新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第11章學(xué)案1

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 排列與組合 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 自主梳理 1．排列的定義：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 排列數(shù)的定義：__________________________________________________________

2、____ ________________________________________________________________________， 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A表示． 說明：①n！＝________________，叫做n的階乘；②規(guī)定0！＝____；③當(dāng)m＝n時(shí)的排列叫做全排列，全排列數(shù)A＝____. 2．排列數(shù)公式的兩種形式：(1)A＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A＝，其中公式(1)(不帶階乘的)主要用于計(jì)算；公式(2)(階乘形式)適用于化簡(jiǎn)、證明、解方程． 3．組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫

3、做________________________________．從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的__________，用__________表示． 4．組合數(shù)公式的兩種形式： (1)C＝＝； (2)C＝，其中公式(1)主要用于計(jì)算，尤其適用于上標(biāo)是具體數(shù)且m≤的情況，公式(2)適用于化簡(jiǎn)、證明、解方程等． 5．C＝C?________________，m、k∈N，n∈N*. 6．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：(1)C＝____________，(2)C＝________________. 自我檢測(cè) 1．(2010·北京改編)8名學(xué)生

4、和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為________(用式子表示)． 2．(2010·廣州期末七區(qū)聯(lián)考)2010年上海世博會(huì)某國(guó)展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該國(guó)展出這5件作品的不同方案有________種． 3．2008年9月25日晚上4點(diǎn)30分，“神舟七號(hào)”載人飛船發(fā)射升空，某校全體師生集體觀看了電視實(shí)況轉(zhuǎn)播，觀看后組織全體學(xué)生進(jìn)行關(guān)于“神舟七號(hào)”的論文評(píng)選，若三年級(jí)文科共4個(gè)班，每班評(píng)出2名優(yōu)秀論文(其中男女生各1名)依次排成一列進(jìn)行展覽，若規(guī)

5、定男女生所寫論文分別放在一起，則不同的展覽順序有________種． 4．(2010·全國(guó)Ⅱ改編)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有________種． 5．(2010·重慶改編)某單位擬安排6位員工在6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有________種. 探究點(diǎn)一　含排列數(shù)、組合數(shù)的方程或不等式 例1　(1)求等式＝3中的n值； (2)求不等式－<中n的解集．

6、 變式遷移1　(1)解方程：A＝140A； (2)解不等式：A>6A. 探究點(diǎn)二　排列應(yīng)用題 例2　六人按下列要求站一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站兩端；　　　　 (2)甲、乙必須相鄰； (3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰間隔兩人； (5)甲、乙站在兩端； (6)甲不站左端，乙不站右端． 變式遷移2　用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，求這樣的六位數(shù)的種數(shù)．

7、 探究點(diǎn)三　組合應(yīng)用題 例3　男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名； (2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員； (3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加； (4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員． 變式遷移3　12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法總數(shù)是________． 1．解排列、組合應(yīng)用題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步． 2．對(duì)于有附加條件的

8、排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 3．關(guān)于排列、組合問題的求解，應(yīng)掌握以下基本方法與技巧：(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列組合綜合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化． (滿分：90分)

9、一、填空題(每小題6分，共48分) 1．在數(shù)字7,8,9與符號(hào)“＋”，“－”五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是________． 2．(2009·湖南改編)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為________． 3．(2010·全國(guó)Ⅰ改編)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有________種． 4．(2010·重慶改編)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10

10、月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有________種． 5．6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1,1,2,2,3,4，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使這三條網(wǎng)線通過最大信息量的和大于等于6的方法共有________種． 6．(2011·北京)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答) 7．8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐3、4名，則大師賽共有________場(chǎng)比賽． 8．參加海地地震救援

11、的中國(guó)救援隊(duì)一小組共有8人，其中男同志5人，女同志3人．現(xiàn)從這8人中選出3人參加災(zāi)后防疫工作，要求在選出的3人中男、女同志都有，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(1)計(jì)算C＋C199200； (2)求C＋C的值； (3)求證：C＝C＝C. 10．(14分)有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)． (1)有女生但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表； (3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任語(yǔ)文課代表； (4)某女生一定要擔(dān)任

