新版高三數學復習 第3節(jié)　平面向量的數量積及平面向量的應用

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2、 1 第3節(jié)　平面向量的數量積及平面向量的應用 　　課時訓練 練題感 提知能 【選題明細表】 知識點、方法 題號 向量的數量積 2、4、10 長度及夾角、垂直問題 1、3、7、9、12、15 平面向量的應用 5、6、8、13、16 與向量有關的新情境問題 11、14 A組 一、選擇題 1.(高考大綱全國卷)已知向量m=(λ

3、+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則λ等于(　B　) (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 解析:m+n=(2λ+3,3), m-n=(-1,-1), 由題意知(m+n)·(m-n)=0, 即-(2λ+3)-3=0, 因此λ=-3.故選B. 2.(高考湖北卷)已知點A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量AB→在CD→方向上的投影為(　A　) (A)322 (B)3152 (C)-322 (D)-3152 解析:AB→=(2,1),CD→=(5,5),設AB→,CD→的夾角為θ,則AB→在CD→方向上的投影為|AB

4、→|cos θ=AB→·CD→|CD→|=1552=322. 故選A. 3.若向量a、b滿足|a|=|b|=2,a與b的夾角為60°,則|a+b|等于(　B　) (A)22+3 (B)23 (C)4 (D)12 解析:|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos 60° =4+4+2×2×2×12=12,|a+b|=23.故選B. 4.(20xx廣東高三綜合測試)對于任意向量a、b、c,下列命題中正確的是(　D　) (A)|a·b|=|a||b| (B)|a+b|=|a|+|b| (C)(a·b)c=a(b·c) (D)a·a=|a|2 解析:a·

5、a=|a|·|a|cos 0°=|a|2. 故選D. 5.(20xx潮州市高三期末質檢)平面四邊形ABCD中,AB→+CD→=0,(AB→-AD→)·AC→=0,則四邊形ABCD是(　B　) (A)矩形 (B)菱形 (C)正方形 (D)梯形 解析:由AB→+CD→=0,得AB→=-CD→=DC→,故平面四邊形ABCD是平行四邊形,又(AB→-AD→)·AC→=0, 故DB→·AC→=0,所以DB⊥AC,即對角線互相垂直,所以四邊形ABCD是菱形. 6.(20xx浙江金麗衢十二校聯考)在△ABC中,AB→=(cos 18°, cos 72°),BC→=(2cos 63°,2cos

6、27°),則角B等于(　B　) (A)π4 (B)3π4 (C)π3 (D)2π3 解析:AB→·BC→=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27° =2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18° =2sin(27°+18°) =2sin 45° =2. 而|AB→|=1,|BC→|=2,∴cos B=-AB→·BC→|AB→||BC→|=-22, 又B∈(0,π),故B=3π4.故選B. 7.(20xx河北唐山一模)已知向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為(　C　) (A)π4 (B

7、)π6 (C)π3 (D)π2 解析:設a與b的夾角為θ, 由|a|=1,|b|=2, 得(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=1+1×2×cos θ-2×4=-6, 解得cos θ=12. 再由0≤θ≤π可得θ=π3.故選C. 二、填空題 8.一質點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1、F2成60°角,且F1、F2的大小分別為2和4,則F3的大小為　　　　.? 解析:由題意知F3=-(F1+F2), ∴|F3|=|F1+F2|, ∴|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28, ∴|F3|

8、=27. 答案:27 9.(20xx佛山質檢(二))已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,向量a與b的夾角為　　　　.? 解析:∵(a-b)⊥a, ∴(a-b)·a=a2-a·b=0, ∴a·b=1,設a與b夾角θ則cos θ=11×2=22, 又θ∈[0,π], 所以θ=π4. 答案:π4 10.(20xx廣東六校聯考)如圖所示,等邊△ABC中,AB=2AD=4AE=4,則BE→·CD→=　　　　.? 解析:BE→=BA→+AE→=-AB→+14AC→, CD→=CA→+AD→=-AC→+12AB→, BE→·CD→=(-AB→+14AC→)·

