新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
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2、 1 第三章 導(dǎo)數(shù) 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題型37 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 1(20xx湖北文10).已知函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是( ). A. B. C. D. 1. 分析 由已知得有兩個正實數(shù)根,即的圖象與軸有兩 個交點,從而得的取值范圍. 解析 ,依題
3、意有兩個正實數(shù)根. 設(shè),函數(shù)有兩個零點,顯然當時不合題意, 必有;,令,得,于是在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,即,所以.故選B. 2. (20xx福建文12)設(shè)函數(shù)的定義域為,的極大值點,以下結(jié) 論一定正確的是( ). A. B.是 的極小值點 C.是 的極小值點 D.是 的極小值點 2.分析 不妨取函數(shù),則,易判斷為 的極大值點,但顯然不是最大值,故排除A. 解析 因為,易知,為的極大值點,故排除B; 又,易知,為的極大值點,故排除C; 因為的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱,由函數(shù)圖象的對稱性可得應(yīng)
4、為函數(shù)的極小值點.故D正確. 3. (20xx安徽文20)設(shè)函數(shù),其中,區(qū)間. (1)求的長度(注:區(qū)間的長度定義為); (2)給定常數(shù),當時,求長度的最小值. 3.解 同理科卷17題. 4.(20xx江西文21)設(shè)函數(shù) 為常數(shù)且. (1)當時,求; (2)若滿足但,則稱為的二階周期點,證明函數(shù) 有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點,; (3)對于(2)中,,設(shè),,,記的面積為,求在區(qū)間上的最大值和最小值. 4.分析 (1)根據(jù)自變量的取值求出相應(yīng)的函數(shù)值;(2)根據(jù)自變量的取值和二階周期點 的定義解方程求出題目中的二階周期點;(3)根據(jù)(2)的結(jié)果
5、用參數(shù)表示出三角形的面 積,通過導(dǎo)數(shù)求最值的方法得出最值. 解析 (1)當時,,. (2) 當時,由,解得2,因為,故不是的二階周期點; 當時,由解得. 因為, 故為的二階周期點; 當時,由解得. 因為, 故不是的二階周期點; 當時,由解得. 因為, 故為的二階周期點. 因此,函數(shù)有且僅有兩個二階周期點,. (3)由(2)得,, 則,, 因為,有, 所以 (或令, ,因為 則在區(qū)間上的最小值為, 故對于任意,.) 則在區(qū)間上單調(diào)遞增, 故在區(qū)間上的最小值為,最大值為. 5. (20xx江蘇20) 設(shè)函數(shù),,其中為實數(shù). (1)若在上是單調(diào)
6、減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍; (2)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論. 5.分析(1)通過在上恒成立,在有解求得的取值范圍;(2)由在上恒成立得出的取值范圍,然后對進行討論,研究的零點. 解析 解:(1)令,考慮到的定義域為,故, 進而解得,即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理,在上是單調(diào)增函數(shù). 由于在上是單調(diào)減增函數(shù),故,從而,即. 令,得. 當時,;當時,.又在上有最小值. 所以,即. 綜上可知,. (2)當時,必為單調(diào)增函數(shù); 當時,令,解得,即.因為在上是單調(diào)增函數(shù),類似(1)有,即. 結(jié)合上述兩種情況,得. ①當時,由以及,得存在唯一
7、的零點; ②當時,由于,且函數(shù)在上的圖象連續(xù),所以在上存在零點. 另外,當時,,故在上是單調(diào)增函數(shù),所以只有一個零點. ③當時,令,解得.當時,;當時,,所以,是的最大值點,且最大值為. a.當,即時,有一個零點. b.當,即時,有兩個零點.實際上,對于,由于.,且函數(shù)在上的圖象連續(xù),所以在上存在零點. 另外,當時,,故在上是單調(diào)增函數(shù),所以在上只有一個零點.下面考慮在上的情況.先證.為此,我們要證明:當時,. 設(shè),則,再設(shè),則. 當時,,所以在上是單調(diào)增函數(shù). 當時,,從而在上是單調(diào)增函數(shù),進而當時,,即當時,. 當,即時,. 又,且函數(shù)在上的圖象連續(xù),所以在上存在零點
8、. 又當時,,故在上是單調(diào)減函數(shù), 所以在上只有一個零點.綜合①②③可知,當或時,的零點個數(shù)為,當時,的零點個數(shù)為. 6. (20xx浙江文21)已知,函數(shù). (1)若,求曲線在點處的切線方程; (2)若,求在閉區(qū)間上的最小值. 6.分析 (1)切點處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,求導(dǎo)后算出斜率,寫出切線方程即可.(2)要 確定 的最小值,因為的最值是由其單調(diào)性決定的,所以要先利用導(dǎo)數(shù)確定 的單調(diào)性,再確定極值和區(qū)間端點的函數(shù)值.由于所給區(qū)間中含有絕對值,因此要分類 討論. 解析 (1)當時,,所以.又因為,所以切線方程為,即. (2)記為 在閉區(qū)間上的最小值. .令,得.
