新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣9 計(jì)數(shù)原理講學(xué)案 理
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 回扣9 計(jì)數(shù)原理 1.分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事,可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種方法,在第二類辦法中有m2種方法,…,在第n類辦法中有mn種方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種方法(也稱加法原理). 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟,缺一不可,做第一步有m1種方法,做第二步有m2種方法,…,做第n步有mn種方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理). 3.排列 (1)排列的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
2、 (2)排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用A表示. (3)排列數(shù)公式:A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1). (4)全排列:n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列,A=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A=,這里規(guī)定0?。?. 4.組合 (1)組合的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. (2)組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元
3、素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用C表示. (3)組合數(shù)的計(jì)算公式:C===,由于0?。?,所以C=1. (4)組合數(shù)的性質(zhì):①C=C;②C=C+C. 5.二項(xiàng)式定理 (a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*). 這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,其中的系數(shù)C(k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的Can-kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用Tk+1表示,即展開式的第k+1項(xiàng):Tk+1=Can-kbk. 6.二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為n+1. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為
4、n. (3)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)開始,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n. (4)二項(xiàng)式的系數(shù)從C,C,一直到C,C. 7.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即C=C. (2)增減性與最大值:二項(xiàng)式系數(shù)C,當(dāng)k<時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的;當(dāng)k>時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的. 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),那么其展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),那么其展開式中間兩項(xiàng)和的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大. (3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和 (a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即C+C+C+…+C+…+C=2n.
5、 二項(xiàng)展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1. 1.關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的注意事項(xiàng) (1)分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理,都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題,各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事. (2)混合問題一般是先分類再分步. (3)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重復(fù)不遺漏. (4)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖,使問題的分析更直觀、清楚,便于探索規(guī)律. 2.對(duì)于有附加
6、條件的排列、組合應(yīng)用題,通常從三個(gè)途徑考慮: (1)以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素. (2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置. (3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù),再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 3.排列、組合問題的求解方法與技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題排除法處理.(7)分排問題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反,等價(jià)條件. 4.對(duì)于二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)要注意
7、 (1)區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”,審題時(shí)要仔細(xì). 項(xiàng)的系數(shù)與a,b有關(guān),可正可負(fù),二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān),恒為正. (2)運(yùn)用通項(xiàng)求展開的一些特殊項(xiàng),通常都是由題意列方程求出k,再求所需的某項(xiàng);有時(shí)需先求n,計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系. (3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和,常賦的值為0,±1. (4)在化簡(jiǎn)求值時(shí),注意二項(xiàng)式定理的逆用,要用整體思想看待a,b. 1.從8名女生和4名男生中,抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法數(shù)為( ) A.224 B.112 C.56 D.28 答案 B 解
8、析 根據(jù)分層抽樣,從8名女生中抽取2人,從4名男生中抽取1人,所以抽取2名女生1名男生的方法數(shù)為CC=112. 2.5人站成一排,甲、乙兩人必須站在一起的不同排法有( ) A.12種 B.24種 C.48種 D.60種 答案 C 解析 可先排甲、乙兩人,有A=2(種)排法,再把甲、乙兩人與其他三人進(jìn)行全排列,有A=24(種)排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有2×24=48(種)排法,故選C. 3.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師,派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班1位班主任),要求這3位班主任中男、女教師都要有,則不同的選派方案共有( ) A.210種 B.420種 C.630
9、種 D.840種 答案 B 解析 因?yàn)橐?位班主任中男、女教師都要有,所以共有兩種情況,1男2女或2男1女.若選出的3位教師是1男2女,則共有CCA=180(種)不同的選派方法;若選出的3位教師是2男1女,則共有CCA=240(種)不同的選派方法,所以共有180+240=420(種)不同的方案,故選B. 4.將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、清華大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀,則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有( ) A.150種 B.180種 C.240種 D.540種 答案 A 解析 先將5個(gè)人分成三組,(3,1,1)或(1,2,2),分組方法有C+C=25(種),
10、再將三組全排列有A=6(種),故總的方法數(shù)有25×6=150(種). 5.(2016·四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案 D 解析 由題可知,五位數(shù)要為奇數(shù),則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步:先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C種選法,再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列有A種排法,則滿足條件的五位數(shù)有C·A=72(個(gè)).故選D. 6.如圖,花壇內(nèi)有5個(gè)花池,有5種不同顏色的花卉可供栽種,每個(gè)花池內(nèi)只能種一種顏色的花卉,相鄰兩池的花色不同,則栽種方案的種數(shù)為( ) A.180 B.