9、(-AC→+12AB→) =98AB→·AC→-12AB→2-14AC→2 =98×4×4cos A-12×42-14×42 =9-8-4 =-3. 答案:-3 11.(20xx清遠市調研)定義:對于向量a,b的運算a×b的結果是一個向量,它的方向與a,b都平行的平面垂直,a×b的長度(即模)為|a×b|=|a|·|b|sin θ,其中θ為a與b的夾角,若a=(1,2),b=(2,1),計算|a×ba·b|=　　　　.? 解析:由已知可得cos θ=a·b|a|·|b|=45, 故sin θ=35, 據已知定義可得|a×ba·b|=5×5×354=34. 答案:34 三、

10、解答題 12.已知a=(1,2),b=(-2,n)(n>1),a與b的夾角是45°. (1)求b; (2)若c與b同向,且a與c-a垂直,求c. 解:(1)∵a·b=2n-2,|a|=5, |b|=n2+4, ∴cos 45°=a·b|a||b|=2n-25·n2+4=22, ∴3n2-16n-12=0(n>1). ∴n=6或n=-23(舍). ∴b=(-2,6). (2)由(1)知,a·b=10,|a|2=5. 又∵c與b同向,∴可設c=λb(λ>0). ∵(c-a)·a=0, ∴λb·a-|a|2=0. ∴λ=|a|2b·a=510=12. ∴c=12b=(-

11、1,3). 13.設a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2). (1)求證:(a-b)⊥(a-c); (2)求|a|的最大值,并求此時x的值. (1)證明:由已知得a-b=(cos x,1+sin x), a-c=(cos x,sin x-1), 則(a-b)·(a-c)=(cos x,1+sin x)·(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0. 故(a-b)⊥(a-c). (2)解:|a|=(1+cosx)2+(1+sinx)2 =3+2(sinx+cosx) =3+22sinx+π4≤3+22 =2+1. 當sin

12、x+π4=1, 即x=π4+2kπ(k∈Z)時,|a|有最大值2+1. B組 14.(20xx肇慶中小學質量評估檢測)定義空間兩個向量的一種運算a?b=|a|·|b|sin ,則關于空間向量上述運算的以下結論中, ①a?b=b?a; ②λ(a?b)=(λa)?b; ③(a+b)?c=(a?c)+(b?c); ④若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a?b=|x1y2-x2y1|. 恒成立的個數是(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:①顯然恒成立;②λ(a?b)=λ|a|·|b|sin,(λa)?b= |λa|·|b|sin<λ

13、a,b>,當λ<0時,λ(a?b)=(λa)?b不成立.③當a,b,c不共面時,(a+b)?c=(a?c)+(b?c)不成立,例如取a,b,c為兩兩垂直的單位向量,易知(a+b)?c=2,(a?c)+(b?c)=2.④由a?b=|a|·|b|·sin ,a·b=|a|·|b|cos ,可知(a?b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2,(a?b)2=|a|2·|b|2-(a·b)2=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,故a?b=|x1y2-x2y1|恒成立,故恒成立的個數是2.故選B. 15.(高考天津卷)在平行四邊形

14、ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點.若AC→·BE→=1,則AB的長為　　　　.? 解析:如圖AC→·BE→=(AB→+BC→)·(BC→+CE→)=(AB→+BC→)·(BC→-12AB→)=AB→·BC→-12AB→·AB→+BC→·BC→-12AB→·BC→=12|AB→||BC→|×12-12|AB→|2+1=1. 得|AB→|=12|BC→|=12,則AB的長為12. 答案:12 16.(高考陜西卷)已知向量a=(cos x,-12), b=(3sin x,cos 2x),x∈R,設函數f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求

15、f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值. 解:f(x)=(cos x,-12)·(3sin x,cos 2x) =3cos xsin x-12cos 2x =32sin 2x-12cos 2x =cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x =sin2x-π6. (1)f(x)的最小正周期為T=2πω=2π2=π, 即函數f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤π2, ∴-π6≤2x-π6≤5π6. 由正弦函數的性質,知當2x-π6=π2, 即x=π3時,f(x)取得最大值1. 當2x-π6=-π6, 即x=0時,f(x)取得最小值-12, 因此,f(x)在[0,π2]上的最大值是1,最小值是-12.