新編高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題4 突破點9　空間幾何體表面積或體積的求解 Word版含解析

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1、 專題四　立體幾何 建知識網(wǎng)絡　明內在聯(lián)系 掃一掃，各專題近五年全國考點分布 高考點撥]　立體幾何專題是高考中當仁不讓的熱點之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關的體積)內容，一大題?？伎臻g幾何體位置關系的證明與空間角、距離的探求．本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”、“空間中的平行與垂直關系”兩大角度進行典例剖析，引領考生明確考情并提升解題技能． 突破點9　空間幾何體表面積或體積的求解 提煉1　求解幾何體的表面積或體積　(1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算． (2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求

2、解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉換法求解． (3)求解旋轉體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應用． 提煉2　球與幾何體的外接與內切　(1)正四面體與球：設正四面體的棱長為a ，由正四面體本身的對稱性，可知其內切球和外接球的球心相同，則內切球的半徑r＝a，外接球的半徑R＝a. 圖10-1 (2)正方體與球：設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，O為其對稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點，J為HF的中點，如圖10-1所示． ①正方體的內切球：截面圖為正方形EFHG的內切圓，故其內切

3、球的半徑為OJ＝； ②正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG＝； ③正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1＝. 回訪1　幾何體的表面積或體積 1. (20xx·全國甲卷)如圖10-2是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) 圖10-2 A．20π　　　　　　 B.24π C.28π D.32π C　由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(高)為4，所以圓柱的側面積為2π×2×4＝16π，底面積為π·22＝4π；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長為＝4，所以圓錐的側

4、面積為π×2×4＝8π.所以該幾何體的表面積為S＝16π＋4π＋8π＝28π.] 2．(20xx·全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖10-3，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) 圖10-3 A.　　　　　　　 B. C.　　　　　　　 D. D　由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐．設正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為 V1＝××1×1×1＝， 剩余部分的體積V2＝13－＝. 所以＝＝，故選D.] 3．(20xx·全國卷Ⅱ)如圖10-4，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(

5、表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為(　　) 圖10-4 A.　　 B. C.　　 D. C　由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個圓柱的組合體．其中左面圓柱的高為4 cm，底面半徑為2 cm，右面圓柱的高為2 cm，底面半徑為3 cm，則組合體的體積V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯體積V2＝π×32×6＝54π(cm3)，則所求比值為＝.] 回訪2　球與幾何體的外接與內切 4．(20xx·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球

6、面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B.64π C.144π D.256π C　如圖，設球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2. ∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值， ∴當點C到平面AOB的距離最大時，VO-ABC最大， ∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VO-ABC最大為×R2×R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.故選C.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)如圖10-5，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，

7、容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為(　　) 圖10-5 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 A　如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．設球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π×53＝π(cm3)．] 6．(20xx·全國卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A. B.

8、C. D. A　由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍， 所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍． 在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1，如圖所示， S△ABC＝×AB2＝， 高OD＝＝， ∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×××＝.] 熱點題型1　幾何體的表面積或體積 題型分析：解決此類題目，準確轉化是前提，套用公式是關鍵，求解時先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解． 　(1)(20xx·全國乙卷)如圖10-6，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條

9、互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖10-6 A．17π　　　　　　　 B.18π C.20π D.28π (2)(20xx·全國丙卷)如圖10-7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖10-7 A．18＋36　　　　　 B.54＋18 C.90 D.81 (1)A　(2)B　(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A. (2)由三視圖可

10、知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B.] 1．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的

11、各個度量． (3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解． 變式訓練1](1)(20xx·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖10-8所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋ B.5＋ C.5＋ D.＋ 圖10-8 (2)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖10-9所示，則此幾何體的表面積是(　　) 圖10-9 A．90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2 (3)(名師押題)如圖10-10，從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD -A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多

12、能盛的水的體積為________cm3. 圖10-10 (1)D　(2)D　(3)36　(1)由三視圖知該幾何體是由一個長方體，一個三棱錐和一個圓柱組成，故該幾何體的體積為V＝2×1×2＋××1×1×2＋×π×12×2＝＋. (2)該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積S＝2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2)． (3)最多能盛多少水，實際上是求三棱錐C1-CD1B1的體積． 又V三棱錐C1-CD1B1＝V三棱錐C-B1C1D1＝×

13、×6＝36(cm3)，所以用圖示中這樣一個裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水．] 熱點題型2　球與幾何體的切、接問題 題型分析：與球有關的表面積或體積求解，其核心本質是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時刻謹記．先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結構特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質——球面上任意一點對直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結構特征構造射影定理求解． (1)(20xx·南昌二模)一個幾何體的三視圖如圖10-11所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 圖10-11 A. B

14、. C. D. (2)(20xx·全國丙卷)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C.6π D. (1)D　(2)B　(1)法一　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S - ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H為△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2－R|， 由球的截面性

15、質可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. 法二　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S -ABC，其中HS是三棱錐的高，由側視圖可知HS＝2，由正視圖和側視圖可得HA＝HB＝HC＝2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長SH交球面于點P，則SP就是球的直徑， 由點A在球面上可得SA⊥AP. 又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH. 在Rt△ASH中，SA＝＝＝4. 設球的半徑為R，則SP＝2R， 在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SH×SP，即42＝2×2R，解得R＝， 所以所求外接球的表面積為4πR2＝4

16、π×＝.故選D. (2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設球的半徑為R.因為△ABC的內切圓半徑為＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax＝π3＝π.故選B.] 解決球與幾何體的切、接問題的關鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關系，這就需要靈活利用球的截面性質以及組合體的截面特征來確定．對于旋轉體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質建立相關數(shù)據(jù)之間的關系；而對于多面體，應抓住多面體的結構特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來． 變式訓練2]　(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O 的球面上，

17、若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　) 【導學號：85952037】 A. B. C. D.20π (2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖10-12(網(wǎng)格中每個正方形的邊長為1)，若這個幾何體的頂點都在球O的表面上，則球O的表面積是________． 圖10-12 (1)B　(2)20π　(1)設△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示． 由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點． 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－

18、2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC＝. 由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝. 而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝AA1＝1， 設直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝， 所以該三棱柱的外接球的體積為V＝R3＝.故選B. (2)由三視圖知該幾何體是一個四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長、寬分別為4和2的矩形，高為2， 且側面SDC與底面ABCD垂直，且頂點S在底面上的射影為該側面上的底面邊的中點．由該幾何體的結構特征知球心在過底面中心O且與底面垂直的直線上，同時在過側面△SDC的外接圓圓心且與側面SDC垂直的直線上．因為△SDC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為R＝AC＝，故外接球的表面積為4πR2＝20π.]