11、240 C.360 D.420 答案 D 解析 若5個(gè)花池栽了5種顏色的花卉,方法有A種,若5個(gè)花池栽了4種顏色的花卉,則2,4兩個(gè)花池栽同一種顏色的花,或3,5兩個(gè)花池栽同一種顏色的花,方法有2A種;若5個(gè)花池栽了3種顏色的花卉,方法有A種,所以最多有A+2A+A=420(種). 7.某天連續(xù)有7節(jié)課,其中語文、英語、物理、化學(xué)、生物5科各1節(jié),數(shù)學(xué)2節(jié).在排課時(shí),要求生物課不排第1節(jié),數(shù)學(xué)課要相鄰,英語課與數(shù)學(xué)課不相鄰,則不同排法的種數(shù)為( ) A.408 B.480 C.552 D.816 答案 A 解析 數(shù)學(xué)在第(1,2)節(jié),從除英語外的4門課中選1門安排
12、在第3節(jié),剩下的任意排,故有CA=96(種)排法;數(shù)學(xué)在第(2,3)節(jié),從除英語、生物外的3門課中選1門安排在第1節(jié),從除英語外剩下的3門課中再選1門安排在第4節(jié),剩下的任意排,故有CCA=54(種)排法;數(shù)學(xué)在(3,4),(4,5),(5,6)情況一樣,當(dāng)英語在第1節(jié)時(shí),其他任意排,故有A=24(種)排法,當(dāng)英語不在第1節(jié)時(shí),從除英語,生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié),再從除英語外剩下的3門中選2門放在數(shù)學(xué)課前1節(jié)和后1節(jié),剩下的任意排,有CAA=36(種)排法,故共有3×(24+36)=180(種)排法;數(shù)學(xué)在第(6,7)節(jié)時(shí),當(dāng)英語在第一節(jié)時(shí),其他任意排,故有A=24(種)排法,當(dāng)英語
13、不在第1節(jié),從除英語,生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié),再從除英語外的剩下的3門中選1門放在第5節(jié),剩下的任意排,有CCA=54(種)排法,故有24+54=78(種)排法,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有96+54+180+78=408(種)排法.故選A. 8.設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 答案 A 解析 由題可知,含x4的項(xiàng)為Cx4i2=-15x4.故選A. 9.在二項(xiàng)式n的展開式中,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為( ) A.32 B.-32 C.0 D.
14、1 答案 C 解析 依題意得所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n=32,解得n=5. 因此,令x=1,則該二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于5=0,故選C. 10.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an=126,那么n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( ) A.-15 B.15 C.20 D.-20 答案 D 解析 令x=1得a0+a1+a2+…+an=2+22+…+2n=2×=2n+1-2=126?2n+1=128?2n+1=27?n=6,又Tk+1=C()6-kk=C(-1)kx3-k, 所以由3-k
15、=0,得常數(shù)項(xiàng)為-C=-20. 故選D. 11.已知等比數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式4展開式中的常數(shù)項(xiàng),則a3·a7=________. 答案 36 解析 4的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=Cx4-2k, 令4-2k=0,得k=2,∴常數(shù)項(xiàng)為C=6,即a5=6. ∵{an}為等比數(shù)列,∴a3·a7=a=62=36. 12.書架上原來并排放著5本不同的書,現(xiàn)要再插入3本不同的書,那么不同的插入方法共有________種. 答案 336 解析 由題意得3本不同的書,插入到原來的5本不同的書中,可分為三步,第一步:先插入第一本,插入到原來5本不同的書排成的一排所形成的6個(gè)間隔中,有A=
16、6(種)方法;第二步:再插入第二本,插入到原來6本不同的書排成的一排所形成的7個(gè)間隔中,有A=7(種)方法;第三步:再插入第三本,插入到原來7本不同的書排成的一排所形成的8個(gè)間隔中,有A=8(種)方法,共有6×7×8=336(種)不同的插入方法. 13.某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游,其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各2名,分別乘甲、乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置),其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一年級(jí)的乘坐方式共有________種. 答案 24 解析 分類討論,有2種情形.孿生姐妹乘坐甲車,則有CCC=12(
17、種)乘車方式;孿生姐妹不乘坐甲車,則有CCC=12(種)乘車方式.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知,共有24種乘車方式. 14.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________.(用數(shù)字作答) 答案 729 解析 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|相當(dāng)于(1+2x)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和,令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=36=729. 15.如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開式中的系數(shù)是________. 答案 21 解析 n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為n=2n=128,所以n=7,所以n=7,其展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C(3x)7-k·k=.由7-=-3, 得k=6,所以的系數(shù)為(-1)6·31·C=21. 16.(x2-x+1)10展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為________. 答案?。?10 解析 (x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C(x2-x)k,對(duì)于(x2-x)k通項(xiàng)公式為 Tm+1=Cx2k-2m(-x)m=(-1)mCx2k-m, 令2k-m=3且m≤k≤10,m∈N,k∈N, 得k=2,m=1或k=3,m=3,(x2-x+1)10的展開式x3系數(shù)為CC·(-1)+CC·(-1)3=-210.
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