9、 當時, 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 比較和的大小可得 當時, 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 得. 綜上所述,在閉區(qū)間上的最小值為 7.(20xx重慶文19(1))已知函數(shù)在處取得極值. 確定的值; 7. 解析 求導(dǎo)得,因為在處取得極值,所以, 即,解得.經(jīng)檢驗,是的極大值點. 8.(20xx安徽文21(2))已知函數(shù).若,求 在內(nèi)的極值. 8. 分析 由(1)可知在內(nèi)的極大值為,且在內(nèi)無
10、極小值. 解析 因為,由(1)可知在內(nèi)的極大值為, 在內(nèi)無極小值.故在內(nèi)極大值為,無極小值. 9.(20xx北京文19(1))設(shè)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值; 9. 解析 函數(shù)的定義域為,, 令,得, 當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減; 當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增. 當時,函數(shù)取得極小值. 10.(20xx湖南文21(1))函數(shù),記為的從小到大 的第個極值點.證明:數(shù)列是等比數(shù)列; 10. 解析 令,由,得,即, 而對于,當時, 若,即,則; 若,即,則. 因此,在區(qū)間與上,的符號總相反, 于是當時,取得極值,所以, 此時,,易知, 而是常數(shù), 故數(shù)列是首項為,
11、公比為的等比數(shù)列. 11.(20xx新課標2卷文21(2))已知函數(shù).當有最大值,且最大值大于時,求的取值范圍. 11. 分析 由(1)知當時,在上無最大值;當時,最大值為,因此,故.令,則在上是增函數(shù). 當時,;當時,.因此的取值范圍是. 解析 由(1)知,當時,在上無最大值;當時,在處取得最大值,最大值為. 因此等價于. 令,則在上單調(diào)遞增,又. 于是,當時,;當時,. 因此,的取值范圍是. 評注 高考中對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,主要體現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的工具性來解決函數(shù)性質(zhì)問題,函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的終極內(nèi)容,學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后用導(dǎo)數(shù)這一工具可使求解更直接簡單,特別要注意函數(shù)的定義域和對參數(shù)進行討
12、論. 12.(20xx山東文20 (3))設(shè)函數(shù),. 已知曲線在點 處的切線與直線平行.設(shè)函數(shù)(表示中的較小值),求的最大值. 12.解析 由(2)知,方程在內(nèi)存在唯一的根,且時,,時,,所以. 當時,若,; 若,由,可知.故. 當時,由,可得時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;故. 又,所以函數(shù)的最大值為. 13.已知是函數(shù)的極小值點,則( ). A. B. C. D. 13.D 解析 令得,或易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故極小值為,由已知得.故選D 14.(20xx山東文20)設(shè),. (1)令,求的單調(diào)
13、區(qū)間; (2)已知在處取得極大值,求實數(shù)的取值范圍. 14. 解析 (1)由,可得, 則, 當時,時,,函數(shù)單調(diào)遞增; 當時,時,,函數(shù)單調(diào)遞增;時,,函數(shù)單調(diào)遞減. 綜上所述,當時,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為; 當時,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)由(1)知,. ①當時, 單調(diào)遞增. 所以當時,,單調(diào)遞減.當時,,單調(diào)遞增. 所以在處取得極小值,不合題意. ②當時,,由(1)知在內(nèi)單調(diào)遞增, 可得當時,,時,, 所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意. ③當時,即時,在內(nèi)單調(diào)遞增,在 內(nèi)單調(diào)遞減, 所以當時,, 單調(diào)遞減,不合題意
14、. ④當時,即 ,當時,,單調(diào)遞增, 當時,,單調(diào)遞減, 所以在處取得極大值,合題意. 綜上可知,實數(shù)的取值范圍為. 15.(20xx天津文20)設(shè)函數(shù),,其中. (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)若存在極值點,且,其中,求證:; (3)設(shè),函數(shù),求證:在區(qū)間上的最大值不小于. 15.解析 (1)由,可得,下面分兩種情況討論: ①當時,有恒成立,所以在上單調(diào)遞增. ②當時,令,解得或. 當變化時,,的變化情況如表所示. 0 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,. (2)證明:因
