新編高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學案 理 北師大版

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1、 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． (對應(yīng)學生用書第79頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．數(shù)列的概念 (1)數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項． (2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值． (3)函數(shù)有三種表示示，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法． 2．數(shù)列

2、的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 按項與項間 的大小關(guān)系 分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中 n∈N＋ 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他 標準分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動數(shù)列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 3.數(shù)列的兩種常用的表示方法 (1)通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式． (2)

3、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的遞推公式． [知識拓展]　 1．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an， 則an＝ 2．在數(shù)列{an}中，項an最大，則 若an最小，則 3．數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相同的一

4、組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．(　　) (2)一個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的．(　　) (3)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達．(　　) (4)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個．(　　) (5)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－8n＋15，則3(　　) A．不是數(shù)列{an}中的項 B．只是數(shù)列{an}中的第2項 C．只是數(shù)列{an}中的第6項 D．是數(shù)列{an}中的第2項或第6項 D　[令

5、an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6， 故3是數(shù)列{an}中的第2項或第6項．] 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15　　 B．16　　　　C．49　　　　D．64 A　[當n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.] 4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　　) A． B． C． D． D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.] 5．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an是__________． 　[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為.]

6、(對應(yīng)學生用書第80頁) 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式 　寫出下面各數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,7,9，…； (2)－，，－，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5,55,555,5 555，…. [解]　(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (2)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an＝(－1)n×，n∈N＋. (3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an＝. (4)

7、將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項為10n－1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)． [規(guī)律方法]　1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征： (1)分式中分子、分母的特征. (2)相鄰項的變化特征. (3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征. (4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想. 2.若關(guān)系不明顯時，應(yīng)將部分項作適當?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來.對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整，可代入驗證歸納的正確性. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知n∈N＋，給出4個表達式： ①an＝ ②an＝

8、； ③an＝； ④an＝.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項公式的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ (2)數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝__________. (1)A　(2)　[(1)檢驗知①②③都是所給數(shù)列的通項公式． (2)數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝.] 由an與Sn的關(guān)系求通項an 　已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當n≥2時，a

9、n＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式． 當b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當b＝－1時，an＝2·3n－1； 當b≠－1時，an＝ [規(guī)律方法]　已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式. (3)看a1是否符合n≥2時an

10、的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式. 易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(20xx·石家莊質(zhì)檢(二))已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N＋)，則an＝(　　) 【導(dǎo)學號：79140166】 A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2 (2)(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. (1)A　(2)－　[(1)由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2

11、an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，∴數(shù)列{an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A． (2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式 　分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n

12、∈N＋)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N＋)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)． [解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. (2)當n≥2，n∈N＋時， an＝a1×××…× ＝1×××…×××＝n， 當n＝1時，也符合上式， ∴該數(shù)列的通項公式為an＝n. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1

13、＝1，∴a1＋1＝2， 故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. [規(guī)律方法]　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列. 易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an. 【導(dǎo)學號：79140167】 (2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an. [解]　(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－. (2)由于＝2n， 故＝21，＝22，…，＝2n－1， 將這n－1個等式疊乘， 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.