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1、
1
2、 1
第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用
課時訓(xùn)練 練題感 提知能
【選題明細(xì)表】
知識點(diǎn)、方法
題號
用正、余弦定理解三角形
1、5、8、9、11
與三角形面積有關(guān)的問題
2、4
判斷三角形的形狀
3、10
實(shí)際應(yīng)用問題
7、15
綜合應(yīng)用
6、12、13、14、16
A組
一、選擇題
1.(2
3、0xx廣東湛江十校聯(lián)考)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,則a等于( A )
(A)22 (B)23 (C)6-2 (D)4
解析:A=180°-30°-15°=135°,
由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212,
即a=22.故選A.
2.(20xx潮州二模)在△ABC中,A=π3,AB=2,且△ABC的面積為32,則邊AC的長為( A )
(A)1 (B)3 (C)2 (D)2
解析:S△ABC=12AB·AC·sin A
=12×2·AC·sinπ3=32,
∴AC=1.故選A.
3.(20xx湛江高
4、考測試(二))若三條線段的長分別為3,5,7,則用這三條線段( C )
(A)能組成直角三角形 (B)能組成銳角三角形
(C)能組成鈍角三角形 (D)不能組成三角形
解析:依題意得,注意到任意兩邊之和均大于第三邊,因此,它們能夠構(gòu)成三角形,邊長為7的邊所對的內(nèi)角的余弦等于32+52-722×3×5<0,因此,該內(nèi)角是鈍角.該三角形是鈍角三角形,故選C.
4.(20xx汕頭市高三質(zhì)量測評(二))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=π3,△ABC的面積S△ABC=3,則△ABC的周長為( A )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)4+23
解析:依題
5、意得12absin C=34ab=3,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4?(a+b)2-3ab=4?(a+b)2=16?a+b=4?a+b+c=6,即△ABC的周長是6,故選A.
5.(20xx汕頭市高三質(zhì)量測評(一))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sinCsinA=2,b2-a2=32ac,則cos B等于( C )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
解析:∵ca=sinCsinA=2,即c=2a,又b2-a2=32ac,由余弦定理得
b2=c2+a2-2accos B,
∴32a×2a=4a2-4a2cos B
6、,即cos B=14.
6.(20xx珠海一模)直線l1與l2相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B、C分別在直線l1與l2上,若AB→與AC→的夾角為60°,且|AB→|=2,|AC→|=4,則|BC→|等于( B )
(A)22 (B)23 (C)26 (D)27
解析:由題意,△ABC中,∠A=60°,AB=2,AC=4.
由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12,
∴BC=23.
故選B.
二、填空題
7.某居民小區(qū)為了美化環(huán)境,給居民提供更好的生活環(huán)境,在小區(qū)內(nèi)的一塊三角形空地上(如圖,單位:m)種植草皮,已知這種草皮的價格是120元/m2,則購買這種草皮需要
7、 元.?
解析:三角形空地面積
S=12×123×25×sin 120°=225(m2),
故共需225×120=27000(元).
答案:27000
8.(高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,則b= .?
解析:由已知根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accos B
得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-14),
即15b-60=0,得b=4.
答案:4
9.(20xx潮州高三期末質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,則cos A= .?
解析:由(2b-
8、c)cos A=acos C,
得2bcos A=ccos A+acos C,
2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,
故2sin Bcos A=sin(A+C),
又在△ABC中,sin(A+C)=sin B>0,故cos A=12.
答案:12
10.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,則△ABC的形狀為 .?
解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得
sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,
2sinBcos A=2sin Acos A.
∴cos
9、 A=0或sin A=sin B.
∵0
10、2×sin ∠DBC
=9+532.
(2)由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsinA,
∴sin ∠ABD=ADBD×sin A=91050.
12.(20xx深圳市二調(diào))在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.
(1)求角C的大小;
(2)求sin(B+π3)的值.
解:(1)由余弦定理可得
cos C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,
∵0
11、銳角,
∴cos B=1-sin2B=1-(5314)?2=1114,
∴sin(B+π3)=sin Bcos π3+cos Bsin π3
=5314×12+1114×32
=437.
B組
13.(高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于( D )
(A)10 (B)9 (C)8 (D)5
解析:由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,
即cos2A=125,
又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,
所以cos A=15.
在△ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6
12、×15,
即b2-125b-13=0,
即b=5或b=-135(舍去),故選D.
14.在△ABC中,設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若
a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a⊥b,則B= .?
解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,
利用正弦定理,可得
sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=
sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,
即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,
因?yàn)閟in A≠0,故cos B=12,因此B=π3.
答案:π3
13、
15.如圖所示,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1 km.
(1)試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離會相等?
(2)求B、D的距離.
解:(1)如圖所示,在△ADC中,
∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,
∴CD=AC=0.1 km,
又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
∴∠CED=90°,
∴CB是△CAD底邊AD的中垂線,
∴BD=BA.
(2)在△ABC中,∠
14、ABC=75°-60°=15°,
由正弦定理得ABsin∠BCA=ACsin∠ABC,
∴AB=0.1·sin60°sin15°=32+620(km),
∴BD=32+620(km).
故B、D間的距離是32+620km.
16.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.
(1)求證:a,b,c成等比數(shù)列;
(2)若a=1,c=2,求△ABC的面積S.
(1)證明:∵在△ABC中,
sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,
∴sin BsinAcosA+sinCcosC=sinA
15、cosA·sinCcosC,
∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,
∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C,
∵A+C=π-B,
∴sin(A+C)=sin B,
∴sin2 B=sin Asin C,
由正弦定理得,b2=ac,
∴a,b,c成等比數(shù)列.
(2)解:∵a=1,c=2,
∴b2=ac=2,∴b=2,
∴cos B=a2+c2-b22ac=12+22-22×1×2=34,
∵0
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