15、為存在極值點,所以由(1)知且. 由題意得,即,所以. 又,且, 由題意及(1)知,存在唯一實數(shù)滿足,且,因此,所以. (3)證明:設(shè)在區(qū)間上的最大值為,表示,兩數(shù)的最大值,下面分三種情況討論: ①當時,由知在區(qū)間上單調(diào)遞減, 所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此, 所以 ②當時,, 由(1)和(2) 知,, 所以在區(qū)間上的取值范圍為, 所以 . ③當時,, 由(1)和(2)知,, 所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此. 綜上所述,當時,在區(qū)間上的最大值不小于. 16.(20xx北京文20)已知函數(shù). (1)求曲線在點處的切線方程; (2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和
16、最小值. 16.解析 . (1),,則曲線在點處的切線方程為. (2). 因為,恒成立,所以在上單調(diào)遞減,且,所以,所以在上單調(diào)遞減,所以,. 17.(20xx山東文20)已知函數(shù). (1)當時,求曲線在點處的切線方程; (2)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值. 解析 (1)由題意,. (1)當時,,,所以, 因此,曲線在點處的切線方程是,即. (2)因為,所以. 令,則 ,所以在上單調(diào)遞增. 因為,所以當時,;當時,. ①當時,, 當時,,,單調(diào)遞增; 當時,,,單調(diào)遞減; 當時,,,單調(diào)遞增. 所以,當時,取到極大值,極大值是,
17、當時,取到極小值,極小值是. ②當時,. 當時,,單調(diào)遞增. 所以,在上單調(diào)遞增,無極大值也無極小值. ③當時,. 當時,,,單調(diào)遞增; 當時,,,單調(diào)遞減; 當時,,,單調(diào)遞增. 所以,當時,取到極大值,極大值是; 當時,取到極小值,極小值是. 綜上所述,當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是,極小值是; 當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; 當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是,極小值是. 18.(20xx浙江20) 已知函數(shù). (1)求的導(dǎo)函數(shù); (2)求在區(qū)間上的取值范圍. 18.
18、解析 (1)因為 ,, 所以. (2)由,解得或. 當變化時,,的變化情況如下表所示. 1 0 0 ↘ 0 ↗ ↘ 又,,所以在區(qū)間上的取值范圍是. 19.(20xx江蘇20)已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值). (1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域; (2)證明:; (3)若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍. 19.解析 (1)由,得, 當時,有極小值為. 因為的極值點是的零點, 所以,又,故. 當時,恒成立,即單調(diào)遞增, 所以此
19、時不存在極值,不合題意. 因此,即,所以. 有兩個相異的實根,. 列表如下 x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點是,從而. 所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為,定義域為. (2)解法一:由(1)知,即證明,即, 因為,所以問題等價于, 不妨設(shè),則,不妨設(shè), 易知在上單調(diào)遞增,且, 從而,即得證. 因此. 解法二(考試院提供):由(1)知,. 設(shè),則. 當時,,從而在上單調(diào)遞增. 因為,所以,故,即, 因此. (3)由(1)設(shè)的兩個實根為,且設(shè), 且有,因此. 而的情況如下表所示:
20、 極大值 極小值 所以的極值點是, 從而 . 記,所有極值之和為, 因為的極值為,所以,. 處理方法一:因為,于是在上單調(diào)遞減. 因為,由,故. 處理方法二:所以,整理得(必然可以猜測零點), ,因此. 因此的取值范圍為. 評注 ①此題第(2)問考查的是數(shù)值大小的比較,常見的有作差法、作商法、兩邊平方比較法,此題采用作商(考試院解法二)化簡函數(shù)達到簡化效果,可見對于壓軸問題,方法的選擇是非常關(guān)鍵的. ②第(3)問實際考查的是函數(shù)零點的應(yīng)用,下面提供此前我們做過的兩個類似習(xí)題供參考. 案例1:已知函數(shù),若函數(shù)存在極值,
21、且所有極值之和小于,則實數(shù)的取值范圍是 . 解析 因為, 設(shè),當時,恒成立, 所以單調(diào)遞減,故不存在極值; 所以,設(shè)的兩根為(不妨設(shè)), 從而,因此同號, 所以問題等價于在上有兩個不相等的實數(shù)根, 因此,從而. 所以的所有極值之和為 , 因此,解得,又,所以實數(shù)的取值范圍是. ④另外,如果熟悉三次函數(shù)對稱中心,此題還可以作如下考慮: 即,,, 令,則,所以該三次函數(shù)的對稱中心為. 因此有 . 這里可以采用假算的思想,即寫出簡單過程,省去中間過于復(fù)雜的運算過程,直接寫出結(jié)果即可,這需要平時積累一些有價值的素材. 案例2:(徐州15-1
22、6高二下學(xué)期期末文20)已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). (1)若,求曲線在點處的切線方程; (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (3)若存在實數(shù),且,使得,求證:. 解析 (1)若,則,, 所以切線斜率為,又, 所以在點處的切線方程為. (2),. ①當時,恒成立,所以的單調(diào)增區(qū)間為; ②當時,令,得或, 所以的單調(diào)增區(qū)間為和, 同理的單調(diào)減區(qū)間為; ③當時,令,得. 所以的單調(diào)增區(qū)間為,同理的單調(diào)減區(qū)間為. (3)由題意可知,是方程的兩根, 則,, 所以. 令,. 則恒成立,所以在上單調(diào)遞減, 所以,即. 題型38 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的圖像 1.(20xx浙江
