新版高考數(shù)學復習 專題4.4 專題突破 高考中的圓錐曲線問題全國高考數(shù)學考前復習大串講

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1、 1

2、 1 題型一　求圓錐曲線的標準方程 例1　(20xx·天津變式)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為________. 【答案】　x2－＝1 【思維升華】　求圓錐曲線的標準方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質，解得標準方程中的參數(shù)，從而求得方程. 【跟蹤訓練1】

3、　(20xx·課標全國Ⅰ)已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為， F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點. (1)求E的方程； (2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程. 【解析】 (1)設F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程為＋y2＝1. (2)當l⊥x軸時不合題意， 故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx－2代入＋y2＝1得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時，

4、 x1,2＝. 從而PQ＝|x1－x2|＝. 題型二　圓錐曲線的幾何性質 例2　(1)(20xx·湖南變式)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________. A. B. C. D. (2)已知雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)，P為x軸上一動點，經(jīng)過點P的直線y＝2x＋m (m≠0)與雙曲線C有且只有一個交點，則雙曲線C的離心率為________. 【答案】　(1)　(2) 【解析】　 (1)由條件知y＝－x過點(3，－4)，∴＝4， 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2， ∴25a2＝9c2，∴e＝

5、. (2)由雙曲線的方程可知：漸近線方程為y＝±x. ∵經(jīng)過P的直線y＝2x＋m (m≠0)與雙曲線C有且只有一個交點，∴此直線與漸近線y＝x平行，∴＝2. ∴e＝＝ ＝. 【思維升華】　圓錐曲線的幾何性質是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關鍵是熟練掌握各性質的定義，及相關參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結論及變形技巧，有助于提高運算能力. 【跟蹤訓練2】　(20xx·北京)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關系，

6、并證明你的結論. 【解析】　 故d＝ ＝ ＝. 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切. 綜上，直線AB與圓x2＋y2＝2相切. 題型三　最值問題 例3　設橢圓M：＋＝1 (a>b>0)的離心率為，長軸長為6，設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點. (1)求橢圓M的方程； (2)求證：AB＝； (3)設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求AB＋CD的最小值. (3)解　過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，同理可得 CD＝＝， 所以AB＋CD＝＋ ＝. 因為sin 2θ∈0,1]，所以當且僅當sin 2θ＝1時，

7、 AB＋CD有最小值是8. 【思維升華】　圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值. 【跟蹤訓練3】　(20xx·課標全國Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0，6).當△APF周長最小時，該三角形的面積為________. 【答案】　12 【解析】　設左焦點為F1，PF－PF1＝2a＝2， ∴PF＝2＋PF1，△APF的周長為AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，

8、△APF周長最小即為AP＋PF1最小，當A、P、F1三點共線時最小，過AF1的直線方程為＋＝1.與x2－＝1聯(lián)立，解得P點坐標為(－2,2)，此時S＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 題型四　定值、定點問題 例4　(20xx·課標全國 Ⅱ)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M. (1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值； (2)若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由. 【解析】 【思維升華】　求定點及定值問題常見的方法有

9、兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關. (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 【跟蹤訓練4】　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝ ，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖所示，A、B、D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值. 【解析】 題型五　探索性問題 例5　(20xx·廣東)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)

10、求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由. 【解析】　 (3)由題意知直線L表示過定點(4,0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x2－3x＋y2＝0，其中

11、2＝0， 解得x＝∈，∴k＝±滿足條件. 當Δ>0時， 【思維升華】　 (1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在. (2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法. 【跟蹤訓練5】　 (20xx·湖南)如圖，O為坐標原點，雙曲線C1：－＝1(a1>0，b1>0)和橢圓C2：＋＝1(a2>b2>0)均過點P(，1)，且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積

12、為2的正方形. (1)求C1，C2的方程； (2)是否存在直線l，使得l與C1交于A，B兩點，與C2只有一個公共點，且|＋|＝||？證明你的結論. 【解析】　 (1)設C2的焦距為2c2，由題意知，2c2＝2,2a1＝2. 從而a1＝1，c2＝1. 因為點P(，1)在雙曲線x2－＝1上， 所以()2－＝1.故b＝3. 由橢圓的定義知 2a2＝ ＋ ＝2. 于是a2＝，b＝a－c＝2. 故C1，C2的方程分別為 x2－＝1，＋＝1. 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因為直線l與C2只有一個公共點，所以上述方程的判別式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化簡，得2k2＝m2－3， 因此·＝x1x2＋y1y2 ＝＋＝≠0， 于是2＋2＋2·≠2＋2－2·， 即|＋|2≠|－|2， 故|＋|≠||. 綜合①②可知，不存在符合題設條件的直線. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org