12、語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表． 11．(14分)從1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中選2個(gè)，0,2,4,6,8五個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 學(xué)案61　排列與組合 答案 自主梳理 1．從n個(gè)不同的元素中取出m (m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列　從n個(gè)不同元素中取出m (m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)　①n·(n－1)·…·2·1　1　n！　3.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合　組合數(shù)　C 5．m＝k或m＋k＝n　6.(1

13、)C　(2)C＋C 自我檢測(cè) 1．AA 解析　不相鄰問題用插空法，先排學(xué)生有A種排法，老師插空有A種方法，所以共有AA種排法． 2．24 解析　2件書法作品看作一個(gè)元素和標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)進(jìn)行排列有A種不同排法，讓2件繪畫作品插空有A種插法，2件書法作品之間的順序也可交換，因此共有2AA＝24(種)． 3．1 152 解析　女生論文有A種展覽順序，男生論文也有A種展覽順序，男生與女生論文可以交換順序，有A種方法，故總的展覽順序有AAA＝1 152(種)． 4．18 解析　先將1,2捆綁后放入信封中，有C種方法，再將剩余的4張卡片放入另外兩個(gè)信封中，有CC種方法， 所以共有CCC

14、＝18(種)方法． 5．42 解析　若甲在16日值班，在除乙外的4人中任選1人在16日值班有C種選法，然后14日、15日有CC種安排方法，共有CCC＝24(種)安排方法； 若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人共有CCC＝12(種)安排方法； 若甲、乙都在15日值班，則共有CC＝6(種)安排方法． 所以總共有24＋12＋6＝42(種)安排方法． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)在解有關(guān)A、C的方程或不等式時(shí)要注意運(yùn)用n≥m且m、n∈N*的條件；(2)凡遇到解排列、組合的方程式、不等式問題時(shí)，應(yīng)首先應(yīng)用性質(zhì)和排列、組合的意義化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算．注意最后結(jié)果都需要檢

15、驗(yàn)． 解　(1)原方程可變形為 ＋1＝，C＝C， 即 ＝·， 化簡(jiǎn)整理得n2－3n－54＝0， 解得n＝9或n＝－6(不合題意，舍去)， ∴n＝9. (2)由－ <， 可得n2－11n－12<0，解得－1

16、＋69＝0， 解得x＝3或x＝ (x∈N*，應(yīng)舍去)． 所以原方程的解為x＝3. (2)根據(jù)原不等式，x (x∈N*)應(yīng)滿足 故26A， 得>6×，所以>1， 所以－75

17、直排處理的方法．(5)“小集團(tuán)”排列問題中，先整體后局部的處理方法． 解　(1)方法一　要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有A種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列，有A種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A·A＝480(種)站法． 方法二　若對(duì)甲沒有限制條件共有A種站法，甲在兩端共有2A種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)，共有A－2A＝480(種)站法． (2)先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，有A種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有A種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A·A＝240(種)站法． (3)因?yàn)榧?、乙不相鄰，所以可用“插空法”．第一步?/p>

18、先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有A種站法；第二步，再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔(含兩端)中，有A種站法， 故共有A·A＝480(種)站法． (4)先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有A種；然后把甲、乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列，有A種站法；最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有A種站法， 故共有A·A·A＝144(種)站法． (5)首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A種站法，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A·A＝48(種)站法． (6)甲在左端的站法有A種站法，乙在右端的站法有A種，且甲在左端而乙在右端的站法有A

19、種站法，共有A－2A＋A＝504(種)站法． 變式遷移2　解　依題意先排列除1和2外的剩余4個(gè)元素有2A·A＝8(種)方案，再向這排好的4個(gè)元素中選1空位插入1和2捆綁的整體，有A種插法， ∴不同的安排方案共有2A·A·A＝40(種)． 例3　解題導(dǎo)引　(1)區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，無序的問題，用組合解答，有序的問題屬排列問題． (2)解組合問題時(shí)，常遇到“至多”、“至少”問題，解決的方法常常用間接法比較簡(jiǎn)單，計(jì)算量也較??；用直接法也可以解決，但分類要恰當(dāng)，特別對(duì)限制條件比較多的問題． 解　(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法． 第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有