23、7)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的圖像可能是( ). 1.解析 導(dǎo)數(shù)大于零,原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)數(shù)小于零,原函數(shù)單調(diào)遞減,對照導(dǎo)函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像.故選D. 題型39 恒成立與存在性問題 1. (20xx遼寧文21)(1)證明:當時,; (2)若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 1.分析 利用構(gòu)造法,分別判斷與,與的大小關(guān)系;利用比較法或構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)求解范圍. 解析 (1)證明:記,則, 當時,,在上是增函數(shù); 當時,,在上是減函數(shù). 又,,所以當時,,即. 記,則當時,,所以在上是減函數(shù),則,即. 綜上,,. (2)解法一:因為當時, ,
24、 所以,當時,不等式對恒成立. 下面證明,當時,不等式對不恒成立. 因為當時, , 所以存在 滿足, 即當時,不等式對不恒成立. 綜上,實數(shù)的取值范圍是. 解法二:記,則 . 記,則. 當時,,因此. 于是在上是減函數(shù),因此,當時,,故當時,,從而在上是減函數(shù),所以,即當時,不等式對恒成立. 下面證明,當時,不等式對不恒成立. 當時,,所以當時,, 因此在上是增函數(shù),故; 當時,. 又,故存在使,則當時,,所以在上是增函數(shù),所以當時,. 所以當時,不等式,對不恒成立. 綜上,實數(shù)的取值范圍是. 2.(20xx福建文22)(本小題滿分12分)
25、已知函數(shù)(為常數(shù))的圖像與軸交于點,曲線在點處的切線斜率為. (1)求的值及函數(shù)的極值; (2)求證:當時, (3)求證:對任意給定的正數(shù)c,總存在,使得當時,恒有 3. (20xx廣東文21)(本小題滿分14分) 已知函數(shù). (1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2) 當時,試討論是否存在,使得. 4.(20xx江蘇23)(本小題滿分10 分) 已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),. (1)求的值; (2)求證:對任意的,等式都成立. 5.(20xx遼寧文21)(本小題滿分12分) 已知函數(shù),. 求證:(1)存在唯一,使; (2)存在唯一,使,且對(1)中的,有. 6.(20xx
26、天津文19)(本小題滿分14分) 已知函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)若對于任意的,都存在,使得,求的取值范圍. 7. (20xx浙江文21)函數(shù),若在上的最小值記為. (1)求; (2)求證:當時,恒有. 8.(20xx陜西文21)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù). (1) 當(e為自然對數(shù)的底數(shù))時,求的極小值; (2) 討論函數(shù)零點的個數(shù); (3)若對任意,恒成立,求m的取值范圍. 9.(20xx福建文12)“對任意,”是“”的( ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
27、 9. 解析 當時,,構(gòu)造函數(shù),. 則,故在上單調(diào)遞減, 故,則; 當時,不等式等價于, 構(gòu)造函數(shù),則, 故在上單調(diào)遞減,故,則. 綜上所述,“對任意,”是“”的必要不充分條件.故選B. 10.(20xx福建文22(3))已知函數(shù).確定實數(shù)的所有可能取值, 使得存在,當時,恒有. 10. 分析 由(2)知,當時,不存在滿足題意;當時,對于, 有,則,從而不存在滿足題意;當時,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀,只要存在,當時,即可. 解析 由(2)知,當時,不存在滿足題意; 當時,對于,有,則, 從而不存在滿足題意. 當時,令,, 則有. 由得,. 解得(舍
28、),. 當時,,故在上單調(diào)遞增. 從而當時,,即. 綜上,的取值范圍是. 11.(20xx湖南文21(2))函數(shù),記為的從小到大的第個極值點.若對一切恒成立,求的取值范圍. 11. 解析 對一切恒成立,即恒成立,亦即恒成立(), 設(shè),則,令得, 當時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減; 當時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增; 因為,且當時,, 所以, 因此恒成立,當且僅當,解得, 故實數(shù)的取值范圍是. 12.(20xx四川文21(2))已知函數(shù),其中. 求證:存在,使得恒成立,并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 12. 解析 由,解得, 令. 則,,所以存在,使得. 令,其中. 由,可知
