新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 64

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第4講　數(shù)列求和 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為________． 解析　因?yàn)椋絥＋2，所以的前10項(xiàng)和為10×3＋＝75. 答案　75 2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為________． 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 答案　2n＋1－2＋n2 3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝________. 解析　S17＝1－2＋3－4

2、＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案　9 4．(2014·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 012＝________. 解析　a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2. ∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列， ∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012 ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012) ＝＋＝3·21 006－

3、3. 答案　3·21 006－3 5．(2014·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012的值為________． 解析　由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n， ∴＝＝＝－， ∴S2 012＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案　 6．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q3＝－8，所以q＝－2；等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|＝2，則|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a

4、2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－. 答案?。?　2n－1－ 7．(2013·山西晉中名校聯(lián)合測(cè)試)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S2 013＝________. 解析　由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，該數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－ 1 005. 答案?。? 005 8．(2014·武漢模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－

5、1，則a＋a＋…＋a＝________. 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又∵a1＝1適合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1. ∴數(shù)列{a}是以a＝1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列． ∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 答案　(4n－1) 二、解答題 9．(2013·江西卷)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a－(2n－1)an－2n＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0得(an－2n)(an＋1)＝0，由于

6、{an}是正項(xiàng)數(shù)列，則an＝2n. (2)由(1)知an＝2n，故bn＝＝ ＝， ∴Tn＝ ＝＝. 10．(2014·東山二中月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn＋＝λ(λ為常數(shù))．令cn＝b2n(n∈N*)．求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn. 解　(1)設(shè)公差為d，則由已知，得 解得a1＝1，d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1 (2)∵an＝2n－1，∴由Tn＋＝λ得Tn＋＝λ，即Tn＋＝λ① ∴Tn－1＋＝λ(n≥2)② ①－②得bn＋

7、－＝0，∴bn＝(n≥2) ∴cn＝b2n＝＝ ∴Rn＝c1＋c2＋…＋cn ＝0＋＋＋…＋＋③ Rn＝＋＋…＋＋④ ③－④得Rn＝(＋＋…＋)－ ＝－ ＝－×－ ＝－. ∴Rn＝－·41－n 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2014·西安模擬)數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21＝________. 解析　依題意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，則an＋2＝an，即數(shù)列{an}中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別相等，則a2

8、1＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6. 答案　6 2．(2014·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(n)＝n2cos nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________. 解析　若n為偶數(shù)，則an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，為首項(xiàng)為a2＝－5，公差為－4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，為首項(xiàng)為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列．所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)

9、＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝50×3＋×4＋50×(－5)－×4＝－100. 答案　－100 3．設(shè)f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f ＋f ＋…＋f 的值為________． 解析　當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，f(x1)＋f(x2)＝ ＝ ＝1. 設(shè)S＝f ＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋f＋f＝10，即S＝5. 答案　5 二、解答題 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2＝2an－2[(－1)n－1](n＝1,2,3，…)． (1)求a3

10、，a4，a5，a6的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝a2n－1·a2n，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<3. (1)解　分別令n＝1,2,3,4，可求得 a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)n＝2m－1，m∈N*， 則a2m＋1－a2m－1＝2，所以{a2m－1}為等差數(shù)列． 所以a2m－1＝1＋(m－1)·2＝2m－1，即an＝n. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m，m∈N*，則a2m＋2＝a2m， 所以{a2m}為等比數(shù)列，a2m＝·m－1＝. 故an＝ . 綜上所述，an＝ (2)證明　bn＝a2n－1·a2n＝(2n－1)·， 所以Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)·， 所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·. 兩式相減，得 Tn＝＋2－(2n－1)· ＝＋2·－(2n－1)·， 所以Tn＝3－.故Tn<3.