20、C種選法． 共有C·C＝120(種)選法． (2)“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”． 從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種． 所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C－C＝246(種)． (3)從10人中任選5人，有C種選法． 其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C種． 所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法有C－C＝196(種)． (4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法．不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法．其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有C－C種選法．故既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C＋C－C＝191(種)． 變式遷移3　840 解

21、析　從后排8人中選2人有C種，這2人插入前排4人中且前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空位插一人有5種；余下的一人則要插入前排5人的空檔有6種，故為A.∴所求總數(shù)為CA＝840. 課后練習(xí)區(qū) 1．12 解析　在數(shù)字7,8,9與符號(hào)“＋”，“－”五個(gè)元素的所有排列中，先排“＋”，“－”兩個(gè)符號(hào)，有A＝2(種)方法；“＋”，“－”這兩個(gè)符號(hào)排好后就產(chǎn)生三個(gè)空位，再將7,8,9插入這三個(gè)空位中，有A＝6(種)排法，共有A·A＝12(種)方法． 2．49 解析　丙不入選的選法有C＝＝84(種)， 甲乙丙都不入選的選法有C＝＝35(種)． 所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入選的選法有84

22、－35＝49(種)． 3．30 解析　方法一　可分兩種情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有CC＋CC＝18＋12＝30(種)選法． 方法二　總共有C＝35(種)選法，減去只選A類的C＝1(種)，再減去只選B類的C＝4(種)，故有30種選法． 4．1 008 解析　不考慮丙、丁的情況共有AA＝1 440(種)排法． 在甲、乙相鄰的條件下，丙排10月1日有AA＝240(種)排法，同理，丁排10月7日也有240種排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有AA＝48(種)排法，則滿足條件的排法有AA－2AA＋AA＝1 008(種)． 5．15 解析　當(dāng)選用信息量為4

23、的網(wǎng)線時(shí)有C種；當(dāng)選用信息量為3的網(wǎng)線時(shí)有CC＋1種，共C＋CC＋1＝15(種)． 6．14 解析　數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況： “2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C＝4(個(gè))四位數(shù)． “2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C＝6(個(gè))四位數(shù)． “2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C＝4(個(gè))四位數(shù)． 綜上所述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù)． 7．16 解析　每組有C場(chǎng)比賽，兩組共有2C場(chǎng)，每組的第一名與另一組的第二名比賽有2場(chǎng)，決出冠軍和第3名各1場(chǎng)，所以共有2C＋2＋1＋1＝16(場(chǎng))． 8．45 解析　從3名女同志和5名男同志中選出3人，分別參加

24、災(zāi)后防疫工作，若這3人中男、女同志都有，則從全部方案中減去只選派女同志的方案數(shù)C，再減去只選派男同志的方案數(shù)C，合理的選派方案共有C－C－C＝45(種)． 9．(1)解　C＋C＝C＋C ＝＋200＝4 950＋200＝5 150.(4分) (2)解　即 又n∈N*，∴n＝7，∴C＋C＝2.(9分) (3)證明　∵C＝· ＝＝C；(11分) C＝· ＝＝C，(13分) ∴C＝C＝C.(14分) 10．解　(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC種， 后排有A種， 共有(CC＋CC)·A＝5 400(種)．(3分) (2)除去該女生后，先取

25、后排C·A＝840(種)．(6分) (3)先取后排，但先安排該男生， 有C·C·A＝3 360(種)．(10分) (4)先從除去該男生和該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種， 其余3人全排有A種， 共有C·C·A＝360(種)．(14分) 11．解　從1,3,5,7,9五個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè)，再?gòu)?、4、6、8四個(gè)偶數(shù)中再選出3個(gè)，排成五位數(shù)，有CCA＝10×4×120＝4 800個(gè)．(6分) 從5個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè)，再?gòu)?、4、6、8四個(gè)偶數(shù)中再選出2個(gè)，將選出的4個(gè)數(shù)再選一個(gè)做萬位數(shù)．余下的3個(gè)數(shù)加上0排在后4個(gè)數(shù)位上，有 CCCA＝10×6×4×24＝5 760個(gè)．(12分) 由分類計(jì)數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有 CCA＋CCCA＝10 560個(gè). (14分)