29、函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故,即. 當時,有,, 再由(1)可知,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 當時,,所以; 當時,,所以. 又當時,,故時,. 綜上所述,存在,使得恒成立,且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 13.(20xx全國甲文20)已知函數(shù). (1)當時,求曲線在處的切線方程; (2)若當時,,求的取值范圍. 13. 解析 (1)當時,,因此, ,,所以曲線在點處的切線方程為 ,即,得. (2)解法一:從必要條件做起. 因為,對于,, 又,則,得. 當時,,, 又,因此在上單調(diào)遞增, 所以,即函數(shù)在上單調(diào)遞增, 所以,證畢. 綜上所述,的取值范圍是. 解法二(目標前
30、提法):若對于,,顯然不等式恒成立的前提條件是,在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,即對恒成立,得. 設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以. 再證當時,不等式不恒成立. 因為,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,則,使得,函數(shù)在上單調(diào)遞減.又,所以對于,與題意中對于,不恒成立,故舍去. 綜上所述,的取值范圍是. 解法三:直接從最值的角度轉(zhuǎn)化. 本題對于,,則只須對于,. 因為,,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. 又. 若,即,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,滿足題意. 若,即,令,則函數(shù)在上單調(diào)遞減, 則,不滿足題意. 綜上所述,的取值范圍是. 14.(20xx四川文21)設(shè)函數(shù),,其中,為自然
31、對數(shù)的底數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)求證:當時,; (3)確定的所有可能取值,使得在區(qū)間內(nèi)恒成立. 14.解析 (1)函數(shù)的定義域為,. 當時,,在內(nèi)單調(diào)遞減. 當時,由,得 當時,,單調(diào)遞減; 當時,,單調(diào)遞增. (2)要證明當時,,即,等價于證明當時,. 構(gòu)造輔助函數(shù),,,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增, 所以當時,,因此,當時,,即,即. (3)依題意,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,則對于,. 又,,則對于,恒有,因此不滿足題意. 令,且. 因為對于,恒成立. 又, 所以,設(shè). 且 ,因此在區(qū)間上單調(diào)遞增. 又因為,所以當時,恒成立,即恒成立. 綜
32、上所述,的取值范圍為. 15.(20xx全國1文21)已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)若,求的取值范圍. 15.解析 (1). ①當時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增; ②當時,恒成立,令,則, 故,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減; ③當時,恒成立,令,則,即, 所以,所以在上單調(diào)遞增,同理在上單調(diào)遞減. (2)①當時,恒成立,符合題意; ②當時,, 故,即; ③當時, , 從而,故,所以. 綜上所述,的取值范圍為. 16.(20xx全國2文21)設(shè)函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)當時,,求的取值范圍. 16.解析 (1). 令,得,解得,.所
33、以當時,,當或時,,所以在區(qū)間,上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù). (2)因為時,,所以.所以,令,則,即時,,而,所以,所以,. 再令,,當時,恒成立. 所以在上是增函數(shù),恒有,從而是增函數(shù),,,在上恒成立,故即為所求. 17.(20xx天津文19)設(shè),.已知函數(shù),. (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)已知函數(shù)和的圖像在公共點處有相同的切線. (i)求證:在處的導(dǎo)數(shù)等于0; (ii)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍. 17.解析 (1)由. 可得, 令,解得或.由,得. 當變化時,,的變化情況如下表所示. 所以,的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)(i)因為,由題意知, 所以,解得. 所以,在處的導(dǎo)數(shù)等于0. (ii)因為,,由,可得. 又因為,,故為的極大值點,由(1)知. 另一方面,由于,故. 由(1)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當時,在上恒成立,從而在上恒成立. 由,得,. 令,,所以. 令,解得(舍去)或.所以當時,,當,時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 因為,,,故的值域為. 所以的取值范圍是. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org
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