3、an與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，
則an＝
[知識拓展]
1．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an恒成立．
2．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an恒成立．
[基本能力自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以
4、寫出數(shù)列{an}的任何一項(xiàng)．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為( )
A．15 B．16
C．49 D．64
A [當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖5-1-1)．
圖5-1-1
則第7個(gè)三角形數(shù)是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：00090153】
A．27 B．28
C．29 D．30
B [由題圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是
5、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
4．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an是__________．
[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項(xiàng)為.]
5．(20xx·張掖模擬)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________.
[由an＋1＝，得an＝1－，
∵a8＝2，∴a7＝1－＝，
a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，
∴{an}是以3為周期的數(shù)列，∴a1＝a7＝.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第68頁)
由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，－，，－，，…
6、；
(3)3,33,333,3 333，….
(4)－1,1，－2,2，－3,3…
[解] (1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(2)數(shù)列中各項(xiàng)的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項(xiàng)絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，
所以an＝.
(3)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1)．
(4)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為－1，－2，－3，…可用－表示
數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，…可用表示．
因此an＝
[規(guī)律方法] 1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓
7、住以下幾個(gè)特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；
(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征；
(4)各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想．
2．若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來．對于正負(fù)符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性．
[變式訓(xùn)練1] (1)數(shù)列0，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為( ) 【導(dǎo)學(xué)號：00090154】
A．a(chǎn)n＝(n∈N*)
B．a(chǎn)n＝(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝(n∈N*)
D．a(chǎn)n＝(n∈N*)
(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)是，1，，
8、，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝__________.
(1)C (2) [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項(xiàng)排除即可．
(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為，，，，故an＝.]
由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an
(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(1) (2)(－2)n－1 [(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3
9、(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝
(2)由Sn＝an＋，得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1＋，
兩式相減，得an＝an－an－1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝－2an－1，即＝－2.
又n＝1時(shí)，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，
∴an＝(－2)n－1.]
[規(guī)律方法] 由Sn求an的步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
(3)對n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，
10、如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式．
易錯(cuò)警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n＝1致誤．
[變式訓(xùn)練2] (1)(20xx·河南八校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
【導(dǎo)學(xué)號：00090156】
(1)－2n－1 (2) [(1)依題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2
11、an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以a1＝－1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1.
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．
∴an＝]
由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【導(dǎo)學(xué)號：00090157】
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
12、
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝n2＋.
(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝··…··a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2.
又a1＝1適合上式，故an＝2.
(3)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴a
13、n＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
[規(guī)律方法] 1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列．
易錯(cuò)警示：本題(1)，(2)中常見的錯(cuò)誤是忽視驗(yàn)證a1是否適合所求式，(3)中常見錯(cuò)誤是忽視判定首項(xiàng)是否為零．
[變式訓(xùn)練3] 根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)．
14、(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3.
[解] (1)由題意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
(2)因?yàn)閍n＝an－1(n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1個(gè)式子相乘得··…··＝··…··，
即＝××2×1，所以an＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝，也與已知a1＝相符，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)
又a1＝1，∴a1＋3＝4.
故數(shù)列{an＋3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 文 北師大版
