB. ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3， ∴＝，即＝， 解得CD＝. 12．已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊

6、BC相交于點(diǎn)F，⊙O的切線DE與邊AB相交于點(diǎn)E，且AE＝3EB. (1)求證：△ADE∽△CDF. (2)當(dāng)CF∶FB＝1∶2時(shí)，求⊙O與?ABCD的面積之比． (第12題圖) 解：(1)證明：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC＝90°. ∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥DC， ∴∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF. 又∵∠A＝∠C， ∴△ADE∽△CDE. (2)∵CF∶FB＝1∶2， ∴設(shè)CF＝x，F(xiàn)B＝2x，則BC＝3x. ∵AE＝3

7、EB， ∴設(shè)EB＝y(tǒng)，則AE＝3y，AB＝4y. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y. ∵△ADE∽△CDF， ∴＝，∴＝， ∵x，y均為正數(shù)，∴x＝2y， ∴BC＝6y，CF＝2y， 在Rt△DFC中，∠DFC＝90°， 由勾股定理得：DF＝＝＝2y， ∴⊙O的面積為π·＝π·DC2＝π(4y)2＝4πy2， 四邊形ABCD的面積為BC·DF＝6y·2y＝12y2， ∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為4πy2∶12y2＝π∶3. 13．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)

8、ED. (1)求證：ED∥AC. (2)若BD＝2CD，設(shè)△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且S12－16S2＋4＝0，求△ABC的面積． (第13題圖) 解(1)證明：∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠E＝∠BAD，∴∠E＝∠DAC. ∵BE∥AD， ∴∠E＝∠EDA，∴∠EDA＝∠DAC， ∴ED∥AC. (2)∵BE∥AD， ∴∠EBD＝∠ADC. 又∵∠BED＝∠DAC， ∴△EBD∽△ADC，且相似比k＝＝2， ∴＝k2＝4，即S1＝4S2， ∵S12－16S2＋4＝0，∴16S22－16S2＋4＝0， 即(4S2

9、－2)2＝0，解得S2＝. ∵＝＝＝＝3， ∴S△ABC＝. 14．已知AB是圓O的切線，切點(diǎn)為B，直線AO交圓O于C，D兩點(diǎn)，CD＝2，∠DAB＝30°，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，PC交圓O于另一點(diǎn)Q. (1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使Q，C兩點(diǎn)重合時(shí)(如圖①)，求AP的長(zhǎng)． (第14題圖) (2)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有幾個(gè)位置(幾種情況)使△CQD的面積為？(直接寫(xiě)出答案) (3)當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時(shí)(如圖②)，求AP的長(zhǎng)． 解：(1)∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO＝90°. ∵∠DAB＝30°，OB＝CD＝1， ∴AO＝2OB＝2，

10、AC＝AO－CO＝2－1＝1. 當(dāng)Q，C兩點(diǎn)重合時(shí)，CP與⊙O相切于點(diǎn)C，如解圖①， 則有∠ACP＝90°， ∴cos∠CAP＝＝＝， 解得AP＝. (2)有4個(gè)位置使△CQD的面積為. 設(shè)點(diǎn)Q到CD的距離為h， ∵S△CQD＝CD·h＝×2·h＝，∴h＝. 由于h＝<1，結(jié)合解圖②可得： 有4個(gè)位置使△CQD的面積為. (3)過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥CD于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CD于M，如解圖③. ∵S△CQD＝CD·QN＝×2·QN＝，∴QN＝. ∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD， ∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°， ∴∠CQN＝90°－∠NQD＝∠NDQ， ∴△QNC∽△DNQ， ∴＝，∴QN2＝CN·DN. 設(shè)CN＝x，則有＝x， 整理得4x2－8x＋1＝0，解得：x1＝，x2＝. ∵CQ＞QD，∴x＝，∴＝2＋. ∵QN⊥CD，PM⊥CD， ∴∠PMC＝∠QNC＝90°. ∵∠MCP＝∠NCQ， ∴△PMC∽△QNC， ∴＝＝2＋， ∴MC＝(2＋)MP. 在Rt△AMP中， tan∠MAP＝＝tan 30°＝， ∴AM＝MP. ∵AC＝AM＋MC＝MP＋(2＋)MP＝1， ∴MP＝， ∴AP＝2MP＝. (第14題圖解) 9 學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情，大家下載后可以自行修改